分割法(乱塊法無しの2因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける
「分割法はよく乱塊法があるけどなぜ？」、「乱塊法が無い場合の分割法の分散分析や期待値の導出がわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、分割法の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
分割法(乱塊法無し)の分散分析や期待値の導出
- ➀分割法とは何かがわかる
- ②分割法(乱塊法無し)のデータの構造式が書ける
- ③平方和の分解の式が書ける
- ④主効果・誤差の分散の期待値が導出できる
- ⑤分散分析ができる
- ⑥主効果の区間推定が導出できる
- ⑦期待値、分散分析や区間推定の演習問題
記事の信頼性
記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です！
乱塊法を使った分割法については、関連記事分割法(2因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】に解説しています。基本、関連記事と同じデータの構造式で乱塊法が無い場合を本記事で扱います。
●You tube動画でも解説しています。ご覧ください。
➀分割法とは何かがわかる
関連記事分割法(2因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】にも同じ記事があります。
●関連記事を使って、反復因子の有無の違いについて考えてみましょう。
分割法(2因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
実験計画法の、分割法(2因子1段分割＋乱塊法)の分散分析、分散の期待値の導出、主効果・交互作用の区間推定の導出ができますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事は、分割法の分散分析、分散の期待値の導出、区間推定の導出を解説します。分散分析、期待値の導出、区間推定をマスターしたい方は必見です。
②分割法(乱塊法無し)のデータの構造式が書ける
データの構造式
関連記事分割法(2因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】の乱塊法ありのデータの構造式を挙げます。
分割法(乱塊法有り)のデータの構造式
xijk=μ+γk+αi+e(1)ik+βj+(αβ) ij+ e(2)ijk
次に、本記事で解説する乱塊法無しの分割法のデータの構造式を挙げます。違いを確認しましょう。
分割法(乱塊法無し)のデータの構造式
xijk=μ+γk+αi+e(1)ik+βj+(αβ) ij+ e(2)ijk
反復因子Rのγkの有無の違いだけです。
簡単ですが、
反復因子Rの違いによる影響を挙げます。
反復因子Rの違いによる影響
- 残差e(1)の自由度、分散の期待値の値が変わる
- それ以外の主効果、交互作用、残差には影響無し
各平均値をデータの構造式で作る
母数因子と変量因子の違い
関連記事【簡単】母数因子と変量因子の違いがすぐわかるにて、母数因子と変量因子を解説しました。
母数因子と変量因子
母数因数：α、β、αβ
変量因子：e(1)、e(2)
平均値
母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。
平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。
平均値の式の代表例
データの構造式
xijk=μ+αi+e(1)ik+βj+(αβ) ij+ e(2)ijk
(\bar{x_{i‥}}=μ+αi+\bar{e{(1)i･}}+\bar{e_{(2)i･･}})
(\bar{x_{･j･}}=μ+βj+\bar{e{(2)･j･ }})
(\bar{x_{‥k}}=μ+ \bar{e_{(1)･k}}+\bar{e_{(2)･･k}})
(\bar{x_{ij･}})=μ+(αi)+(\bar{e{(1)i･}})+(βj)+((αβ){ij})+(\bar{e_{(2)ij･}})
(\bar{x_{i･k}})=μ+(αi)+(e{(1)ik})+(\bar{e_{(2)i･k}})
(\bar{\bar{x}})=μ+(\bar{\bar{e}})
③分割法の平方和の分解の式が書ける
データの構造式を変形
式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。
| \(x_{ijk}\) | \(\bar{x_{i･･}}\) | \(\bar{x_{･j･}}\) | \(\bar{x_{･･k}}\) | \(\bar{x_{ij･}}\) | \(\bar{x_{･jk}}\) | \(\bar{x_{i･k}}\) | \(\bar{\bar{x}}\) | |
| SA | 1 | -1 | ||||||
| Se(1) | -1 | 1 | ||||||
| SB | 1 | -1 | ||||||
| SA×B | -1 | -1 | 1 | 1 | ||||
| Se(2) | 1 | 1 | -1 | -1 | ||||
| ST | 1 | -1 |
オレンジ色枠部は乱塊法の有無によって差が出るところです。
表から各平方和の導出式が簡単にでますね。SB、Se(1)を例に挙げます。
(S_B)=(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}})^2)
( S_{e(1)})=( \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} (\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{i‥}})^2)
と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣ( )^2で計算できます。
④分割法の主効果・誤差の期待値が導出できる
期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。
主効果の分散の期待値の導出
E[(S_B)]=E[(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c})((\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}})^2)]
=E[(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c})
((βj+\bar{e{(2)･j･}}-\bar{\bar{e}})^2)]
