2021/09/08 (更新日: 2023/12/08)

擬水準法(不足する場合)の分散分析・区間推定が解ける【必見】

実験計画法

「擬水準法って何なの？」、「2水準系に3水準を割当てる(不足する)擬水準法の分散分析や期待値の導出がわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、擬水準法の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

擬水準法の分散分析や期待値の導出

• ➀不足する場合の擬水準法とは何かがわかる
• ②擬水準法のデータの構造式が書ける
• ③平方和の分解の式が書ける
• ④擬水準法の主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
• ⑤分散分析ができる

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です！

●You tubeで　本記事の読み方を解説しています。

➀擬水準法とは何かがわかる

よく使う場面

α=2なら2水準系の実験で因子Aだけが3水準に割り付ける場合が多いです。

②擬水準法のデータの構造式が書ける

データの構造式

データの構造式から擬水準法を理解する

1. 多水準法のデータの構造式を作る
2. 一部の項を変形すれば擬水準法になる

本サイトも、教科書に準拠して、直交表を使った擬水準法の分散分析を解説します。

多水準法のデータの構造式は、関連記事多水準法の分散分析・区間推定が解ける【必見】にて、解説しています。この関連記事の”②分割法のデータの構造式が書ける”を見てください。

多水準法のデータの構造式

x_ikl=μ+α_i+γ_k+δ_l
+(αγ)_ik+(αδ)_il+(γδ)_kl
+e_ikl
(i=a²,k=c,l=d)

擬水準法のデータの構造式

(不足する場合)の擬水準法は、多水準法のi=α²がi=α+m(α2)

多水準法に比べて、i=α+m(α2)なので、i’=α²な因子を仮に定義してデータの構造式を書きます。

α_i　→　p_i’
(i=α+m(α2)), i’=α²)
と一時的に変えて、多水準法としてデータの構造式を書きます。

x_i’kl=μ+p_i’+γ_k+δ_l
+(pγ) _i’k+(pδ) _i’l+(γδ)_kl
+e _i’kl

擬水準法をデータの構造式から分散分析する上の注意点

擬似的に多水準法に直した場合と、元の擬水準法を下表に比較します。
異なる点は色枠しています。

ここで、１点注意があります。
擬水準の残差eの自由度は本来、交互作用A×C×Dと交絡しているため、
φ_e=(α+m-1)(c-1)(d-1)
ですが、直交表L16を使うため、全体Tの自由度
φ_T= α²cd-1
に合わせるために、
φ_e= (a²-1)cd-(a+m-1)(c+d-1)
としています。ややこしいですけど。
(a=2,c=2,d=2,m=1)
つまり、直交表から擬水準法を使う場合、残差eの分散の値に注意が必要です。

1. 残差eの平方和を直交表から求めると、本来の値より高くなる
2. 残差eの自由度を直交表から求めると、本来の値より高くなる
3. 残差eの分散を直交表から求めると、｢高い目の平方和/高めの自由度｣から適正な値に落ち着く？

擬水準法の直交表を使った分散分析の注意点ですね。直交表を無理矢理使っている印象があります。

各平均値をデータの構造式で作る

母数因子と変量因子の違い

関連記事【簡単】母数因子と変量因子の違いがすぐわかるにて、母数因子と変量因子を解説しました。

母数因子と変量因子

母数因数：p、γ、δ、pγ、pδ、γδ
変量因子：e

平均値

母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。

平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。分割法や乱塊法では変量因子が増えるので要注意ですが、擬水準法ではあまり変量因子は使いません。

平均値の式の代表例

データの構造式

x_i’kl=μ+p_i’+γ_k+δ_l
+(pγ) _i’k+(pδ) _i’l+(γδ)_kl
+e _i’kl
(i=1,…,m+α(m2), i’=1,…,m²)

\(\bar{x_{ i’･･}}\)=μ+\(p_ i’\)+\(\bar{e_{i･･}}\)
\(\bar{x_{･k･}}\)=μ+\(γ_k\)+\(\bar{e_{･k･}}\)
\(\bar{x_{･･l}}\)=μ+\(δ_l\)+\(\bar{e_{･･l}}\)
\(\bar{x_{i’k･}}\)=μ+\(p_i’\)+\(γ_k\)+\((pγ)_{i’k}\)+\(\bar{e_{i’k･}}\)
\(\bar{x_{i’･l}}\)=μ+\(p_i’\)+\(δ_l\)+\((pδ)_{i’l}\)+\(\bar{e_{i’･l}}\)
\(\bar{x_{･jl}}\)=μ+\(γ_k\)+\(δ_l\)+\((γδ)_{kl}\)+\(\bar{e_{･kl}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{e}}\)

③分割法の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。S_P、S_P×C、S_C×D、S_eを例に挙げます。

