混合系直交表L18がわかる
「混合系直交表L18がわからない」などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
おさえておきたいポイント
- ①混合系直交表L18とは
- ➁L18のデータの構造式
- ➂L18の平方和の分解
- ➃L18の分散の期待値と分散分析
- ➄母平均の点推定と区間推定
実験計画法を理論的に理解してから
ロバストパラメータ設計に入ろう！
①混合系直交表L18とは
混合系直交表L18って例外パターンだよ！
ロバストパラメータ設計やタグチメソッドでは
混合直交表L18や直交表L12などを使いたがります。
なぜかは、よくわかりません。
直交表を自分で作るとよくわかるのですが、
- データの構造式と直交表列は連動する
- 主効果、交互作用を網羅した直交表がスタンダート
- 8,16,9,27,などの素数のべき乗の方が網羅できる
- 混合直交表L18や直交表L12などは例外的にたまたま見つかったもの
という感情が出ます。実際に自力で直交表を作ってみてください。関連記事にもご参照ください。
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【簡単】2水準の直交表のつくり方【必見】 実験計画法の直交表のつくり方や平方和の分解や水準の数の求め方をご存知ですか？本記事では、教科書では書いていない直交表の構成やデータの構造式から直交表が作れることをわかりやすく解説します。直交表を鵜呑みでわかった気で済ませているが不安な方は必見です。 |
さらに頭を悩ませるのが、
タグチメソッドは
混合系直交表L18や直交表L12などが前提になる事が多いが
なぜなんだろう？
必要に応じて混合系など使った方がいい。
確かに必須な手法。
でも、今はExcelでも簡単に解析できる時代。
だから理論をしっかり理解したい！
まずは、混合系直交表L18を攻略しましょう。
直交表L18とは
下表が直交表L18です。狙って設計するよりは、振ってたまたま出てきた表というイメージが強いです。
ＱＣプラネッツはExcel VBAを使って、実際に直交表を作ったので、L18はたまたまできた副産物的なイメージがありますし、結構、計算機を何度も回して見つけた努力の結晶かもしれません。
| L18 | A | B | C | D | E | F | G | e |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 1 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 4 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| 5 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 1 | 1 |
| 6 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 | 1 | 2 | 2 |
| 7 | 1 | 3 | 1 | 2 | 1 | 3 | 2 | 3 |
| 8 | 1 | 3 | 2 | 3 | 2 | 1 | 3 | 1 |
| 9 | 1 | 3 | 3 | 1 | 3 | 2 | 1 | 2 |
| 10 | 2 | 1 | 1 | 3 | 3 | 2 | 2 | 1 |
| 11 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 3 | 3 | 2 |
| 12 | 2 | 1 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 3 |
| 13 | 2 | 2 | 1 | 2 | 3 | 1 | 3 | 2 |
| 14 | 2 | 2 | 2 | 3 | 1 | 2 | 1 | 3 |
| 15 | 2 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 |
| 16 | 2 | 3 | 1 | 3 | 2 | 3 | 1 | 2 |
| 17 | 2 | 3 | 2 | 1 | 3 | 1 | 2 | 3 |
| 18 | 2 | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 | 1 |
特徴的なのが、
L18について、
●データの構造式
●平方和の分解
●母平均の点推定と区間推定
を解いてみましょう。
本記事は、実験計画法ですが、L18はロバストパラメータ設計によく使うので、ロバストパラメータ設計の章で解説します。
なお、実験計画法については、しっかりまとめた関連記事がありますので、確認ください。70記事もある超大作です。
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究める！実験計画法 QCプラネッツが解説する究める実験計画法。多くの教科書がある中、勉強してもどうしても分からない、苦労している難解な箇所をすべて解説します。多元配置実験、乱塊法、分割法、直交表などなど多くの手法を個別に公式暗記せず、データの構造式をみればすべて導出できる新しい実験計画法を解説します。 |
➁L18のデータの構造式
L18は交互作用がないので、全列独立した変数で表記します。これがL8,L9,L16の一般的な直交表と違う点ですね。
