2021/08/11 (更新日: 2023/12/07)

多水準法の分散分析・区間推定が解ける【必見】

実験計画法

「多水準法って何なの？」、「多水準法の分散分析や期待値の導出がわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、多水準法の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

多水準法の分散分析や期待値の導出

• ➀多水準法とは何かがわかる
• ②多水準法のデータの構造式が書ける
• ③平方和の分解の式が書ける
• ④多水準法の主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
• ⑤分散分析ができる
• ⑥主効果・交互作用の区間推定が導出できる
• ⑦期待値、分散分析や区間推定の演習問題

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です！

●You tubeでも解説しています。ご覧ください。

➀多水準法とは何かがわかる

教科書の定義

m=2なら2水準系の実験で因子Aだけが4水準に割り付け、
m=3なら3水準系の実験で因子Aだけが9水準に割り付ける方法です。

データの構造式から多水準法を理解する

1. 完全配置実験のデータの構造式を作る
2. 一部の項を変形すれば多水準法になる

QCプラネッツでは、完全配置実験のデータの構造式からスタートして、変形すればどんな手法のデータの構造式が得られる点を重視します。

②分割法のデータの構造式が書ける

データの構造式

4因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。

四元配置実験のデータの構造式

x_ijkl=μ+α_i+β_j+γ_k+δ_l
+(αβ)_ij+(αγ)_ik+(αδ)_il
+(βγ)_jk+(βδ)_jl+(γδ)_kl
+(αβγ)_ijk+ (αβδ)_ijl+(αγδ)_ikl+(βγδ)_jkl
+ e_ijkl
(i=j=k=l=m)

次に、因子Aの水準をm²とします。A,BをAに合併させます。

データの構造式を多水準法に変形します。

x_ikl=μ+α_i+γ_k+δ_l
+(αγ)_ik+(αδ)_il+(γδ)_kl
+e_ikl
(i=m²,k=l=m)

四元配置実験が三元配置実験に代わり、添字iの水準数がmからm²に増加しました。

因子BをAに合成しましたので、
αβ_ij→α_i
βγ_jk→αγ_ik
αβδ_ijl→αδ_il
に変化します。機械的に変更するだけで簡単ですね。

各平均値をデータの構造式で作る

母数因子と変量因子の違い

関連記事【簡単】母数因子と変量因子の違いがすぐわかるにて、母数因子と変量因子を解説しました。

母数因子と変量因子

母数因数：α、γ、δ、αγ、αδ、γδ
変量因子：e

平均値

母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。

平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。分割法や乱塊法では変量因子が増えるので要注意ですが、多水準法ではあまり変量因子は使いません。

平均値の式の代表例

データの構造式

x_ikl=μ+α_i+γ_k+δ_l
+(αγ)_ik+(αδ)_il+(γδ)_kl
+e_ikl
(i=m²,k=l=m)

\(\bar{x_{i･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(\bar{e_{i･･}}\)
\(\bar{x_{･k･}}\)=μ+\(γ_k\)+\(\bar{e_{･k･}}\)
\(\bar{x_{･･l}}\)=μ+\(δ_l\)+\(\bar{e_{･･l}}\)
\(\bar{x_{ik･}}\)=μ+\(α_i\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\(\bar{e_{ik･}}\)
\(\bar{x_{i･l}}\)=μ+\(α_i\)+\(δ_l\)+\((αδ)_{il}\)+\(\bar{e_{i･l}}\)
\(\bar{x_{･jl}}\)=μ+\(γ_k\)+\(δ_l\)+\((γδ)_{kl}\)+\(\bar{e_{･kl}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{e}}\)

③多水準法の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。S_D、S_A×D、S_eを例に挙げます。

\(S_D\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((\bar{x_{‥l}}-\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_{A×D}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{i･l}}-\bar{x_{i‥}}-\bar{x_{･･l}}+\bar{\bar{x}})^2\)

\( S_e\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)

\((x_{ikl}-\bar{x_{ik･}}-\bar{x_{i･l}}-\bar{x_{･kl}}\)
\(+\bar{x_{i･･}}+\bar{x_{･k･}}+\bar{x_{‥l}}-\bar{\bar{x}})^2\)

