混合系直交表L18の多水準法がわかる1
「混合系直交表L18を使った多水準法がわからない」などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
おさえておきたいポイント
- ①混合系直交表L18の多水準法とは
- ➁L18の多水準法のデータの構造式
- ➂L18の多水準法の平方和の分解
- ➃L18の分散の期待値と分散分析
- ➄母平均の点推定と区間推定
多水準にする方法が２つあるので、2記事に分けて解説します。
- 2水準系1列と3水準系1列を合体した6水準系
- 3水準系1列と3水準系1列を合体した9水準系
2水準系1列と3水準系1列を合体した6水準系
3水準系1列と3水準系1列を合体した9水準系
本記事は、
2水準系1列と3水準系1列を合体した6水準系
を解説します。
①混合系直交表L18の多水準法とは
「混合系直交表L18」の「多水準法」を解説しますが、先に、
- 直交表混合系L18
- 多水準法
を復習しましょう。
混合系直交表L18とは？
関連記事で解説しています。ご確認ください。
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混合系直交表L18がわかる 混合系直交表L18が使えますか？ 本記事ではロバストパラメータ設計でよく使われれる直交表L18のパターン、データの構造式、平方和の分解、分散分析表、分散の期待値、母平均、有効繰返数、区間推定の一連の解法を解説します。平方和で注意すべき点があるので、必読です！ |
多水準法とは？
多水準法で復習すべきポイントは２つあります。
- 多水準法の基本
- 直交表・多水準法と完全配置実験の分散分析は一致する
関連記事で両方を解説しています。ご確認ください。
多水準法の基本
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多水準法の分散分析・区間推定が解ける【必見】 実験計画法の、多水準法の分散分析、分散の期待値の導出、主効果・交互作用の区間推定の導出ができますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事は、多水準法の分散分析、分散の期待値の導出、区間推定の導出を解説します。分散分析、期待値の導出、区間推定をマスターしたい方は必見です。 |
直交表・多水準法と完全配置実験の分散分析は一致する
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多水準法(直交表)と完全配置実験の分散分析は一致する【必見】 実験計画法の、多水準法(直交表)の分散分析と完全配置実験の分散分析を比較し、一致する内容を解説します。直交表と完全配置実験は別物と認識しやすいですが、同じものであることが本記事を読むとよくわかります。多水準法や擬水準法をマスターしたい方は必見です。 |
混合系直交表L18の多水準法とは？
今回解説する混合系直交表L18の多水準法とは
具体的に直交表を作ると下表になります。
特徴的なのが、
3水準として扱う点が擬水準法の特徴です。
L18の擬水準法について、
●データの構造式
●平方和の分解
●母平均の点推定と区間推定
を解いてみましょう。
本記事は、実験計画法ですが、L18はロバストパラメータ設計によく使うので、ロバストパラメータ設計の章で解説します。
なお、実験計画法については、しっかりまとめた関連記事がありますので、確認ください。70記事もある超大作です。
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究める！実験計画法 QCプラネッツが解説する究める実験計画法。多くの教科書がある中、勉強してもどうしても分からない、苦労している難解な箇所をすべて解説します。多元配置実験、乱塊法、分割法、直交表などなど多くの手法を個別に公式暗記せず、データの構造式をみればすべて導出できる新しい実験計画法を解説します。 |
➁L18の多水準法のデータの構造式
多水準法を適用したデータの構造式を作ると。
とすると、多水準法は\(a,b\)を合体させるので、
●元は、\(x\)=\(μ\)+\(ab\)+…+\(g\)+\(ε\)
となります。
(残差を\(ε\)とします)
もう少し詳細に書くと、
+(\(x_i –(\bar{x_{ai}}+…+\bar{x_{ji}})+6\bar{\bar{x}}\))
と書けますね。慣れないと難しいかもしれませんが、頑張っていきましょう。
➂L18の平方和の分解
データの構造式から平方和を計算
データの構造式を再掲すると、
(\(x_i-\bar{\bar{x}}\))=(\(\bar{x_{abi}}-\bar{\bar{x}}\))++…+(\(\bar{x_{gi}}-\bar{\bar{x}}\))
+(\(x_i –(\bar{x_{abi}}+…+\bar{x_{ji}})+5\bar{\bar{x}}\))
ですね。
これを2乗和すると、各項の平方和とその合計が全体の平方和に一致します。
ただし、式で証明するのは、大変なので、直交表を使って後で証明します。
証明したい式は
\(\sum_{i=1}^{18}( x_i-\bar{\bar{x}})^2\)
=\(\sum_{i=1}^{18}( \bar{x_{abi}}-\bar{\bar{x}})^2\)
+…
+\(\sum_{i=1}^{18}( \bar{x_{gi}}-\bar{\bar{x}})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{18} ((x_i –(\bar{x_{ai}}+…+\bar{x_{gi}})+5\bar{\bar{x}})^2\)
