「並列系のアベイラビリティがよくわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
並列系のアベイラビリティがよくわかる(修理系の一部が無い場合)
- ①アベイラビリティ
- ➁並列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
- ➂定常状態の並列系のアベイラビリティAを導出
- ➃並列系のアベイラビリティA(t)を計算
考え方は関連記事と同じですが、計算がもっと大変でした。計算を頑張ったので解説します！ちょっと応用になると計算が大変になるため、解説がない場合が多いです。でも、頑張れば解けるので読んでください。
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①アベイラビリティとは
アベイラビリティとは
信頼度を高めるには、
「故障しないこと」以外に、
「修理が短時間で終わること」も重要ですね。
動作状態(アップタイムU)と休止状態(ダウンタイムD)の比を取ったものが
「アベイラビリティ」です。
アベイラビリティA = \(\frac{アップタイムU}{アップタイムU+ダウンタイムD}\)
アベイラビリティは公式暗記で済ませるな！
結局、
A=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
になりますが、暗記より導出が大事！
それと、
アベイラビリティAは時間\(t\)の関数であるが、
A(t⇒∞)=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
ばかり試験や教科書しか出ないので、みんなこれを丸暗記して簡単と思ってしまう！
ちゃんとモデル式を立ててからアベイラビリティA(t)を導出しましょう。
アベイラビリティを公式暗記するリスク
単純な系なら、
A=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
でいいのですが、並列系、直列系と応用になると、式が複雑化し、式が理解できなくなります。
ちゃんとモデル式を立ててからアベイラビリティA(t)を導出しましょう。導出方法がわかれば、どんな系でもアベイラビリティは導出できます。
アベイラビリティの基本は、関連記事で解説しています。ご確認ください。
➁並列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
本記事では、次の例題を使って、並列系のアベイラビリティを解説します。
- 並列系のアベイラビリティA(t)をきちっと解く
- 並列系のアベイラビリティがいくらになるかを解く
- 並列系のメリットをアベイラビリティから理解する
なお、わかりやすくするため、指数分布について解説します。
並列系のアベイラビリティを考える例題
下図のような2個の同じ要素からなる並列系において、故障した要素を修理しつつ系を稼働させる場合の信頼度(確率)P(t)とアベイラビリティA(t)を求めたい。
下図のシャント線図で、各状態を定義する。
●\(S_0\)：故障しない(故障数0)の場合、またその確率を\(P_0\)とする。
●\(S_1\)：故障が1個(故障数1)の場合、またその確率を\(P_1\)とする。
●\(S_2\)：すべて故障する(故障数2)の場合、またその確率を\(P_2\)とする。
当然、\(P_0+P_1+P_2=1\)である。
さらに、故障率\(λ_i\)、修理率\(μ_i\)を下図のシャント線図のように定義する。
(1) 連立微分方程式を作れ
(2) 定常状態(t⇒∞)における、各状態の確率\(P_i\)とアベイラビリティ\(A\)を計算せよ。
(3) 初期条件を\(P_0(0)=1\),\(P_1(0)=P_2(0)=0\)とし、\(λ_i\)=\(μ_i\)=\(λ\)として、各状態の確率\(P_i(t)\)とアベイラビリティ\(A(t)\)を計算せよ。
(4) (3)の結果をt⇒∞にしたときの各状態の確率\(P_i(t)\)とアベイラビリティ\(A(t)\)を計算せよ。
図をよくみると、状態\(S_2\)から状態\(S_1\)へ修理する矢印がありません。矢印が2方向ない場合を今回解説します。
ちょっと長～～い問題文になったけど、重要なので１つ１つやっていきましょう。
各問は以下でそれぞれ解説します。
- ①アベイラビリティ
- ➁並列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
⇒(1)を解説
- ➂定常状態の並列系のアベイラビリティAを導出
⇒(2)を解説
- ➃並列系のアベイラビリティA(t)を計算
⇒(3)(4)を解説