なので、データの構造式は
(8番目を\(ε\)とします)
もう少し詳細に書くと、
+(\(x_i –(\bar{x_{ai}}+…+\bar{x_{ji}})+6\bar{\bar{x}}\))
と書けますね。慣れないと難しいかもしれませんが、頑張っていきましょう。
➂L18の平方和の分解
データの構造式から平方和を計算
データの構造式を再掲すると、
(\(x_i-\bar{\bar{x}}\))=(\(\bar{x_{ai}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{bi}}-\bar{\bar{x}}\))+…+(\(\bar{x_{gi}}-\bar{\bar{x}}\))
+(\(x_i –(\bar{x_{ai}}+…+\bar{x_{ji}})+6\bar{\bar{x}}\))
ですね。
これを2乗和すると、各項の平方和とその合計が全体の平方和に一致します。
ただし、式で証明するのは、大変なので、直交表を使って後で証明します。
証明したい式は
\(\sum_{i=1}^{12}( x_i-\bar{\bar{x}})^2\)
=\(\sum_{i=1}^{12}( \bar{x_{ai}}-\bar{\bar{x}})^2\) (⇒直交表１列目の平方和\(S_1\)に相当)
+\(\sum_{i=1}^{12}( \bar{x_{bi}}-\bar{\bar{x}})^2\) (⇒直交表2列目の平方和\(S_2\)に相当)
+…
+\(\sum_{i=1}^{12}( \bar{x_{gi}}-\bar{\bar{x}})^2\) (⇒直交表7列目の平方和\(S_7\)に相当)
+\(\sum_{i=1}^{12} ((x_i –(\bar{x_{ai}}+…+\bar{x_{gi}})+6\bar{\bar{x}})^2\)
(⇒直交表8列目の平方和\(S_8\)に相当)
です。
直交表を使って各列の平方和を計算
2水準系,3水準系の直交表各列の平方和を計算する公式があります。
もちろん自力で導出できます！関連記事で確認ください。
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【本記事限定】直交表の各列の平方和の式は自力で導出できる【必見】 直交表の各列の平方和を導出する方法を知っていますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事では、実験計画法の直交表の各列の平方和を導出する方法を詳しく解説します。本記事しか書いていない、直交表の知見を広げたい方は必見です。 |
公式は、
\(S_[k]\)=\(\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}\)
\(S_[k]\)=\(\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2+(T_{[k]2}-T_{[k]3})^2+(T_{[k]3}-T_{[k]1})^2}{3N}\)
この式を使って直交表の各列の平方和を計算します。
直交表L18の各列の平方和を計算
では、データを用意して、直交表各列の平方和を計算します。その結果は下表のとおりです。実際に計算してみてくださいね。
| L18 | A | B | C | D | E | F | G | e | データ |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 12 |
| 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 14 |
| 3 | 1 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 16 |
| 4 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 8 |
| 5 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 1 | 1 | 10 |
| 6 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 | 1 | 2 | 2 | 11 |
| 7 | 1 | 3 | 1 | 2 | 1 | 3 | 2 | 3 | 14 |
| 8 | 1 | 3 | 2 | 3 | 2 | 1 | 3 | 1 | 4 |
| 9 | 1 | 3 | 3 | 1 | 3 | 2 | 1 | 2 | 10 |
| 10 | 2 | 1 | 1 | 3 | 3 | 2 | 2 | 1 | 6 |
| 11 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 3 | 3 | 2 | 18 |
| 12 | 2 | 1 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 3 | 15 |
| 13 | 2 | 2 | 1 | 2 | 3 | 1 | 3 | 2 | 11 |
| 14 | 2 | 2 | 2 | 3 | 1 | 2 | 1 | 3 | 13 |
| 15 | 2 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 8 |