と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣ( )^2で計算できます。

④多水準法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。

主効果の分散の期待値の導出

E[\(S_D\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((\bar{x_{‥l}}-\bar{\bar{x}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((δ_l+\bar{e_{･･l}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((δ_l )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((\bar{e_{‥l}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=\(ac(d-1)σ_D^2\) +\((d-1)σ_e^2\)

主効果Dの自由度は(d-1)より、分散の期待値E[V_D]が求まります。

E[\(V_D\)]=\(acσ_D^2\) +\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_D^2\)=E[\(\frac{\sum_{l=1}^{d}δ_l^2}{d-1}\)]

\(σ_e^2\)については解説集にあります。

交互作用の分散の期待値の導出

E[\(S_{A×D}\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{i･l}}-\bar{x_{i‥}}-\bar{x_{･･l}}+\bar{\bar{x}})^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αδ)_{il}+(\bar{e_{i･l}}-\bar{e_{i‥}}-\bar{e_{‥l}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αδ)_{il}^2)\)
+ E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{e_{i･l}}-\bar{e_{i‥}}-\bar{e_{‥l}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

第1項：
cE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{d}\)
\(((αδ)_{il})^2]\)
=\(c(a-1)(d-1)σ_{A×D}^2\)

第2項：
=\((a-1)(d-1)σ_e^2\)

E[\(S_{A×D}\)]
=\(c(a-1)(d-1)σ_{A×D}^2\)+\((a-1)(d-1)σ_e^2\)

交互作用A×Dの自由度は(a-1)(d-1)より、分散の期待値E[V_A×D]が求まります。

E[\(V_{A×D}\)]=\(cσ_{A×D}^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_{A×D}^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{l=1}^{d}(αδ)_{il}^2}{(a-1)(d-1)}\)]

\(σ_e^2\)については解説集にあります。

残差の分散の期待値の導出

\( S_e\)=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)

\((x_{ikl}-\bar{x_{ik･}}-\bar{x_{i･l}}-\bar{x_{･kl}}\)
\(+\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･k･}}+\bar{x_{‥l}}-\bar{\bar{x}})^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)

\((e_{ikl}-\bar{e_{ik･}}-\bar{e_{i･l}}-\bar{e_{･kl}}\)
\(+\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･k･}}+\bar{e_{‥l}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

E[\(S_e\)]=\((a-1)(c-1)(d-1)σ_e^2\)

(全計算過程は解説集にあります)

残差eの自由度は(a-1)(c-1)(d-1)より、分散の期待値E[V e]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。

E[\(V_e\)]=\(σ_e^2\)

⑤分割法の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。

1. データの構造式を書く
2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる

自由度をまとめます。

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

文字だけ見ると、三元配置実験と全く同じ分散分析の結果になります。
しかし、a≡a×bです。
a=4,c=2,d=2と、値が異なる点に注意しましょう。

⑥多水準法の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
2. 誤差eの自由度φ_eである。
3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

主効果の点推定と区間推定の導出

分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、eの分散の推定値E[Ve]を導出します。

E[Ve]=\(σ_e^2\)

主効果の点推定と区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(D_l)=\bar{x_{‥l}}\)=\(\widehat{μ+δ_l}\)
=\(μ+δ_l +\bar{e_{‥l}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(D_l))\)
=V[μ+\(δ_l +\bar{e_{‥l}}\)]
=V[\(\bar{e_{‥l}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{d}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

交互作用の区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(A_i D_l )\)=\(\bar{x_{i･l}}\)
=\(μ+α_i+δ_l+(αδ)_{il}\)+\(\bar{e_{i･l}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}( A_i D_l))\)
=V[μ+\(α_i+δ_l+(αδ)_{il}\)+\(\bar{e_{i･l}}\)]
=V[\(\bar{e_{i･l}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{ad}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

⑦多水準法の分散分析を導出できる演習問題

本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。

まとめ

多水準法の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

• ➀多水準法とは何かがわかる
• ②多水準法のデータの構造式が書ける
• ③平方和の分解の式が書ける
• ④多水準法の主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
• ⑤分散分析ができる
• ⑥主効果・交互作用の区間推定が導出できる
• ⑦期待値、分散分析や区間推定の演習問題

実験計画法

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