信頼性工学は以下の3点の流れで解いていきます。ＱＣプラネッツの全記事共通です。
- シャント線図、微分方程式の導出
- ラプラス変換の基本
- MTTF,MTBF,MTTRの導出方法
連立微分方程式を作る
シャント線図を見ながら、微分方程式を作ります。
●微分方程式は下のようになります。
関連記事では、以下の微分方程式でした。
●\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\(λ_0 P_0(t)\)+\(μ_0 P_1(t)\)
●\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λ_0 P_0(t)\) ―\((λ_1+ μ_0)P_1(t)\)+\(μ_1 P_2(t)\)
●\(\displaystyle \frac{dP_2(t)}{dt} \)=\(λ_1 P_1(t)\)―\(μ_1 P_2(t)\)
これから、状態\(S_2\)から状態\(S_1\)へ修理する矢印を無くしたのが今回の場合なので、微分方程式は以下に変形します。
●\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\(λ_0 P_0(t)\)+\(μ_0 P_1(t)\)
●\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λ_0 P_0(t)\) ―\((λ_1+ μ_0)P_1(t)\)+\(μ_1 P_2(t)\)
●\(\displaystyle \frac{dP_2(t)}{dt} \)=\(λ_1 P_1(t)\) ―\(μ_1 P_2(t)\)
●微分方程式((1)の答え)
\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\(λ_0 P_0(t)\)+\(μ_0 P_1(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λ_0 P_0(t)\) ―\((λ_1+ μ_0)P_1(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_2(t)}{dt} \)=\(λ_1 P_1(t)\)
初期条件は決まっている
●初期条件
\(P_0 (0)=1\),\(P_1 (0)=0\),\(P_2 (0)=0\)です。
では、微分方程式をラプラス変換して解いてみましょう。
➂定常状態の並列系のアベイラビリティAを導出
定常状態とは、t⇒∞で、確率の変化が0の場合です。つまり、(1)の微分方程式でいうと
\(\displaystyle \frac{dP_i(t)}{dt} \)=0 (\(i\)=0,1,2)です。
よって計算できます。
●微分方程式から
0=―\(λ_0 P_0\)+\(μ_0 P_1\)
0=\(λ_0 P_0\) ―\((λ_1+ μ_0)P_1\)
0=\(λ_1 P_1\)
\(P_0+P_1+P_2=1\)
解くと、
●\(P_0\)=0
●\(P_1\)=0
●\(P_2\)=0
となりますが、
●\(P_0+P_1+P_2=1\)が成立しません。
どういうこと？
定常解が存在しないから、定常状態にはならない！ということですね！
また、アベイラビリティ\(A\)は
動作できる状態の確率をアベイラビリティとすると、すべて故障する\(P_2\)以外の確率がアベイラビリティと定義できす。
\(P_0+P_1+P_2=1\)から
\(A=P_0+P_1=1-P_2\)と定義できます。
よって、
ですが、定常状態がないため、定常時のアベイラビリティAは０と存在しないみたいです。
(2)もできました。
➃並列系のアベイラビリティA(t)を計算
問いを再掲
もう一度、問と微分方程式に戻ります。
問（再掲）
(3) 初期条件を\(P_0(0)=1\),\(P_1(0)=P_2(0)=0\)とし、\(λ_i\)=\(μ_i\)=\(λ\)として、各状態の確率\(P_i(t)\)とアベイラビリティ\(A(t)\)を計算せよ。
微分方程式（再掲）
●\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\(λ_0 P_0(t)\)+\(μ_0 P_1(t)\)
●\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λ_0 P_0(t)\) ―\((λ_1+ μ_0)P_1(t)\)
●\(\displaystyle \frac{dP_2(t)}{dt} \)=\(λ_1 P_1(t)\)
を、\(λ_i\)=\(μ_i\)=\(λ\)として、