| 16 | 2 | 3 | 1 | 3 | 2 | 3 | 1 | 2 | 12 |
| 17 | 2 | 3 | 2 | 1 | 3 | 1 | 2 | 3 | 14 |
| 18 | 2 | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 | 1 | 20 |
| 1の合計 | 99 | 81 | 63 | 70 | 88 | 67 | 72 | 60 | 216 |
| 2の合計 | 117 | 61 | 73 | 84 | 61 | 71 | 67 | 76 | – |
| 3の合計 | 0 | 74 | 80 | 62 | 67 | 78 | 77 | 80 | – |
| 計 | 216 | 216 | 216 | 216 | 216 | 216 | 216 | 216 | 平方和計 |
| 平方和 | 27 | 34.33 | 24.33 | 41.33 | 67 | 10.33 | 8.33 | 37.33 | 250 |
なお、全体の平方和は
S=\(\sum_{i=1}^{18}x_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^{18}x_i)^2}{12}\)
=280
になります。
おかしいぞ！
って気が付きませんか？
【注意！】直交表の平方和総和 <総平方和
総平方和は、「280」
直交表の平方和総和 <総平方和！
L12は一致したぞ！
直交表の平方和総和 <総平方和の理由
理由は簡単で、
1列だけ3より少ない2水準系を割り当てているから、
直交表の平方和総和がその分少なくなる
総平方和と直交表の平方和総和の差は何か？
自由度で評価すると、
直交表の平方和総和=総平方和
一方
●L18の場合、直交表は 8列、データは18個ある。自由度は18-1=17で
各列の自由度の和は (2-1)×1+(3-1)×7=15と17に比べて2少ないだから
直交表の平方和総和 <総平方和
つまり、
自由度が2だけ小さくなった分
直交表の平方和総和 <総平方和
面白いですね。初めて知った人も多いはず。
さらに面白いのが、
2=(2-1)×(3-1)と書くと
2水準系1列と3水準系1列の交互作用に相当する成分の差が
総平方和と直交表の平方和総和の差ともいえる
なので、その列をＡ、Ｂとすると、
\(S_{AB}\)成分の差が、総平方和と直交表の平方和総和の差と言うこともできますね。
式で書くと
●L12の場合
\(S_T\)=\(S_A\)+\(S_B\)+…+\(S_K\)
と(両辺)が一致するが、
●L18の場合
\(S_T\) >\(S_A\)+\(S_B\)+…+\(S_H\)
と(両辺)が一致せず、自由度2の交互作用に該当する成分を入れると
\(S_T\) =\(S_{A×B}\)+\(S_A\)+\(S_B\)+…+\(S_H\)
となる。
そうなると、
\(S_{A×B}\)成分の１列を追加したらいいじゃん！
と思いますが、
１列追加すると直交表の各列の直交条件が満たせなくなるため、
\(S_{A×B}\)成分の１列追加は直交表にはできません！
総平方和より小さくなる点に注意しよう！」
を理解しておきましょう。
追加で注意しないといけないことが増えるので、ＱＣプラネッツはL8,L16,L9,L27を使いたいという気持ちになってしまいます。
➃L18の分散の期待値と分散分析
平方和の分解を確認できたら、ＱＣプラネッツのこだわりである、
分散の期待値と分散分析表を確認しましょう。
先に結論を述べると、
です。
1列目の平方和は
\(S_1\)=\(\sum_{i=1}^{18}(\bar{x_{ai}}-\bar{\bar{x}})^2\)
と書けます。
概略的な式変形になりますが、期待値の平方和を計算すると
E[\(S_1\)]=E[\(\sum_{i=1}^{18}(\bar{x_{ai}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{18}((\bar{x_{ai}}-\bar{x_{ea}})-\bar{\bar{x}})^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{18}( \bar{x_{ai}}-\bar{x_{ea}}) ^2\)]+ E[\(\sum_{i=1}^{18}(\bar{\bar{x}}^2\))]
=ここから文字式で計算ができません。
おそらく、
E[\(S_1\)]= E[\(\sum_{i=1}^{18}( \bar{x_{ai}}-\bar{x_{ea}}) ^2\)]+1×\(σ_e^2\)
となるはずです。これ以上、首をつっこんでも収集つかないので、一旦止めます。
直交表の全列も同様に途中まで解けます。
分散分析表をまとめます。
| – | S | Φ | V | F | E[V] |
| A | 27 | 1 | 27 | 1.45 | ??+\(σ_e\) |
| B | 34.33 | 2 | 17.17 | 0.92 | ??+\(σ_e\) |
| C | 24.33 | 2 | 12.17 | 0.65 | ??+\(σ_e\) |
| D | 41.33 | 2 | 20.67 | 1.11 | ??+\(σ_e\) |
| E | 67 | 2 | 33.5 | 1.79 | ??+\(σ_e\) |
