2021/09/10 (更新日: 2023/12/08)

擬水準法(余る場合)の分散分析・区間推定が解ける【必見】

実験計画法

「擬水準法って何なの？」、「3水準系に2水準を割当てる(余る場合)擬水準法の分散分析や期待値の導出がわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、擬水準法の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

擬水準法の分散分析や期待値の導出

• ➀余る場合の擬水準法とは何かがわかる
• ②擬水準法のデータの構造式が書ける
• ③平方和の分解の式が書ける
• ④擬水準法の主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
• ⑤分散分析ができる

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です！

なお、擬水準法で2水準系に3水準を割当てる(不足する場合)については、関連記事擬水準法(不足する場合)の分散分析・区間推定が解ける【必見】にて、解説しています。

●You tube動画でも解説しています。

➀擬水準法とは何かがわかる

よく使う場面

a=2なら3水準系の実験で因子Aだけが2水準に割り付ける場合が多いです。

②擬水準法のデータの構造式が書ける

データの構造式

データの構造式から擬水準法を理解する

1. 水準が余る因子は水準が余らないように因子を一旦置き換える
2. 一部の項を変形すれば擬水準法になる

本サイトも、教科書に準拠して、直交表を使った擬水準法の分散分析を解説します。

のデータの構造式

x_ijk=μ+α_i+β_j+γ_k
+(αβ)_ij+(αγ)_ik+(βγ)_jk
+e_ijk
(i=a,j=b,k=c)

擬水準法のデータの構造式

(余る場合)の擬水準法は、因子A（水準数a-m）を一旦因子P(水準数a)に置き換えて、データの構造式を作ります。

α_i　→　p_i’
(i=a, i’=a+m)
と一時的に変えて、データの構造式を書きます。

x_i’kl=μ+p_i’+β_j+γ_k
+(pβ) _i’j+(pγ) _i’k+(βγ)_jk
+e _i’kl

擬水準法をデータの構造式から分散分析する上の注意点

擬似的に因子Pに直した場合と、元の擬水準法を下表に比較します。
異なる点は色枠しています。

ここで、１点注意があります。

擬水準の残差eの自由度は本来、交互作用A×C×Dと交絡しているため、
φ_e=(α+m-1)(c-1)(d-1)
ですが、直交表L27を使うため、全体Tの自由度
φ_T=(a+m)bc-1
に合わせるために、
φ_e= (a-1)(b-1)(c-1)+mbc
としています。ややこしいですけど。
(a=2,c=2,d=2,m=1)
つまり、直交表から擬水準法を使う場合、残差eの分散の値に注意が必要です。

1. 残差eの平方和を直交表から求めると、本来の値より高くなる
2. 残差eの自由度を直交表から求めると、本来の値より高くなる
3. 残差eの分散を直交表から求めると、｢高い目の平方和/高めの自由度｣から適正な値に落ち着く？

擬水準法の直交表を使った分散分析の注意点ですね。直交表を無理矢理使っている印象があります。

各平均値をデータの構造式で作る

母数因子と変量因子の違い

関連記事【簡単】母数因子と変量因子の違いがすぐわかるにて、母数因子と変量因子を解説しました。

母数因子と変量因子

母数因数：p、γ、δ、pγ、pδ、γδ
変量因子：e

平均値

母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。

平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。分割法や乱塊法では変量因子が増えるので要注意ですが、擬水準法ではあまり変量因子は使いません。

平均値の式の代表例

データの構造式

x_i’jk=μ+p_i’+β_j+γ_k
+(pβ) _i’j+(pγ) _i’k+(βγ)_jk
+e _i’jk
(i=1,…,a), i’=1,…,a+m)

\(\bar{x_{ i’･･}}\)=μ+\(p_ i’\)+\(\bar{e_{i･･}}\)
\(\bar{x_{･j･}}\)=μ+\(β_j\)+\(\bar{e_{･j･}}\)
\(\bar{x_{･･k}}\)=μ+\(γ_k\)+\(\bar{e_{･･k}}\)
\(\bar{x_{i’j･}}\)=μ+\(p_i’\)+\(β_j\)+\((pβ)_{i’j}\)+\(\bar{e_{i’j･}}\)
\(\bar{x_{i’･k}}\)=μ+\(p_i’\)+\(γ_k\)+\((pγ)_{i’k}\)+\(\bar{e_{i’･k}}\)
\(\bar{x_{･jk}}\)=μ+\(β_j\)+\(γ_k\)+\((βγ)_{jk}\)+\(\bar{e_{･jk}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{e}}\)

③分割法の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。S_P、S_P×B、S_B×C、S_eを例に挙げます。

\(S_P\)=\(\sum_{i=1’}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\( (\bar{x_{i’‥}}-\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_{P×B}\)=\(\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{x_{ i’j･}}-\bar{x_{ i’‥}}-\bar{x_{･j･}}+\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_{B×C}\)=\(\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{x_{･jk}}-\bar{x_{･j･}}-\bar{x_{･･k}}+\bar{\bar{x}})^2\)

\( S_e\)= \(\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((x_{ i’jk}-\bar{x_{ i’j･}}-\bar{x_{ i’･k}}-\bar{x_{･jk}}\)
\(+\bar{x_{ i’･･}}+\bar{x_{･j･}}+\bar{x_{‥k}}-\bar{\bar{x}})^2\)

ここで、因子AとPの違いに注意が必要です。

表で説明します。

因子Pの場合

Xは他の因子(B,Cを表す)