\(S_P\)=\(\sum_{i=1’}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\( (\bar{x_{i’‥}}-\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_{P×C}\)=\(\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{ i’k･}}-\bar{x_{ i’‥}}-\bar{x_{･k･}}+\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_{C×D}\)=\(\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{･kl}}-\bar{x_{･k･}}-\bar{x_{･･l}}+\bar{\bar{x}})^2\)

\( S_e\)= \(\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)

\((x_{ i’kl}-\bar{x_{ i’k･}}-\bar{x_{ i’･l}}-\bar{x_{･kl}}\)
\(+\bar{x_{ i’･･}}+\bar{x_{･k･}}+\bar{x_{‥l}}-\bar{\bar{x}})^2\)

ここで、因子AとPの違いに注意が必要です。

表で説明します。
因子Pの場合

Xは他の因子(C,Dを表す)

どの場合も個数が同じなので、
平方和S=\(\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
とi’,k,lについて独立にΣが取れます。

一方、因子Aの場合

Xは他の因子(C,Dを表す)

因子Aの水準iによって個数が異なります。そのため、
平方和S=\(\sum_{i=1}^{a+m}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
ではなく、
平方和S=\(\sum_{i=1}^{a+m}N_i\)
と、\(\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)を\(N_i\)
に変える必要があります。
擬水準法は難しいですね。

\(S_A\)=\(\sum_{i=1}^{ a+m}\)\(N_{Ai}(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_{A×C}\)=\(\sum_{i=1}^{a+m }\sum_{k=1}^{c}\)
\(N_{ACik}(\bar{x_{ ik･}}-\bar{x_{ i‥}}-\bar{x_{･k･}}+\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_{C×D}\)=\(\sum_{i=1}^{a+m}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{･kl}}-\bar{x_{･k･}}-\bar{x_{･･l}}+\bar{\bar{x}})^2\)

\( S_e\)= \(\sum_{i=1}^{a+m }\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)

\((x_{ ikl}-\bar{x_{ ik･}}-\bar{x_{ i･l}}-\bar{x_{･kl}}\)
\(+\bar{x_{ i･･}}+\bar{x_{･k･}}+\bar{x_{‥l}}-\bar{\bar{x}})^2\)
+(他の因子からの残差分)

と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣ( )^2で計算できます。

擬水準法の残差の期待値の導出の注意点

(ii)の追加分は
S_PとS_Aの\(σ_e^2\)の差分
S_P×CとS_A×Cの\(σ_e^2\)の差分
S_P×DとS_A×Dの\(σ_e^2\)の差分
S_e(P)とS_e(A)の\(σ_e^2\)の差分
の和です。

水準数は、A→3,B→2,C→2と3×2×2=12個のデータを
直交表L16(16個）に割当てるので、因子の期待値導出で
残差が余分に余ります。それを(ii)として合計します。

④擬水準法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。

因子Pの場合

主効果の場合

E[\(S_P\)]=E[\(\sum_{i=1’}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((\bar{x_{i’‥}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((p_i’+\bar{e_{i’･･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i’=1}^{ a ^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\(( p_i’)^2\)]
+E[\(\sum_{i’=1}^{ a ^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{e_{i’･･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\(cd(a^2-1)σ_P^2\) +\((a^2-1)σ_e^2\)
主効果Pの自由度は(a²-1)より、分散の期待値E[V_P]が求まります。
E[\(V_P\)]=\(cdσ_P^2\) +\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_P^2\)=E[\(\frac{\sum_{i’=1}^{a^2}p_i’^2}{a^2-1}\)]
\(\frac{σ_e^2}{cd}\)=E[\(\frac{\sum_{i’=1}^{a^2}(\bar{e_{i’･･}}-\bar{\bar{e}})^2}{a^2-1}\)]

交互作用の場合

P×Cの場合
E[\(S_{P×C}\)]=E[\(\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{i’k･}}-\bar{x_{i’‥}}-\bar{x_{･k･}}+\bar{\bar{x}})^2\)]
= E[\(\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((pγ)_{i’k}+(\bar{e_{i’k･}}-\bar{e_{i’‥}}-\bar{e_{･k･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]
= E[\(\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((( pγ)_{ i’k }^2)\)
+ E[\(\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{e_{i’k･}}-\bar{e_{i’‥}}-\bar{e_{･k･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

第1項=\((a^2-1)(c-1)dσ_{P×C}^2\)
第2項=\((a^2-1) (c-1)σ_e^2\)
E[\(S_{P×C}\)]
=\(a^2(c-1)(d-1)σ_{P×C}^2\)+\((c-1)(d-1)σ_e^2\)