| F | 10.33 | 2 | 5.17 | 0.28 | ??+\(σ_e\) |
| G | 8.33 | 2 | 4.17 | 0.22 | ??+\(σ_e\) |
| e | 37.33 | 2 | 18.67 | – | \(σ_e\) |
| 計 | 250 | 15 | – | – | – |
分散の期待値が？？としていますが、話を続けます。
➄母平均の点推定と区間推定
次の２つを考えましょう。
例題
(i) \(μ_{A1}\)
(ii) \(μ_{A1B2C1}\)
データの構造式から母平均を計算
まず、データの構造式から母平均を計算します。
関連記事はここです。
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【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる 実験計画法が難しい、分散分析した後、最適条件の母平均の点推定を求める式が、実験によって変わるため、公式暗記に困っていませんか？本記事では、データの構造式さえ理解すれば、すべての実験において、母平均の点推定値を求める式が導出できます。早く実験計画法をマスターした方は必見です。 |
●\(μ_{A1}\)=\(μ+a_1\)
=\(μ+(\bar{a_1})\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+\((\bar{x_{a1}}-\bar{\bar{x}})\)
=\(\bar{x_{a1}}\)⇒(式1)
=99/9=11
●\(μ_{A1B2C1}\)=\(μ+a_1+b_2+c_1\)
=\(μ+\bar{a_1}+ \bar{b_2}+ \bar{c_1})\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_{a1}}-\bar{\bar{x}}\))
+(\(\bar{x_{b2}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{c1}}-\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{a1}}\)+ \(\bar{x_{b2}}\)+ \(\bar{x_{c1}}\)-2\(\bar{\bar{x}}\) ⇒(式2)
=99/9+61/6+63/6-2×216/18
=7.67
データの構造式から有効繰返数と区間推定を計算
次に区間推定を求めたいので、有効繰返数をデータの構造式から計算します。関連記事はここです。
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【重要】データの構造式から有効反復数が導出できる 実験計画法が難しく、分散分析した後、最適条件の母平均の点推定から有効反復数の導出方法がわからず、田口の式や伊奈の式を丸暗記していませんか？本記事では、データの構造式さえ理解すれば、すべての実験において、母平均の点推定値から有効反復数が導出できますことを解説します。早く実験計画法をマスターした方は必見です。 |
●\(μ_{A1}\)の場合は
\(μ_{A1}\)=\(μ+a_1\) ⇒((式1)より)
=\(μ+(\bar{a_1}+\bar{e_a})\)
V[\(μ_{A1}\)]=V[\(\bar{e_a}\)]
=\(\frac{1}{9}σ_e^2\)=18.67/9=2.07
●\(μ_{A1B2C1}\)の場合は
\(μ_{A1B2C1}\)=\(μ+a_1+b2+c1\)
=\(\bar{x_{a1}}\)+ \(\bar{x_{b2}}\)+ \(\bar{x_{c1}}\)-2\(\bar{\bar{x}}\) ⇒((式2)より)
=\(μ+a_1+\bar{e_a}\)+\(μ+b_2+\bar{e_b}\)+\(μ+c_1+\bar{e_c}\)-2\((μ+\bar{\bar{e}})\)
=\(μ+a_1+b_2+c_1\)+\((\bar{e_a}+\bar{e_b}+\bar{e_c}-2\bar{\bar{e}})\)
V[\(μ_{A1B2C1}\)]=V[\(μ+a_1+b_2+c_1\)+\((\bar{e_a}+\bar{e_b}+\bar{e_c}-2\bar{\bar{e}})\)]
=V[\((\bar{e_a}+\bar{e_b}+\bar{e_c}-2\bar{\bar{e}})\)]
=(\(\frac{1}{9}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-2×\frac{1}{18})σ_e^2\)
=\(\frac{1}{3}σ_e^2\)=18.67/3=6.22
また、推定区間を求めるt(Φe,α=t(2,0.05)=4.303)より、
●\(μ_{A1B2C1}\)＝7.67(=母平均)±4.303(=t(Φe,α))×2.494(=\(\sqrt{V}\))=-3.06,18.40
となります。
まとめ
「混合系直交表L18がわかる」を解説しました。
- ①混合系直交表L18とは
- ➁L18のデータの構造式
- ➂L18の平方和の分解
- ➃L18の分散の期待値と分散分析
- ➄母平均の点推定と区間推定
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119