02-09 常用対数がわかる
「常用対数がよくわからない」、などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①おさえるべき重要問題
- ➁解法
- ➂全問題の解説は問題集にあります
数と式は、基礎は簡単
でも、発展は最難な領域
「数Ⅲの微積」という人は単に力がないだけ
数学ができる人は、「数Aの数と式」と答える
逆に「数Aの数と式」は基礎は簡単な分、いくらでも難しくできる！難関大学の論証問題はすべて「数Aの数と式」！
基礎をしっかりおさえつつ
難関問題の入り口まで解説します。
①おさえるべき重要問題
問1
\(log_{10} 2\)=0.3010,\(log_{10} 3\)=0.4771として、電卓を使わずに、次の問いに答えよ。
(1) \(log_{10} 4\), \(log_{10} 5\), \(log_{10} 6\), \(log_{10} 8\), \(log_{10} 9\)の値を求めよ。
(2) \(3^{60}\)の桁数と最高位の数字を求めよ。
(3) \(3^{60}\)+\(2^{96}\)の桁数を求めよ。
問2
\(0.0625^{80}\)は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。また、その数字は何か？ \(log_{10} 2\)=0.3010とする。
問3
\(log_{10} 1.1\)=0.0414, \(log_{10} 2.0\)=0.3010, \(log_{10} 3.048\)=0.4840, \(log_{10} 5.9\)=0.7709として次の問いに答えよ。
(1) 厚さ0.1mmの十分広い紙があり、何度でも折りたためるものとする。
この紙を1回折りたたむと厚さが２倍になり、２回折りたたむと４倍、
３回折りたたむと８倍となっていくとき、何回折り続けると
富士山の高さ(3776m)を超えるか。
(2) 10万円を月10%の複利で借りると、5年後の元利合計はいくらになるか。
➂解法
それ以外の問いは、「③全問題の解説は問題集にあります」をご覧ください。
問1の解法
(1)の解法
公式の練習です。\(log_{10} 7\)は\(log_{10} 2\)=0.3010,\(log_{10} 3\)=0.4771からは計算できませんね。7は素数だから。
●\(log_{10} 4\)=2\(log_{10} 3\)=0.6020
●\(log_{10} 5\)=\(log_{10} 10/2\)=1-\(log_{10} 2\)=0.6990
●\(log_{10} 6\)=\(log_{10} 2×3\)=0.3010+0.4771=0.7781
●\(log_{10} 8\)=3\(log_{10} 3\)=0.9030
●\(log_{10} 9\)=2\(log_{10} 3\)=0.9542
(2)の解法
ポイントは、
桁数の数字から桁がわかり、
桁数の小数部分から最高位の数字がわかる
●\(log_{10} 3^{60}\)=60×\(log_{10} 3\)=60×0.4771=28.626
●ここで、100=\(10^2\)は３桁で10の２乗ですから、
\(3^{60}\)=\(10^{28.626}\)は29桁の数字になるとわかりますね。
●また、最高位の数字は、桁数の小数部分からわかるので、
4=\(10^{0.6020}\) < \(10^{0.626}\) < \(10^{0.6990}\)=5
より、最高位は4とわかりますね。
関数電卓でたたくと、\(3^{60}\)=4.239×\(10^{28}\)ですから、あってますね。
(3)の解法
●\(log_{10} 3^{60}\)=60×\(log_{10} 3\)=60×0.4771=28.626
●\(log_{10} 2^{96}\)=96×\(log_{10} 2\)=96×0.3010=28.896
\(2^{96}\)の最高位の数字は、
6=\(10^{0.7781}\) < \(10^{0.896}\) < \(10^{0.9030}\)=8
より、最高位は6か7のどちらかとわかりますね。
よって、
\(3^{60}\)+\(2^{96}\)
> 4.○○×\(10^{28}\)+6.○○×\(10^{28}\)
=1.○○×\(10^{29}\)
となるので、桁数は30桁となります。
問2の解法
同様に、
●\(log_{10} 0.0625^{80}\)=80×\(log_{10} 0.0625\)
ここで、
0.0625=\(\frac{1}{2^4}\)より、
●\(log_{10} 0.0625^{80}\)=80×\(log_{10} 2\)×(-4)
=-96.32
ここで、0.01=\(10^{-2}\)は小数第２位で0でない数字になるので、
\(0.0625^{80}\)=\(10^{-96.32}\)は小数第96位で0でない数字になる。
０にならない位の数字は、
-96.32=-97+0.68と考えると、0.68の小数部分がその位の数字になるので、
4=\(10^{0.6020}\) < \(10^{0.68}\) < \(10^{0.6990}\)=5
より、その位は4とわかりますね。
できましたね。単なる計算ではなく、結果を導くための論理とそれを示す計算式を作る点が学ぶべきポイントですね。
③全問題の解説は問題集にあります
「第2章 数と式」で、大学受験も大学以降でも習得すべき、
数と式の重要問題を解説しています。
目次を紹介します。
第2章 数と式
02-01 恒等式
02-02 因数分解
02-03 整式の剰余
02-04 整数の性質
02-05 方程式の整数解
02-06 背理法
02-07 根号を含む計算
02-08 指数と対数
02-09 常用対数
02-10 式の値
02-11 不等式の証明・相加相乗平均
問題集はメルカリでご購入いただけます。
(現在問題集作成中。)
問題集イメージ図(予定)
是非、ブログを参考にいただき、ご購入よろしくお願いいたします。
まとめ
「02-06_背理法がわかる」を解説しました。
- ①背理法は高校数学で最高級の証明方法
- ➁おさえるべき重要問題
- ➂解法
- ➃全問題の解説は問題集にあります
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119