「確率変数の期待値と分散がいまいち解けない」などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
おさえておきたいポイント
- ①確率分布関数と確率の違いを理解する
- ➁確率変数の期待値と分散が解ける演習問題
- ➂確率変数の期待値と分散が解ける演習問題1
- ➃確率変数の期待値と分散が解ける演習問題2
- ➄確率変数の期待値と分散が解ける演習問題3
- ⑥確率変数の期待値と分散が解ける演習問題4
①確率分布関数と確率の違いを理解する
確率分布関数とは
累積分布関数
確率密度関数
とかいろいろありますが、
違いがわかりますか？
実は、そんなに違いを意識する必要なく、
求めたい区間の確率を数列の和・積分で計算するのが確率
という感覚でOKです。
累積分布関数
確率密度関数
とかいろいろありますが、
違いを理解するよりは
確率は数列と積分を使いまくる！
の意識の方が大事です！
確率分布関数の和・積分が確率
確率を求める際、
●確率Pr=ΣP
●期待値E[X]=ΣxPr, E[X2]=ΣxPr
●分散V=E[X2]-E[X] 2
を活用します。
数列のΣが出て来ます。
●確率Pr=∫f(x)dx
●期待値E[X]=∫x f(x)dx, E[X2]= ∫x2 f(x)dx
●分散V=E[X2]-E[X] 2
を活用します。
積分の∫が出て来ます。
なので、数列・積分・確率の練習をしましょう。
➁確率変数の期待値と分散が解ける演習問題
4問用意しました。
演習問題1
１から１０まで１枚ずつ記入した１０枚のカードがある。この１０枚の中から１枚任意に取り出し、k=1,2,3,4,5に対し、取り出したカードの数が2kなら、kをその値に、2k-1なら2k-1をその値にもつ確率変数Xを考える。このとき、E(X),V(X)を求めよ
演習問題2
２個のサイコロを同時に１回振るとき、
(1) ２つの目の和の期待値と分散を求めよ。
(2) ２つの目の積の期待値と分散を求めよ。
演習問題3
確率密度関数\(f(x)=\frac{1}{36}(-x^2+9)\) (-3 ≤ \(x\) ≤ 3)で定義される確率分布がある。
(1) \( \displaystyle \int_{-3}^{3} f(x)dx \)を求めよ。
(2) この確率分布の期待値と分散値を計算せよ。
演習問題4
正ｎ面体（nは自然数）でできたサイコロがある。どの面も出る確率は同一で1/nとする。
(1) 面i(1≤i≤n)が出る確率を離散型確率変数とする場合の期待値と分散値を計算せよ。
(2) 面i(1≤i≤n)が出る確率を連続型確率変数とする場合の期待値と分散値を計算せよ。
どうでしょうか？ すべて高校数学で解ける問題で、大学入試で出題されても良い良問ばかりです。この４問を使って、確率を数列と積分で解く習慣をつけましょう。
➂確率変数の期待値と分散が解ける演習問題1
問題
１から１０まで１枚ずつ記入した１０枚のカードがある。この１０枚の中から１枚任意に取り出し、k=1,2,3,4,5に対し、取り出したカードの数が2kなら、kをその値に、2k-1なら2k-1をその値にもつ確率変数Xを考える。このとき、E(X),V(X)を求めよ
回答
【解】大学入試で出題された問題です。実際に書き出して、期待値と分散を計算します。
上表をもとに、数列を使って期待値、分散を計算します。
●期待値E(X)は
E(X)=1・\(\frac{2}{10}\)+2・\(\frac{1}{10}\)+3・\(\frac{2}{10}\)+4・\(\frac{1}{10}\)+5・\(\frac{2}{10}\)+7・\(\frac{1}{10}\)+9・\(\frac{1}{10}\)=4
●分散V(X)は
V(X)=\((1-4)^2\)・\(\frac{2}{10}\)+\((2-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)+\((3-4)^2\)・\(\frac{2}{10}\)+\((4-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)+\((5-4)^2\)・\(\frac{2}{10}\)+\((7-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)+\((9-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)=6
数列を使った１問でした。
➃確率変数の期待値と分散が解ける演習問題2
問題
２個のサイコロを同時に１回振るとき、
(1) ２つの目の和の期待値と分散を求めよ。
(2) ２つの目の積の期待値と分散を求めよ。
回答
サイコロの問題は超有名なので、是非解きましょう。
1つ目のサイコロの目と２つ目のサイコロの目の出方はそれぞれ独立とします。
●E(X)=\(\frac{1}{6}\)(1+2+3+4+5+6)=\(\frac{7}{2}\)
●E(X2)=\(\frac{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)\)=\(\frac{91}{6}\)
●E(X)E(Y)=E(X)E(Y)= \(\frac{49}{4}\)
を使って問を解きます
(1)
● E(X+Y)=E(X)+E(Y)= \(\frac{7}{2}\)+\(\frac{7}{2}\)=7
●E((X+Y)2)=E(X2)+2E(X)E(Y)+E(Y2)
= \(\frac{91}{6}\)+2・\(\frac{7}{2}\)・\(\frac{7}{2}\)+ \(\frac{91}{6}\)= \(\frac{329}{6}\)
