分散分析から母分散の推定区間が導出できる
「母分散の推定区間はどうやって求めるの？」、「母分布の推定区間にχ2分布やF分布の使い方がわからない？」など、疑問に思いませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
分散分析から母分散の推定区間が導出できる
- ➀一元配置実験の場合
- ②二元配置実験(乱塊法も含む)の場合
- ③分割法(乱塊法も含む)の場合
記事の信頼性
記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。
➀一元配置実験の場合
データの構造式と分散分析表
どんな場面でも、最初はデータの構造式を書きましょう。データの構造式が実験計画法のすべてを導きます。
xij=μ+αi+ εij
分散分析表を作ります。分散分析表の作り方については関連記事をご覧下さい。
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一元配置実験の分散分析・区間推定が解ける【必見】 実験計画法の、一元配置実験の分散分析、分散の期待値の導出、主効果・交互作用の区間推定の導出ができますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事は、一元配置実験の分散分析、分散の期待値の導出、区間推定の導出を解説します。分散分析、期待値の導出、区間推定をマスターしたい方は必見です。 |
分散分析表
| – | φ | E[V] |
| A | a-1 | \(σ_e^2\)+\(bσ_A^2\) |
| e | a(b-1) | \(σ_e^2\) |
| T | ab-1 | – |
よって、
E[VA]=\(σ_e^2\)+\(bσ_A^2\)
E[Ve]=\(σ_e^2\)
となり、
\(σ_A^2\)=E[\(\frac{V_A-V_e}{b}\)]
\(σ_e^2\)= E[Ve]
となります。
残差\(σ_e^2\)の推定区間の導出
\(σ_e^2\)については、χ2分布を活用します。
χ2は平方和S2と\(σ_e^2\)を用いて
\(Χ^2=\frac{S_e}{σ_e^2}\)
と表現できます。
言い換えると、
\(σ_e^2\)=\(\frac{S_e}{Χ^2}\)
となり、χ2の確率区間で\(σ_e^2\)の推定区間が求まります。
\(\frac{S_e}{Χ^2(\frac{α}{2})}\)主効果\(σ_A^2\)の推定区間の導出
一方、主効果\(σ_A^2\)については、\(σ_e^2\)と同様に、χ2を使って推定区間を求めてもよいですが、F分布を使って推定区間を求めます。
\(σ_A^2\)=E[\(\frac{V_A-V_e}{b}\)]
\(\frac{V_A-V_e}{b}\)=\(\frac{V_e}{b}(\frac{V_A}{V_e}-1)\)
と変形して、\(\frac{V_A}{V_e}\)=F(\(φ_A,φ_e,\frac{α}{2})\)とします。
\(\frac{V_A-V_e}{b}\)=\(\frac{V_e}{b}(F(φ_A,φ_e,\frac{α}{2})-1)\)
Fを使って推定区間を求めると次のように導出できます。
\(\frac{V_e}{bF(φ_e,φ_A,\frac{α}{2})}-\frac{V_e}{b}\)②二元配置実験(乱塊法も含む)の場合
データの構造式と分散分析表
どんな場面でも、最初はデータの構造式を書きましょう。データの構造式が実験計画法のすべてを導きます。
xij=μ+rj+αi+ εij
分散分析表を作ります。
| – | φ | E[V] |
| R | r-1 | \(σ_e^2\)+\(aσ_R^2\) |
| A | a-1 | \(σ_e^2\)+\(rσ_A^2\) |
| e | (a-1)(r-1) | \(σ_e^2\) |
| T | ar-1 | – |
よって、
E[VA]=\(σ_e^2\)+\(rσ_A^2\)
E[VR]=\(σ_e^2\)+\(aσ_R^2\)
E[Ve]=\(σ_e^2\)
となり、
\(σ_A^2\)=E[\(\frac{V_A-V_e}{r}\)]
\(σ_R^2\)=E[\(\frac{V_R-V_e}{a}\)]
\(σ_e^2\)= E[Ve]
となります。
残差\(σ_e^2\)の推定区間の導出
一元配置実験と同じ結果になります。
\(\frac{S_e}{Χ^2(\frac{α}{2})}\)反復R\(σ_R^2\),主効果A\(σ_A^2\)の推定区間の導出
一元配置実験と同様にF分布を使って導出します。
\(σ_A^2\)=E[\(\frac{V_A-V_e}{r}\)]
\(σ_R^2\)=E[\(\frac{V_R-V_e}{a}\)]
変形して、
\(\frac{V_A-V_e}{r}\)=\(\frac{V_e}{r}(\frac{V_A}{V_e}-1)\)=\(\frac{V_e}{r}( F(φ_A,φ_e,\frac{α}{2})-1)\)
\(\frac{V_R-V_e}{a}\)=\(\frac{V_e}{a}(\frac{V_R}{V_e}-1)\)=\(\frac{V_e}{a}( F(φ_R,φ_e,\frac{α}{2})-1)\)