●\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\(λ P_0(t)\)+\(λP_1(t)\)
●\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λ P_0(t)\) ―\(2λ P_1(t)\)
●\(\displaystyle \frac{dP_2(t)}{dt} \)=\(λ P_1(t)\)
●初期条件：\(P_0 (0)=1\),\(P_1 (0)=0\),\(P_2 (0)=0\)
ラプラス変換して解析
ラプラス変換すると微分方程式は、
●\(sP_0 -P_0(=1) \)=―\(λ P_0\)+\( λ P_1\)
●\(sP_1 \)=\(λ P_0\) ―\(2λP_1\)
●\(sP_2 \)=\(λ P_1\)
3つの両辺を足すと
\(P_0 +P_1 +P_2 \)=\(\frac{1}{s}\)
ここから計算が大変。。。でも頑張って解いた結果なので読んで欲しいし、是非解いてみてください。良い計算練習になります！
●\(P_1\)=\(\frac{(s+λ)P_0 -1}{λ}\)
●\(P_2\)=\(\frac{λ}{s}P_1\)
と変形して、
\(P_0 +P_1 +P_2 \)=\(\frac{1}{s}\)
に代入すると、\(P_0\)が求まります。
\(P_0\)を計算
\(P_0\)+\(\frac{(s+λ)P_0 -1}{λ}\)+\(\frac{(s+λ)P_0 -1}{s}\)=\(\frac{1}{s}\)
\(sλP_0\)+\(s(s+λ)P_0-s\)+\(λ(s+λ)P_0-λ\)=\(λ\)
まとめると、
\(((s+λ)^2 + sλ)P_0 = s+2λ\)
sの2次式になりました。結構計算が大変！
ラプラス変換を逆に戻すポイントは
\(\frac{1}{(s+a)(s+b)}\)= \(\frac{A}{s+a}+\frac{B}{s+b}\)
と分母の積を分解することです。
よって、
\(P_0\)=\(\frac{ s+2λ}{(s+λ)^2 + sλ}\)
=\(\frac{\frac{5-\sqrt{5}}{10}λ}{s+\frac{3+\sqrt{5}}{2}λ}\)+\(\frac{\frac{5+\sqrt{5}}{10}λ}{s+\frac{3-\sqrt{5}}{2}λ}\)
計算がキツイねえ。。。
\(P_1\)を計算
頑張って解いていきます。
\(P_1\)=\( \frac{(s+λ)(s+2λ)}{λ((s+λ)^2 + sλ)}-\frac{1}{λ}\)
=\(\frac{λ^2}{λ(s^2+3λs+λ^2)}\)
=\(\frac{λ}{(s+\frac{3+\sqrt{5}}{2}λ)( s+\frac{3-\sqrt{5}}{2}λ)}\)
=\(\frac{1}{\sqrt{5}} \frac{1}{ s+\frac{3-\sqrt{5}}{2}λ}\)-\(\frac{1}{\sqrt{5}} \frac{1}{ s+\frac{3+\sqrt{5}}{2}λ}\)
大変な計算ですね。
\(P_2\)を計算
\(P_2\)=\(\frac{λ}{s}P_1\)
=\(\frac{λ^2}{s(s+\frac{3+\sqrt{5}}{2}λ)( s+\frac{3-\sqrt{5}}{2}λ)}\)
=\(\frac{λ^2}{s}\)+\(\frac{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2\sqrt{5}}}{s+\frac{3+\sqrt{5}}{2}}λ^2\)-\(\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2\sqrt{5}}}{s+\frac{3-\sqrt{5}}{2}}λ^2\)
まとめたくないけど、まとめると、
●\(P_0\)=\(\frac{\frac{5-\sqrt{5}}{10}λ}{s+\frac{3+\sqrt{5}}{2}λ}\)+\(\frac{\frac{5+\sqrt{5}}{10}λ}{s+\frac{3-\sqrt{5}}{2}λ}\)
●\(P_1\)=\(\frac{1}{\sqrt{5}} \frac{1}{ s+\frac{3-\sqrt{5}}{2}λ}\)-\(\frac{1}{\sqrt{5}} \frac{1}{ s+\frac{3+\sqrt{5}}{2}λ}\)