です。
直交表を使って各列の平方和を計算
2水準系,3水準系の直交表各列の平方和を計算する公式があります。
もちろん自力で導出できます！関連記事で確認ください。
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【本記事限定】直交表の各列の平方和の式は自力で導出できる【必見】 直交表の各列の平方和を導出する方法を知っていますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事では、実験計画法の直交表の各列の平方和を導出する方法を詳しく解説します。本記事しか書いていない、直交表の知見を広げたい方は必見です。 |
公式は、
\(S_[k]\)=\(\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}\)
\(S_[k]\)=\(\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2+(T_{[k]2}-T_{[k]3})^2+(T_{[k]3}-T_{[k]1})^2}{3N}\)
●6水準系の場合
\(S_[ab]\)=\(\sum_{i=1}^{6}\frac{AB_iの水準和の2乗}{繰返し数3}\)
-修正項
で計算します。
この式を使って直交表の各列の平方和を計算します。
直交表L18の各列の平方和を計算
多水準法を使う場合の注意すべき点は、2つあります。
●合体前のA,B各列の直交表の平方和 \(S_A\),\(S_B\)
●合体後のABの平方和\(S_{AB}\)とすると
\(S_{AB}\)=\(S_A\)+\(S_B\)+\(S_{A×B}\)
より、
\(S_{AB}\)≠\(S_A\)+\(S_B\)
となり、１列と２列の平方和の合計だけでは不足！
\(S_{A×B}\)は直交表列にはないが
(総平方和)と(直交表の全列の平方和の総和)の
差分に相当する
実際に計算するとわかりますので、やってみましょう。
ただ、
混合系直交表の多水準法は
あまり使いたくないですよね。
実際に平方和を計算しながら、注意点を解説していきます。
では、データを用意して、直交表各列の平方和を計算します。その結果は下表のとおりです。実際に計算してみてくださいね。
なお、全体の平方和は
\(S_T\)=\(\sum_{i=1}^{18}x_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^{18}x_i)^2}{18}\)
=280
また、合体した\(S_{AB}\)は
\(S_{AB}\)=\(\frac{1}{r=3}\)(\(AB_1^2\)+\(AB_2^2\)+\(AB_3^2\)
+\(AB_4^2\)+\(AB_5^2\)+\(AB_6^2\))-CF
=\(\frac{42^2+29^2+28^2+39^2+32^2+46^2}{3}\)-\(\frac{216^2}{18}\)
=91.33
先ほどの２つの注意点を確認しましょう。
\(S_{AB}\)≠\(S_A\)+\(S_B\)の確認
●\(S_{AB}\)=91.33
●\(S_{A}\)+\(S_{B}\)=27+34.33=61.33
より、確かに、
\(S_{AB}\)≠\(S_A\)+\(S_B\)
で差分の30はどこにあるのでしょうかね？
\(S_{A×B}\)は(総平方和)と(直交表の全列の平方和の総和)の差分
なお、\(S_{A×B}\)は関連記事混合系直交表L18がわかるで、
●総平方和\(S_T\)=280と
●直交表の全列の平方和の総和S=250
の差の30に該当します。
そうなると、確かに、
\(S_{AB}\)=\(S_{A}\)+\(S_{B}\)+\(S_{A×B}\)
=27+34.33+30=91.33
と一致します。
個別に計算して確認する必要があります。
混合系でないスタンダートな直交表ではこの確認は不要です。
混合系直交表は手間ですよね。
➃L18の分散の期待値と分散分析
平方和の分解を確認できたら、ＱＣプラネッツのこだわりである、
分散の期待値と分散分析表を確認しましょう。
先に結論を述べると、
です。
1列目の平方和は
\(S_1\)=\(\sum_{i=1}^{18}(\bar{x_{ai}}-\bar{\bar{x}})^2\)
と書けます。
概略的な式変形になりますが、期待値の平方和を計算すると
E[\(S_1\)]=E[\(\sum_{i=1}^{18}(\bar{x_{ai}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{18}((\bar{x_{ai}}-\bar{x_{ea}})-\bar{\bar{x}})^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{18}( \bar{x_{ai}}-\bar{x_{ea}}) ^2\)]+ E[\(\sum_{i=1}^{18}(\bar{\bar{x}}^2\))]
=ここから文字式で計算ができません。
おそらく、
E[\(S_1\)]= E[\(\sum_{i=1}^{18}( \bar{x_{ai}}-\bar{x_{ea}}) ^2\)]+1×\(σ_e^2\)
となるはずです。これ以上、首をつっこんでも収集つかないので、一旦止めます。
多水準法を適用した列の分散の期待値はなおさら難しくなりますね。一旦止めます。
直交表の全列も同様に途中まで解けます。
