【QC検定®3級】誤差と残差の違いがすぐわかる
「QC検定®３級に出て来る、誤差と残差の違いがよくわからない。」、と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
中級や上級へ上がるにつれて、実験計画法や回帰分析で分散分析が出て来きます。
このときに、誤差と残差の違いを理解することが重要になるので
先に理解しましょう。
- ⓪(QC検定®3級共通)ＱＣ勉強方法がわかる
- ①誤差の種類がわかる
- ②誤差と残差の違いがわかる
- ③期待値で考える
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①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。
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⓪(QC検定®3級共通)ＱＣ勉強方法がわかる
QCプラネッツでは、QC検定®3級受験者、および品質管理初心者の方に、馴染みにくい品質管理用語や概念をわかりやすく解説します。
QC検定®3級共通として、まず、勉強方法を読んでください。
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【QC検定®3級】勉強方法がわかる QC検定®3級受験や品質管理を初めてのあなたへ、勉強方法を解説します。直前の丸暗記の合否だけではなく、品質管理を得意・好きになれる方法をわかりやすく解説します。試験合格、品質管理の理解を深めたい方は必見です。 |
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①誤差の種類がわかる
よく出る６つの関連用語
誤差と残差の違いを理解するために、8つの変数を定義します。
●真値
●測定値
●母平均
●測定平均
●かたより
●効果
●誤差
●残差
違いをイメージするために、
●真値と測定値の違いを見ましょう。
図や式から誤差と残差の違いを理解する
●下図から式を使って、誤差と残差の違いを確認しましょう。なお、わかりやすい説明のために、ある１変数iで変化する出力の値と、変数ごとに独立して偶発的に乗る誤差jがあるとします。
●測定値\(x_{ij} \)は上図の左右から2通り式を立てることができます。
・(測定値)=(母平均)+(かたより)+(誤差)
・(測定値)=(測定平均)+(主効果)+(残差)
と表現できます。つまり、
・\(x_{ij}\)=\(u\)+\(a_i\)+\(e_{ij}\) (左側)
・\(x_{ij}\)=\(μ\)+\(α_i\)+\(ε_{ij}\) (左側)
なお、真値\(X_{i} \)は誤差を含まない
\(X_{i} \)=\(u\)+\(a_i\)
です。
誤差と残差の違いが図と式で見えるようになりました。
②誤差と残差の違いがわかる
真値と測定値の違いから呼び名が違う
真値（真の値）は測定からはわかりません。なぜなら、偶発的に入る誤差\(e_{ij}\)が入り、この誤差がいくらかがわからないからです。
誤差は、定義では、「測定値」と「真値」の差です。
一方、残差は字のごとく、「残りの差」です。
誤差と残差の特徴
誤差と残差の特徴を、数式を使って解説します。
誤差の特徴
誤差は偶発的に入るもので、よく正規分布(平均0,標準偏差σに従うよう過程します。数式では次のように、よく表現します。
\(e_{ij}\) ∊ N(0,\(σ^2\)) と表現します。
残差の特徴
一方、残差の方は、測定値から算出できます。
（測定値）＝（平均）＋（主効果）＋（残差）ですね。
（測定値）の総和 ＝ （平均）の総和 と
（主効果）の総和＝０
なので、
（残差）の総和＝０となります。
数式ではよく次の式で表現します。
\(\sum_{i=1}^{a} ε_{ij}\)=0
\(\sum_{j=1}^{b} ε_{ij}\)=0
数式が全然違うから、別物としてもよさそうですが、
似た者にする理由を次に解説します。
③期待値で考える
実は、
・母平均u,測定平均μと
・かたよりと主効果と
・誤差,残差は、
期待値を使って関係性を作ることができます。
・主効果の期待値がかたより
・残差の期待値が誤差
数式で書くと
・E[μ]=u
・E[\(α_i\)]=\(a_i\)
・E[\(ε_{ij}\)]=\(e_{ij}\)
期待値とは
期待値は２つの意味があります。
- 単なる平均値
- サンプル数nを大きくした場合の平均値(極限値の意味を含む)
さいころの目の期待値を求めるときは、前者の「単ある平均値」で考えますが、
測定値の期待値は、後者の意味で考えます。
測定データは有限個数です。その測定データの値はデータ数の少なさから、ばらつきが大きくなりがちです。そこで、その有限個数のデータから、サンプル数nを大きくした場合、どの程度の値になるかを期待するために期待値を計算します。
実験計画法や回帰分析に重要
何のことかよくわからないでしょうけど、測定データの期待値は、
分散分析で、分散の期待値を計算するときに、
残差と誤差の概念の違いをよく理解する必要があります。
QC検定®３級、QC検定®２級レベルなら、知っておく程度でよいですが、
QC検定®１級以上を目指すころには絶対おさえておかないといけません。
| 効果 | S(平方和) | 自由度 | 分散 | E[V] |
| A(主効果) | SA | ΦA | VA | \(aσ_A^2\)+\(σ_e^2\) |
| e(残差) | Se | Φe | Ve | \(σ_e^2\) |
| T(合計) | ST | ΦT | – | – |
上表の一番右端のE[V]を計算するときに、誤差と残差の違いを理解しておく必要があります。分散の期待値E[V]の導出が、実験計画法や回帰分析の本質を理解するために必要なのです。
まず、誤差と残差の違いを図で理解しましょう。この違いが、将来必須となることをまず、知っておいてください。
まとめ
【QC検定®3級】誤差と残差をわかりやすく解説しました。
- ⓪(QC検定®3級共通)ＱＣ勉強方法がわかる
- ①誤差の種類がわかる
- ②誤差と残差の違いがわかる
- ③期待値で考える
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