●\(P_2\)=\(\frac{λ^2}{s}\)+\(\frac{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2\sqrt{5}}}{s+\frac{3+\sqrt{5}}{2}}λ^2\)-\(\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2\sqrt{5}}}{s+\frac{3-\sqrt{5}}{2}}λ^2\)
確率\(R_i(t)\)と\(A(t)\)を解析
逆ラプラス変換すると
各確率\(P_i (t)\)は
●\(P_0 (t)\)=\(\frac{5-\sqrt{5}}{10}λ e^{-\frac{3+\sqrt{5}}{2}}λt\)+\(\frac{5+\sqrt{5}}{10}λ e^{-\frac{3-\sqrt{5}}{2}}λt\)
●\(P_1 (t)\)=\(\frac{λ}{\sqrt{5}}(e^{-\frac{3-\sqrt{5}}{2}λt }- e^{-\frac{3+sqrt{5}}{2}λt }\)
●\(P_2 (t)\)=\(λ^2\)+\(λ^2 (-\frac{1}{2}+\frac{3}{2\sqrt{5}})e^{-\frac{3+\sqrt{5}}{2}λt}\)-\(λ^2 (\frac{1}{2}+\frac{3}{2\sqrt{5}})e^{-\frac{3-\sqrt{5}}{2}λt}\)
ちなみに、\(P_0 (t)\)+ \(P_1 (t)\)+ \(P_2 (t)\)=1となっていませんから、定常状態にはならないんでしょうね。
アベイラビリティA(t)は
動作できる状態の確率をアベイラビリティとすると、すべて故障する\(P_2\)以外の確率がアベイラビリティと定義できす。
\(P_0+P_1+P_2=1\)から
\(A=P_0+P_1=1-P_2\)と定義できます。
よって、アベイラビリティA(t)は
\(A(t)\)= \(P_0 (t)\)+ \(P_1 (t)\)
\(A(t)\)=\(\frac{3-\sqrt{5}}{10}λ e^{-\frac{3+\sqrt{5}}{2}λt} \)+\(\frac{3+\sqrt{5}}{10}λ e^{-\frac{3-\sqrt{5}}{2}λt} \)
(3)の答えをまとめると、
各確率\(P_i (t)\)は
●\(P_0 (t)\)=\(\frac{5-\sqrt{5}}{10}λ e^{-\frac{3+\sqrt{5}}{2}}λt\)+\(\frac{5+\sqrt{5}}{10}λ e^{-\frac{3-\sqrt{5}}{2}}λt\)
●\(P_1 (t)\)=\(\frac{λ}{\sqrt{5}}(e^{-\frac{3-\sqrt{5}}{2}λt }- e^{-\frac{3+sqrt{5}}{2}λt }\)
●\(P_2 (t)\)=\(λ^2\)+\(λ^2 (-\frac{1}{2}+\frac{3}{2\sqrt{5}})e^{-\frac{3+\sqrt{5}}{2}λt}\)-
\(λ^2 (\frac{1}{2}+\frac{3}{2\sqrt{5}})e^{-\frac{3-\sqrt{5}}{2}λt}\)
◎\(A(t)\)=\(\frac{3-\sqrt{5}}{10}λ e^{-\frac{3+\sqrt{5}}{2}λt} \)+\(\frac{3+\sqrt{5}}{10}λ e^{-\frac{3-\sqrt{5}}{2}λt} \)
できましたね。
➃並列系のメリットをアベイラビリティから考える
問を再掲します。計算した確率とアベイラビリティの時刻tにおける極限値を考えます。
【問を再掲】
(4) (3)の結果をt⇒∞にしたときの各状態の確率\(P_i(t)\)とアベイラビリティ\(A(t)\)を計算せよ。
(4)の解
t⇒∞にしたときの各状態の確率\(P_i(t)\)とアベイラビリティ\(A(t)\)を計算すると、
●\(P_0 (t)\)=0
●\(P_1 (t)\)=0
●\(P_2 (t)\)=\(λ^2\)
◎\(A(t)\)=0
となり、\(P_0+P_1+P_2=1\)となりません。
定常状態にならないんでしょうね。
以上、修理系の一部が無い場合は、計算できるけど、その解の状態にはならないことがわかりました。計算が大変でしたけど、解がしっくりこないことがわかりましたね。こういうときもあります！ 教科書とかには書いていないケースですが、実際計算するとわかることがたくさんあります。
まとめ
「並列系のアベイラビリティがよくわかる(修理系の一部が無い場合)」を解説しました。
- ①アベイラビリティ
- ➁並列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
- ➂定常状態の並列系のアベイラビリティAを導出
- ➃並列系のアベイラビリティA(t)を計算
信頼性工学
