数学基礎Day2
第２日目の学習に入ります。そしてDay2をクリアーしてください。
Day1のテーマ
- ①数列Σ公式変形の復習
- ②確率の復習
- ③Day1の演習問題
演習問題は全問正解しないとDay2には進めません。頑張りましょう！
①数列Σ公式変形の復習
品質（QC）に必要な理由
平方和の導出、平方和の分解にΣを使った変形が必須です。
数列Σ公式変形の2つのコツ
●(1) \(\sum_{i=1}^{a}\)(あ)
(あ)の中の変数がiに関係ないものは、n倍され、そのままΣの外に出せる
\(\sum_{i=1}^{a}(x_i-m)\)= \(\sum_{i=1}^{a}x_i-ma\)
●(2) \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} \)(iの式)(ijの式)の式を作り、\(\sum_{i=1}^{a}\) (iの式)=0の式を使って平方和を分解する。
(1)(2)とも難しいですが、使いこなせると品質管理の達人レベルになれます。演習問題で確認しましょう。
②確率の復習
品質（QC）に必要な理由
不良率の計算やOC曲線に必須です。Day1の二項定理とセットで使いこなせるよう復習しましょう。
確率の2つのコツ
●(1) \( {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)の式に慣れる
●(2)OC曲線、二項分布の基本式は\( \sum_{r=0}^{n} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)そのもの
Day2の演習問題
下の演習問題を解いてください。１００点取れると、Day1の解説、Day2に進むことができます。
問1：平方和の式を展開する。(ア)～(エ)に入るものを下から選べ。
\(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\)-2(ア)+\((\sum_{i=1}^{n} \bar{x})^2\)
ここで\(\bar{x}\)=(イ)で、\(\sum_{i=1}^{n}\bar{x}\)はiに関係ないので、
=\(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\)-2\(\sum_{i=1}^{n}x_i\)(イ)+ (ウ)\(\sum_{i=1}^{n} 1\)
=\(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\)-2(エ)+ (エ)
=\(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\)-\(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\)
となる。
① \((\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n})^2\) ② \(\sum_{i=1}^{n}x_i\bar{x}\)
③ \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\) ④ \(\frac{(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2}{n}\)
問２：データの構造式から平方和を導出する。（ア）～（ウ）に入るものを選べ。
因子Aがa水準あり、各水準の中でデータを複数回繰り返して取得する。このとき、得られたデータを\(x_{ij}\)、平均を\(\bar{\bar{x}}\)、各水準の平均を\(\bar{x_{i・}}\)とする。
つまり、\(\bar{x_{i・}}\)=(ア)で表現できる。また、\(\bar{x_{i・}}\)と\(\bar{\bar{x}}\)については、
\(\sum_{i=1}^{a}(\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})\)=(イ)である。
データ\(x_{ij}\)について
\((x_{ij}-\bar{\bar{x}})\)=\((\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})\)+\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})\)
と変形し、両辺の２乗和を求めます。つまり、
\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b}(x_{ij}-\bar{\bar{x}})^2\)
=\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} ((\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})\)+\((x_{ij}-\bar{x_{i・}}))^2\)
(右辺)を展開すると、
\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} (\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})\)\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})\)
が出て来る。この値は（ウ）である。よって、
\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b}(x_{ij}-\bar{\bar{x}})^2\)
=\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} ((\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} (x_{ij}-\bar{x_{i・}}))^2\)と分解でき、平方和Sで書き直すと、
\(S_T=S_A+S_e\)と書ける。
①\( \frac{1}{b} \sum_{j=1}^{b} x_{ij}\) ② \( \frac{1}{a} \sum_{i=1}^{a} x_{ij}\)
③ 0 ④ 1
問3：不良率5%の製品がある。10個をサンプリングする。（ア）～（ウ）に入るものを選べ。
不良品が１個以下である確率は（ア）である。
なお、一般化してサンプリングn個の中に、不良数rである確率を式で書くと、(イ)である。また、式
\(\sum_{r=0}^{n}\)(イ)=(ウ)である。
① 0.46 ②0.91 ③ 0 ④ 1
⑤ \( {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\) ⑥ \( {}_nC_r p^{n-r} (1-p)^{r}\)
下の「Start」にて回答を入力ください。では、スタート！
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