とします。
Fを使って推定区間を求めると次のように導出できます。
\(\frac{V_e}{rF(φ_e,φ_A,\frac{α}{2})}-\frac{V_e}{r}\)
\(\frac{V_e}{aF(φ_e,φ_R,\frac{α}{2})}-\frac{V_e}{a}\)③分割法(乱塊法も含む)の場合
データの構造式と分散分析表
どんな場面でも、最初はデータの構造式を書きましょう。データの構造式が実験計画法のすべてを導きます。
xijk=μ+rk+αi+ε(1)ik+βj+(αβ)ij+ ε(2)ijk
分散分析表を作ります。
| – | φ | E[V] |
| R | c-1 | \(σ_{e(2)}^2\)+\(bσ_{e(1)}^2\)+\(abσ_R^2\) |
| A | a-1 | \(σ_{e(2)}^2\)+\(bσ_{e(1)}^2\)+\(bcσ_R^2\) |
| e(1) | (a-1)(c-1) | \(σ_{e(2)}^2\)+\(bσ_{e(1)}^2\) |
| B | b-1 | \(σ_{e(2)}^2\)+\(acσ_R^2\) |
| A×B | (a-1)(b-1) | \(σ_{e(2)}^2\)+\(cσ_R^2\) |
| e(2) | a(b-1)(c-1) | \(σ_{e(2)}^2\) |
| T | abc-1 | – |
よって、
E[VA]=\(σ_{e(2)}^2\)+\(bσ_{e(1)}^2\)+\(bcσ_A^2\)
E[VR]=\(σ_{e(2)}^2\)+\(bσ_{e(1)}^2\)+\(abσ_R^2\)
E[VB]=\(σ_{e(2)}^2\)+\(acσ_B^2\)
E[VA×B]=\(σ_{e(2)}^2\)+\(cσ_{A×B}^2\)
E[Ve(1)]=\(σ_{e(2)}^2\)+\(bσ_{e(1)}^2\)
E[Ve(2)]=\(σ_{e(2)}^2\)
となり、
\(σ_A^2\)=E[\(\frac{V_A-V_{e(1)}}{bc}\)]
\(σ_R^2\)=E[\(\frac{V_R-V_{e(1)}}{ab}\)]
\(σ_B^2\)=E[\(\frac{V_B-V_{e(2)}}{ac}\)]
\(σ_ {A×B} ^2\)=E[\(\frac{V_ {A×B}-V_{e(2)}}{c}\)]
\(σ_ {e(1)} ^2\)=E[\(\frac{V_ {e(1)}-V_{e(2)}}{b}\)]
\(σ_ {e(2)} ^2\)=E[\(V_ {e(2)}\)]
となります。
残差\(σ_{e(1)}^2\),\(σ_{e(2)}^2\)推定区間の導出
\(σ_ {e(2)} ^2\)は、一元配置実験と同じ結果になります。
\(\frac{S_{e(2)}}{Χ^2(\frac{α}{2})}\)
\(σ_ {e(1)} ^2\)=E[\(\frac{V_ {e(1)}-V_{e(2)}}{b}\)]
変形して、
\(\frac{ V_{e(1)}-V_{e(2)}}{b}\)=\(\frac{ V_{e(2)}}{b}( F(φ_{e(1)}, φ_{e(2)},\frac{α}{2})-1)\)= \(\frac{ V_{e(2)}}{b}(\frac{V_{e(1)}}{V_{e(2)}}-1)\)
とします。
Fを使って推定区間を求めると次のように導出できます。
\(\frac{V_{e(2)}}{bF(φ_{e(2)},φ_{e(1)},\frac{α}{2})}-\frac{V_{e(2)}}{b}\)反復R\(σ_R^2\),主効果B\(σ_B^2\)の推定区間の導出
F分布を使って推定区間を導出します。
(σR^2)=E[(\frac{V_R-V{e(1)}}{ab})]
(σB^2)=E[(\frac{V_B-V{e(2)}}{ac})]
変形して、
(\frac{ V_R-V_{e(1)}}{ab})=(\frac{ V_{e(1)}}{ab}(\frac{V_R}{V_{e(1)}}-1))=(\frac{ V_{e(1)}}{ab}( F((φR, φ{e(1)},\frac{α}{2})-1))
(\frac{ V_B-V_{e(2)}}{ac})=(\frac{ V_{e(2)}}{ac}(\frac{V_B}{V_{e(2)}}-1))=(\frac{ V_{e(2)}}{ac}( F((φB, φ{e(2)},\frac{α}{2})-1))
Fを使って推定区間を求めると次のように導出できます。
\(\frac{V_{e(1)}}{abF(φ_{e(1)},φ_R,\frac{α}{2})}-\frac{V_{e(1)}}{ab}\)
\(\frac{V_{e(2)}}{acF(φ_{e(2),φ_B},\frac{α}{2})}-\frac{V_{e(2)}}{ac}\)まとめ
さまざまな分散分析から母分散の推定区間の導出方法について解説しました。
- ➀一元配置実験の場合
- ②二元配置実験(乱塊法も含む)の場合
- ③分割法(乱塊法も含む)の場合
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119