交互作用P×Cの自由度は(a^2-1)(c-1)より、分散の期待値E[V_P×C]が求まります。
E[\(V_{P×C}\)]=\(dσ_{P×C}^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_{P×C}^2\)=E[\(\frac{\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{d}(pγ)_{i’k}^2}{(a^2-1)(c-1)}\)]
\(σ_e^2\)については解説集にあります。

C×Dの場合
E[\(S_{C×D}\)]=E[\(\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{･kl}}-\bar{x_{･k･}}-\bar{x_{･･l}}+\bar{\bar{x}})^2\)]
= E[\(\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((γδ)_{kl}+(\bar{e_{･kl}}-\bar{e_{･k･}}-\bar{e_{･･l}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]
= E[\(\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\(((γδ)_{ kl }^2)\)
+ E[\(\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{e_{･kl}}-\bar{e_{･k･}}-\bar{e_{･･l}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

第1項=\((c-1)(d-1)a^2σ_{C×D}^2\)
第2項=\((c-1) (d-1)σ_e^2\)
E[\(S_{C×D}\)]
=\(a^2(c-1)(d-1)σ_{C×D}^2\)+\((c-1)(d-1)σ_e^2\)

交互作用C×Dの自由度は(c-1)(d-1)より、分散の期待値E[V_C×D]が求まります。
E[\(V_{C×D}\)]=\(a^2σ_{C×D}^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_{C×D}^2\)=E[\(\frac{\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{d}(γδ)_{kl}^2}{(c-1)(d-1)}\)]
\(σ_e^2\)については解説集にあります。

残差の場合
E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{i’kl}}-(\bar{x_{i’k･}}-\bar{x_{･kl}}-\bar{x_{ i’･l}})\)
+\((\bar{x_{i’･･}}-\bar{x_{･k･}}-\bar{x_{･･l}})-\bar{\bar{x}})\)]
(途中経過は解説集にあります)
=(a²-1)(c-1)(d-1) \(σ_e^2\)

残差eの自由度は(a²-1)(c-1)(d-1)より、分散の期待値E[V_e]が求まります。
E[\(V_e\)]=\(σ_e^2\)

因子Aの場合

主効果の場合

E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a+m}N_{Ai}\)

\((\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a+m}N_{Ai}\)
\((α_i+\bar{e_{i･･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a+m}N_{Ai}\)\(( α_i)^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a+m}N_{Ai}\)
\((\bar{e_{i･･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a+m}N_{Ai}(α_i)^2\)]+(a+m-1)\(σ_e^2\)
として、第１項は\(σ_A^2\)にしません。

主効果Aの自由度は(a+m-1)より、分散の期待値E[V_A]が求まります。
E[\(V_A\)]=

\(\frac{E[\sum_{i=1}^{a+m}N_{Ai}(α_i)^2]}{a+m-1}\)

交互作用の場合

A×Cの場合

E[\(S_{A×C}\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a+m}\sum_{k=1}^{c}N_{ACik}\)
\((\bar{x_{ik･}}-\bar{x_{i‥}}-\bar{x_{･k･}}+\bar{\bar{x}})^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a+m}\sum_{k=1}^{c}N_{ACik}\)
\(((αγ)_{ik}+(\bar{e_{ik･}}-\bar{e_{i‥}}-\bar{e_{･k･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a+m}\sum_{k=1}^{c}N_{ACik}\)\(((αγ)_{ik}^2)\)
+ E[\(\sum_{i=1}^{a+m}\sum_{k=1}^{c}N_{ACik}\)
\((\bar{e_{ik･}}-\bar{e_{i‥}}-\bar{e_{･k･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a+m}\sum_{k=1}^{c}N_{ACik}((αγ)_{ik}^2)\)
+\((a+m-1)(c-1)σ_e^2\)

交互作用A×Cの自由度は(a+m-1)(c-1)より、分散の期待値E[V_A×C]が求まります。

E[\(V_{A×C}\)]=\(\frac{E[\sum_{i=1}^{a+m}\sum_{k=1}^{c}N_{ACik}((αγ)_{ik}^2)]}{(a+m-1)(c-1)}\)+ \(σ_e^2\)
として、\(σ_{A×C}^2\)としません。

C×Dの場合

E[\(S_{C×D}\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a+m}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{･kl}}-\bar{x_{･k･}}-\bar{x_{･･l}}+\bar{\bar{x}})^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a+m}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((γδ)_{kl}+(\bar{e_{･kl}}-\bar{e_{･k･}}-\bar{e_{･･l}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a+m}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\(((γδ)_{ kl }^2)\)
+ E[\(\sum_{i=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{e_{･kl}}-\bar{e_{･k･}}-\bar{e_{･･l}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

第1項=\((c-1)(d-1)(a+m)σ_{C×D}^2\)

第2項=\((c-1) (d-1)σ_e^2\)