●V(X+Y)= E((X+Y) 2)- E(X+Y) 2
=\(\frac{329}{6}\)-49=\(\frac{35}{6}\)
(2)
● E(XY)=E(X)E(Y)= \(\frac{7}{2}\)・\(\frac{7}{2}\)=\(\frac{49}{4}\)
●E((XY)2)=E(X2)・E(Y2)= \(\frac{91}{6}\)・\(\frac{91}{6}\)= \(\frac{8281}{36}\)
●V(XY)= E((XY)2)- E(XY) 2=\(\frac{8281}{36}\)-\(\frac{2401}{16}\)=\(\frac{11515}{144}\)
機械的に計算しながら、公式や数列の計算に慣れていきましょう。
➄確率変数の期待値と分散が解ける演習問題3
問題
確率密度関数\(f(x)=\frac{1}{36}(-x^2+9)\) (-3 ≤ \(x\) ≤ 3)で定義される確率分布がある。
(1) \( \displaystyle \int_{-3}^{3} f(x)dx \)を求めよ。
(2) この確率分布の期待値と分散値を計算せよ。
回答
【問3】、【問4】は積分の演習問題です。
高校数学ですね。簡単な式で期待値、分散の積分計算に慣れていきましょう。
(1) \( \displaystyle \int_{-3}^{3} f(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{-3}^{3} \frac{1}{36}(-x^2+9)dx \)
=\(\frac{1}{36}\)\(\left[ -\frac{1}{3}x^3+9x \right]_{-3}^{3}\)=1
全区間の積分、つまり、全確率は合計１です。そりゃ、そうですよね！
(2)
●E[X]= \( \displaystyle \int_{-3}^{3} xf(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{-3}^{3} \frac{1}{36}x(-x^2+9)dx \)
=\(\frac{1}{36}\)\(\left[ -\frac{1}{4}x^4+\frac{9}{2}x^2 \right]_{-3}^{3}\)=0
となります。確かにy軸に対象な関数なので、平均は0ですね！確かに！
●E[X2]= \( \displaystyle \int_{-3}^{3} x^2f(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{-3}^{3} \frac{1}{36}x^2(-x^2+9)dx \)
=\(\frac{1}{36}\)\(\left[ -\frac{1}{5}x^5+3x^3 \right]_{-3}^{3}\)=\(\frac{9}{5}\)
より、
●V[X]= E[X2]―E[X] 2=\(\frac{9}{5}\)
積分慣れていきましょう。
●E[X]= \( \displaystyle \int_{a}^{b} xf(x)dx \)
●E[X2]= \( \displaystyle \int_{a}^{b} x^2 f(x)dx \)
を定義どおり、積分すれば確率・期待値・分散は計算できます。
⑥確率変数の期待値と分散が解ける演習問題4
問題
正ｎ面体（nは自然数）でできたサイコロがある。どの面も出る確率は同一で1/nとする。
(1) 面i(1≤i≤n)が出る確率を離散型確率変数とする場合の期待値と分散値を計算せよ。
(2) 面i(1≤i≤n)が出る確率を連続型確率変数とする場合の期待値と分散値を計算せよ。
回答
(1)は離散系なので数列∑、(2)は連続系なので積分を使います。同じ問題ですが、連続系と離散系で計算結果が若干変わる点が面白いので、解いてみましょう！
(1)
●期待値E=\(\sum_{i=1}^{n} i \frac{1}{n}\)=\(\frac{1}{n} \frac{1}{2}n(n+1)\)=\(\frac{1}{2}(n+1)\)
●分散V＝\(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}(i-\frac{n+1}{2})^2 \)=\(\frac{1}{12}(n+1)(n-1)\)
(2)
●期待値E=\( \displaystyle \int_{0}^{n} xf(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{0}^{n} x \frac{1}{n})dx \)=\(\frac{n}{2}\)
●分散V＝E(X2)-E(X) 2=\( \displaystyle \int_{0}^{n} x^2 f(x)dx \)-\((\frac{n}{2})^2\)=\(\frac{n^2}{12}\)
表にすると、離散系と連続系で結果が若干かわります。
| – | 離散系 | 連続系 |
| 期待値E | \(\frac{1}{2}(n+1)\) | \(\frac{1}{2}n\) |
| 分散V | \(\frac{1}{12}(n+1)(n-1)\) | \(\frac{n^2}{12}\) |
以上、数列・積分を使って、確率・期待値・分散が計算できることを確認しました。
まとめ
「【初心者必見！】確率変数の期待値と分散が解ける(高校数学で解ける！)」を解説しました。
- ①確率分布関数と確率の違いを理解する
- ➁確率変数の期待値と分散が解ける演習問題
- ➂確率変数の期待値と分散が解ける演習問題1
- ➃確率変数の期待値と分散が解ける演習問題2
- ➄確率変数の期待値と分散が解ける演習問題3
- ⑥確率変数の期待値と分散が解ける演習問題4
