ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！

★本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

ワイブル分布やワイブル確率紙を勉強する人のほとんどが、大学の勉強やQC検定®受験のためでしょう。

でも、勉強する上で、次の観点で疑問に思って欲しいです。

そりゃ、試験では、

が解ければOKですが、ここは、本質ではありません。試験対策で学んだ後、振り返ると「何でこう解くのか？」がわかっていないことに気が付きます。

ワイブル分布の式が難しいから、確かに、確率分布から確率紙を入ります。で、さらっと、
「データを大きさ順に並べて、F=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)で確率を求める」は暗記して、受験対策しますよね

では、何で、確率分布と関係のないプロット方法をやってよいか？を解説します。

このからくりが、「順序統計量」ですね。

これが、

なので、確率紙は、以下の流れで理解しましょう。ワイブル確率紙の具体的な解法はまだ先でよいです。

でも、ほとんどの教科書は逆の手順で説明しますよね。だから、解き方がわかっても、意味がわからない！

教科書勉強しただけでは、本質までたどり着きません。なので、本記事で解説しています。

QCプラネッツでは、順序統計量からメジアンランク法・ミーンランク法までを網羅して解説しています。関連記事のリンクを上げます。一回は目を通してください。

★勉強してほしい関連記事

【まとめ】順序統計量の考え方がよくわかる 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。

順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる 本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。

順序統計量からＲ管理図の係数d2,d3導出の紹介 本記事ではR管理図の係数d2,d3の導出を紹介します。導出の計算過程を古書から紹介します。順序統計量や管理図を学ぶ方は必読です。

ミーンランク法がよくわかる ミーンランク法を解説します。ミーンランク法の活用方法や、公式の導出、メジアンランク法との違いをわかりやすく解説！

メジアンランク法がよくわかる 本記事では順序統計量をベースにメジアンランク法をわかりやすく解説し、実際に解析しながら、公式の理解が深める事ができます。

では、ワイブル確率紙に入る前に、指数分布の確率紙を考えてみましょう。簡単な関数でウォーミングアップして、本題のワイブル確率紙に入りましょう。

ワイブル確率紙だけ知っているのは、単なる受験対策って感じですよね。自分で考えて使いこなせるようになりましょう。

しつこく書きましたが、

今の時代、関数電卓もExcelなどの電子ツールがたくさんあります。スマホでも確率紙の計算はできる時代です。

ポイントは、

流れを図で説明します。

確率紙の考え方がわかっていれば、簡単ですよね！　使い方しか覚えていないと応用が利かないはず。

では、実際に、指数分布とワイブル分布の両方を例に、確率紙の使い方を理解しましょう。

確率分布によらず、データを大きさ順に並べると順序統計量として扱ってOK！

メジアンランク法やミーンランク法で、順序統計量に沿って確率Pを求めます。

指数分布の式を用意します。
\(R(t)=exp^{-λt}\)

両辺、logを取ると
\(log R(t)\)=\(-λt\)
マイナスを消します。
\(log{\frac{1}{R(t)}}\)= \(λt\)

よって、
\(log{\frac{1}{R(t)}}\)= \(λt\)
で、
\(Y=log{\frac{1}{R(t)}}\),\(t=X\)とおくと、
\(Y=λt\)
という原点を通る直線にプロットすることができます。

式がいろいろ出てきたので、変数の対応を図で確認しましょう。

F(t)はメジアンランク法やミーンランク法から求めて、
R(t)=1-F(t)の関係からR(t)が計算できます。

確率分布の式を直線型に変換したので、それに対応して計算します。

データを用意します。

★小さい順に並べて、メジアンランク法から確率を導出

データを並び替えると、
0.2、0.4、0.5、0.8、1.1、1.6、2.1、2.5、2.8、3.4
です。

これをメジアンランク法で確率を計算しましょう。（メジアンランク法でもミーンランク法でもOKですが、）

これは図でいうと、

★変数を対応させて直線プロットを描く

変数の関係は、

計算結果を表にまとめると、

データをプロットします。指数分布の場合は、原点を通る直線ですね。

★指数分布にあてはめよう

図より、
Y=0.6389xなので、λ=0.6389となります。
よって、指数分布は\(y=exp^{-0.6389t}\)
となります。(マイナスがあるのを注意しましょう。)

確率分布によらず、データを大きさ順に並べると順序統計量として扱ってOK！

メジアンランク法やミーンランク法で、順序統計量に沿って確率Pを求めます。

ワイブル分布の式を用意します。
\(R(t)\)=\(exp(-(\frac{t}{η})^m )\)

両辺、logを取ると
\(log R(t)\)=\( -(\frac{t}{η})^m \)
マイナスを消します。
\(log{\frac{1}{R(t)}}\)= \( (\frac{t}{η})^m \)

もう１回対数logをとります。
\(loglog{\frac{1}{R(t)}}\)= \( m(logt -logη)\)

よって、
\(loglog{\frac{1}{R(t)}}\)= \( m(logt -logη)\)
で、
\(Y= loglog{\frac{1}{R(t)}}\),\( logt =X\)、\( n=-mlogη\)とおくと、
\(Y=mX+n\)
という直線にプロットすることができます。

式がいろいろ出てきたので、変数の対応を図で確認しましょう。

F(t)はメジアンランク法やミーンランク法から求めて、
R(t)=1-F(t)の関係からR(t)が計算できます。

確率分布の式を直線型に変換したので、それに対応して計算します。

データを用意します。

★小さい順に並べて、メジアンランク法から確率を導出

データを並び替えると、
0.2、0.4、0.5、0.8、1.1、1.6、2.1、2.5、2.8、3.4
です。

これをメジアンランク法で確率を計算しましょう。（メジアンランク法でもミーンランク法でもOKですが、）

★変数を対応させて直線プロットを描く

変数の関係は、

ちょっと、換算式が複雑ですが、ここが大事で、ワイブル確率紙が何をやっている紙なのかを理解するポイントです。理解するポイントがわかれば、別に、ワイブル確率紙を使わなくても、簡単なグラフで直線にできます！

計算結果を表にまとめると、

データをプロットします。ワイブル分布の場合は、y=mx+nの直線ですね。

★指数分布にあてはめよう

図より、
Y=1.1695x-0.6441なので、
・\(m\)=1.1695
・\(n=mlogη\)=0.6441　より、\(η\)=1.734

ワイブル分布は
\(R(t)=exp(-(\frac{t}{1.734})^1.1695)\)

ワイブル確率紙を使った結果を、簡単なグラフにすると、下図のようになり、

上の計算結果と比較すると、
・\(m\)=1.2(1.1695と近い結果)
・\(η\)=1.5(1.734と近い結果)
両者とも、ほぼ同じ値が算出できたことがわかります！

「ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！」を解説しました。