E[\(S_{C×D}\)]
=\((a+m)(c-1)(d-1)σ_{C×D}^2\)+\((c-1)(d-1)σ_e^2\)

交互作用C×Dの自由度は(c-1)(d-1)より、分散の期待値E[V_C×D]が求まります。

E[\(V_{C×D}\)]=\((a+m)σ_{C×D}^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_{C×D}^2=\frac{\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{k=1}^{d}(γδ)_{kl}^2}{(c-1)(d-1)}\)

\(σ_e^2\)については解説集にあります。

残差の場合

E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a+m}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{ikl}}-(\bar{x_{ik･}}-\bar{x_{･kl}}-\bar{x_{ i･l}})\)
+\((\bar{x_{i･･}}-\bar{x_{･k･}}-\bar{x_{･･l}})-\bar{\bar{x}}\)]
+(ii)他の因子に含まれる残差の合計
=(a+m-1)(c-1)(d-1) \(σ_e^2\)+(ii)他の因子に含まれる残差の合計

(ii)他の因子に含まれる残差の合計はを求めます。
主効果、交互作用、残差において、因子Pで求めた残差の期待値と
因子Aで求めた残差の期待値を比較して差分をとります。

差分の合計は、
\((a^2-1)σ_e^2\)-\((a+m-1)σ_e^2\)=\((a^2-a-m)σ_e^2\)
\((a^2-1)(c-1)σ_e^2\)-\((a+m-1)(c-1)σ_e^2\)=\((a^2-a-m)(c-1)σ_e^2\)
\((a^2-1)(d-1)σ_e^2\)-\((a+m-1-1)(d-1)σ_e^2\)=\((a^2-a-m)(d-1)σ_e^2\)
\((a^2-1)(c-1)(d-1)σ_e^2\)-\((a+m-1)(c-1)(d-1)σ_e^2\)=\((a^2-a-m)(c-1)(d-1)σ_e^2\)
を合計します。よって、
\((a^2-a-m)σ_e^2\)+\((a^2-a-m)(c-1)σ_e^2\)
+\((a^2-a-m)(d-1)σ_e^2\)+\((a^2-a-m)(c-1)(d-1)σ_e^2\)
=\((a^2-a-m)(1+c-1+d-1+cd-c-d+1)σ_e^2\)
=\((a^2-a-m)(cd)σ_e^2\)
となります。

まとめると、
E[\(S_e\)]=(a+m-1)(c-1)(d-1) \(σ_e^2\)
+\((a^2-a-m)(cd)σ_e^2\)

残差eの自由度は(a+m-1)(c-1)(d-1)+(a²-a-m)(cd)より、分散の期待値E[V_e]が求まります。

E[\(V_e\)]=\(σ_e^2\)

計算が長いわりに、答えはあっさりしていますね。

⑤分割法の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。

1. データの構造式を書く
2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる

因子PとAの場合で自由度が変わる効果があることをすでに解説しました。

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

因子P（多水準法に直した）場合

因子A（擬水準法とする）場合

ここで、
(*1)は、
E[\(V_A\)]=\(\frac{E[\sum_{i=1}^{a+m}N_{Ai}(α_i)^2]}{a+m-1}\)
直交表L16で具体的に書くと、
E[\(V_A\)]=\(\frac{8α_1^2+4α_2^2+4α_3^2}{2}+σ_e^2\)

(*2)は、
E[\(V_{A×C}\)]=\(\frac{E[\sum_{i=1}^{a+m}\sum_{k=1}^{c}N_{ACik}((αγ)_{ik}^2)]}{(a+m-1)(c-1)}\)+ \(σ_e^2\)
具体的に書くと、
=\(\frac{4(αγ)_{11}^2+4(αγ)_{12}^2+2 (αγ)_{21}^2+2(αγ)_{22}^2+2(αγ)_{31}^2+2(αγ)_{32}^2}{2}\)+\(σ_e^2\)

(*3)は、
E[\(V_{A×D}\)]=\(\frac{E[\sum_{i=1}^{a+m}\sum_{l=1}^{d}N_{ADil}((αδ)_{il}^2)]}{(a+m-1)(d-1)}\)+ \(σ_e^2\)
具体的に書くと、
=\(\frac{4(αδ)_{11}^2+4(αδ)_{12}^2+2 (αδ)_{21}^2+2(αδ)_{22}^2+2(αδ)_{31}^2+2(αδ)_{32}^2}{2}\)+\(σ_e^2\)

擬水準法の分散分析と分散の期待値の導出を解説しました。

まとめ

擬水準法の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

• ➀不足する場合の擬水準法とは何かがわかる
• ②擬水準法のデータの構造式が書ける
• ③平方和の分解の式が書ける
• ④擬水準法の主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
• ⑤分散分析ができる

実験計画法

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