分散分析表をまとめます。
| 元 | S | Φ | V | F | ⇒ | 多水準 | S | Φ | V | F |
| A | 27 | 1 | 27 | 1.45 | ⇒ | AB | 91.33 | 5 | 18.27 | 0.98 |
| B | 34.33 | 2 | 17.17 | 0.92 | ⇒ | C | 24.33 | 2 | 12.17 | 0.65 |
| C | 24.33 | 2 | 12.17 | 0.65 | ⇒ | D | 41.33 | 2 | 20.67 | 1.11 |
| D | 41.33 | 2 | 20.67 | 1.11 | ⇒ | E | 67 | 2 | 33.5 | 1.79 |
| E | 67 | 2 | 33.5 | 1.79 | ⇒ | F | 10.33 | 2 | 5.17 | 0.28 |
| F | 10.33 | 2 | 5.17 | 0.28 | ⇒ | G | 8.33 | 2 | 4.17 | 0.22 |
| G | 8.33 | 2 | 4.17 | 0.22 | ⇒ | e | 37.33 | 2 | 18.67 | – |
| e | 37.33 | 2 | 18.67 | – | ⇒ | 計 | 280 | 17 | – | – |
| 計 | 250 | 15 | – | – | – | – | – | – | – | – |
| (A×B) | 30 | 2 | – | – | – | – | – | – | – | – |
| 計 | 280 | – | – | – | – | – | – | – | – | – |
多水準法になった場合の平方和の計算の注意点を意識して上表で値を確認しましょう。
分散の期待値が？？としていますが、話を続けます。
➄母平均の点推定と区間推定
次の２つを考えましょう。
例題
(i) \(μ_{AB2C1}\)
データの構造式から母平均を計算
まず、データの構造式から母平均を計算します。
関連記事はここです。
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【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる 実験計画法が難しい、分散分析した後、最適条件の母平均の点推定を求める式が、実験によって変わるため、公式暗記に困っていませんか？本記事では、データの構造式さえ理解すれば、すべての実験において、母平均の点推定値を求める式が導出できます。早く実験計画法をマスターした方は必見です。 |
多水準法で合体したABのところを意識して見ていきましょう。
●\(μ_{AB2C1}\)=\(μ+ab_2+c_1\)
=\(μ+\bar{ab_2}+ \bar{c_1})\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_{ab2}}-\bar{\bar{x}}\))
+(\(\bar{x_{c1}}-\bar{\bar{x}}\))
= \(\bar{x_{ab2}}\)+ \(\bar{x_{c1}}\)-\(\bar{\bar{x}}\) ⇒(式1)
=29/3+63/6-216/18
=8.167
データの構造式から有効繰返数と区間推定を計算
次に区間推定を求めたいので、有効繰返数をデータの構造式から計算します。関連記事はここです。
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【重要】データの構造式から有効反復数が導出できる 実験計画法が難しく、分散分析した後、最適条件の母平均の点推定から有効反復数の導出方法がわからず、田口の式や伊奈の式を丸暗記していませんか？本記事では、データの構造式さえ理解すれば、すべての実験において、母平均の点推定値から有効反復数が導出できますことを解説します。早く実験計画法をマスターした方は必見です。 |
●\(μ_{AB2C1}\)の場合は
\(μ_{AB2C1}\)=\(μ+ab2+c1\)
=\(\bar{x_{ab2}}\)+ \(\bar{x_{c1}}\)-\(\bar{\bar{x}}\) ⇒((式1)より)
=\(μ+ab_2+bar{e_{ab}}\)+\(μ+c_1+\bar{e_c}\)-\((μ+\bar{\bar{e}})\)
=\(μ+ab_2+c_1\)+\((\bar{e_{ab}}+\bar{e_c}-\bar{\bar{e}})\)
V[\(μ_{AB2C1}\)]=V[\(μ+ab_2+c_1\)+\((\bar{e_{ab}}+\bar{e_c}-\bar{\bar{e}})\)]
=V[\((\bar{e_{ab}}+\bar{e_c}-\bar{\bar{e}})\)]
=(\(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{18})σ_e^2\)
=\(\frac{4}{9}σ_e^2\)=\(\frac{4}{9}\)×18.67=8.30
また、推定区間を求めるt(Φe,α=t(2,0.05)=4.303)より、
となります。
まとめ
「混合系直交表L18の多水準法がわかる1」を解説しました。
おさえておきたいポイント
- ①混合系直交表L18の多水準法とは
- ➁L18の多水準法のデータの構造式
- ➂L18の多水準法の平方和の分解
- ➃L18の分散の期待値と分散分析
- ➄母平均の点推定と区間推定
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