=E[(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c})((βj )^2)]
+E[(\sum{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c})((\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{\bar{e}})^2)]
=(ac(b-1)σB^2) +((b-1)(σ{e(2)}^2))
主効果Bの自由度は(b-1)より、分散の期待値E[VB]が求まります。
E[(V_B)]=(acσB^2) +(σ{e(2)}^2)
なお、分散の期待値を以下とします。
( σB^2)=E[(\frac{\sum{j=1}^{b}β_j^2}{b-1})]
(σ_e^2)については解説集にあります。
残差の分散の期待値の導出
( S_{e(1)})=( \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} (\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{i‥}})^2)
E[(S_{e(1)})]=E[(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c})((\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{i‥}})^2)]
=E[(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c})
(((e_{(1)ik}-\bar{e_{(1)i･}})+(\bar{e_{(2)i･k}}-\bar{e_{(2)i･･}}))^2)]
E[(S_{e1})]=(ab(c-1)σ{e(1)}^2+a(c-1) σ{e(2)}^2)
(全計算過程は解説集にあります)
残差e(1)の自由度はa (c-1)より、分散の期待値E[V e(1)]が求まります。
E[(e_{(1)})]= (bσ{e(1)}^2+σ{e(2)}^2)
⑤分割法の分散分析ができる
自由度の計算
各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。
- データの構造式を書く
- 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
- 自由度は表を活用すると簡単に求まる
自由度をまとめます。
| a | b | c | ab | ac | bc | abc | 1 | |
| A | 1 | -1 | ||||||
| e(1) | -1 | 1 | ||||||
| B | 1 | -1 | ||||||
| A×B | -1 | -1 | 1 | 1 | ||||
| e(2) | 1 | -1 | -1 | 1 | ||||
| T | 1 | -1 |
オレンジ色枠部は乱塊法の有無によって差が出るところです。
分散分析の結果
分散分析表を作ります。
| φ | E[V] | |
| A | a-1 | \(σ_{e(2)}^2\)+\(bσ_{e(1)}^2\)+\(bcσ_A^2\) |
| e(1) | a(c-1) | \(σ_{e(2)}^2\)+\(bσ_{e(1)}^2\) |
| B | b-1 | \(σ_{e(2)}^2\)+\(acσ_B^2\) |
| A×B | (a-1)(b-1) | \(σ_{e(2)}^2\)+\(cσ_{A×B}^2\) |
| e(2) | a(b-1)(c-1) | \(σ_{e(2)}^2\) |
| T | abc-1 | – |
⑥分割法の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
母平均の点推定の導出方法
有効繰返し数と区間推定の導出方法
区間推定は、下の式で算出します。
$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$
区間推定のポイント
- ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
- 誤差eの自由度φeである。
- Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出
サタースウェイトの式については、ここを見てください。
主効果の点推定と区間推定の導出
分散の期待値から分散の推定値を導出
分散分析から、e(1)とe(2)の分散の推定値E[V]を導出します。
| V | |
| e(1) | Ve(1)=\(\widehat{σ_{e(2)}^2}\)+\(\widehat{bσ_{e(1)}^2}\) |
| e(2) | Ve(2)=\(\widehat{σ_{e(2)}^2}\) |
上の表から、分散の推定値を求めます。
(\widehat{σ{e(1)}^2}=\frac{1}{b}(V{e(1)}-V_{e(2)}))
(\widehat{σ_{e(2)}^2})=Ve(2)
主効果の点推定と区間推定
点推定： (\widehat{μ}(B_j)=\bar{x_{･j･}})=(\widehat{μ+βj})
=(μ+β_j +\bar{e{(2)・j・}})
分散：(\widehat{Var}(\widehat{μ}(B_j)))
=V[μ+(βj+\bar{e{(2)･j･}})]
= V[(\bar{e_{(2)・j・}})]
=(\frac{\widehat{σ_{e(2)}^2}}{bc})
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。
一連の導出過程を解説しました。
⑦分割法の分散分析を導出できる演習問題
【問】2因子交互作用ありで2段分割法について、乱塊法の有無の違いを自由度と分散分析の観点から比較せよ。
➀乱塊法有り
xijk=μ+γk+αi+e(1)ik+βj+(αβ) ij+ e(2)ijk
②乱塊法無し
xijk=μ+αi+e(1)ik+βj+(αβ) ij+ e(2)ijk
(詳細は解説集にあります。)
まとめ
分割法(乱塊法無し)の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。
- ➀分割法とは何かがわかる
- ②分割法(乱塊法無し)のデータの構造式が書ける
- ③平方和の分解の式が書ける
- ④主効果・誤差の分散の期待値が導出できる
- ⑤分散分析ができる
- ⑥主効果の区間推定が導出できる
- ⑦期待値、分散分析や区間推定の演習問題
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119