どの場合も個数が同じなので、
平方和S=\(\sum_{i’=1}^{a^2}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
とi’,k,lについて独立にΣが取れます。

一方、因子Aの場合

Xは他の因子(B,Cを表す)

因子Aの水準iによって個数が異なります。そのため、
平方和S=\(\sum_{i=1}^{a }\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
ではなく、
平方和S=\(\sum_{i=1}^{a}N_i\)
と、\(\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)を\(N_i\)
に変える必要があります。
擬水準法は難しいですね。

\(S_A\)=\(\sum_{i=1}^{a}\)\(N_{Ai}(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_{A×C}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)
\(N_{ABij}(\bar{x_{ ij･}}-\bar{x_{ i‥}}-\bar{x_{･j･}}+\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_{B×C}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{x_{･jk}}-\bar{x_{･j･}}-\bar{x_{･･k}}+\bar{\bar{x}})^2\)

\( S_e\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((x_{ ijk}-\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{･jk}}\)
\(+\bar{x_{i･･}}+\bar{x_{･j･}}+\bar{x_{‥k}}-\bar{\bar{x}})^2\)
+(他の因子からの残差分)

と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣ( )^2で計算できます。

擬水準法の残差の期待値の導出の注意点

(ii)の追加分は
S_PとS_Aの\(σ_e^2\)の差分
S_P×BとS_A×Bの\(σ_e^2\)の差分
S_P×CとS_A×Cの\(σ_e^2\)の差分
S_e(P)とS_e(A)の\(σ_e^2\)の差分
の和です。

水準数は、A→2,B→3,C→3と2×3×3=18個のデータを
直交表L27(27個）に割当てるので、因子の期待値導出で
残差が余分に余ります。それを(ii)として合計します。

④擬水準法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。

因子Pの場合

主効果の場合

E[\(S_P\)]=E[\(\sum_{i=1’}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((\bar{x_{i’‥}}-\bar{\bar{x}})^2\)]

=E[\(\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((p_i’+\bar{e_{i’･･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=E[\(\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\(( p_i’)^2\)]
+E[\(\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{e_{i’･･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=\(bc(a+m-1)σ_P^2\) +\((a+m-1)σ_e^2\)

主効果Pの自由度は(a+m-1)より、分散の期待値E[V_P]が求まります。

E[\(V_P\)]=\(bcσ_P^2\) +\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_P^2\)=E[\(\frac{\sum_{i’=1}^{a+m}p_i’^2}{a+m-1}\)]

\(\frac{σ_e^2}{bc}\)=E[\(\frac{\sum_{i’=1}^{a+m}(\bar{e_{i’･･}}-\bar{\bar{e}})^2}{a+m-1}\)]

交互作用の場合

P×Bの場合

E[\(S_{P×B}\)]=E[\(\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{x_{i’j･}}-\bar{x_{i’‥}}-\bar{x_{･j･}}+\bar{\bar{x}})^2\)]

= E[\(\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\(((pβ)_{i’j}+(\bar{e_{i’j･}}-\bar{e_{i’‥}}-\bar{e_{･j･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

= E[\(\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((( pβ)_{ i’j }^2)\)
+ E[\(\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{e_{i’j･}}-\bar{e_{i’‥}}-\bar{e_{･j･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

第1項=\((a+m-1)(b-1)cσ_{P×B}^2\)

第2項=\((a+m-1)(b-1)σ_e^2\)

E[\(S_{P×B}\)]
=\((a+m-1)(b-1)cσ_{P×B}^2\)+\((a+m-1)(b-1)σ_e^2\)

交互作用P×Bの自由度は(a+m-1)(b-1)より、分散の期待値E[V_P×B]が求まります。

E[\(V_{P×B}\)]=\(cσ_{P×B}^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_{P×B}^2\)=E[\(\frac{\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}(pβ)_{i’j}^2}{(a+m-1)(b-1)}\)]

\(σ_e^2\)については解説集にあります。

B×Cの場合

E[\(S_{B×C}\)]=E[\(\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{x_{･jk}}-\bar{x_{･j･}}-\bar{x_{･･k}}+\bar{\bar{x}})^2\)]

= E[\(\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\(((βγ)_{jk}+(\bar{e_{･jk}}-\bar{e_{･j･}}-\bar{e_{･･k}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

= E[\(\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\(((βγ)_{jk}^2)\)
+ E[\(\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{e_{･jk}}-\bar{e_{･j･}}-\bar{e_{･･k}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

第1項=\((a+m)(b-1)(c-1)σ_{B×C}^2\)

第2項=\((b-1)(c-1)σ_e^2\)

E[\(S_{B×C}\)]
=\((a+m)(b-1)(c-1)σ_{B×C}^2\)+\((b-1)(c-1)σ_e^2\)

交互作用B×Cの自由度は(b-1)(c-1)より、分散の期待値E[V_B×C]が求まります。

E[\(V_{B×C}\)]=\((a+m)σ_{B×C}^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_{B×C}^2\)=E[\(\frac{\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}(βγ)_{jk}^2}{(b-1)(c-1)}\)]

\(σ_e^2\)については解説集にあります。

残差の場合

E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i’=1}^{a+m}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{x_{i’jk}}-(\bar{x_{i’j･}}-\bar{x_{･jk}}-\bar{x_{ i’･k}})\)
+\((\bar{x_{i’･･}}-\bar{x_{･j･}}-\bar{x_{･･k}})-\bar{\bar{x}})\)]
(途中経過は解説集にあります)
=(a+m-1)(b-1)(c-1) \(σ_e^2\)

残差eの自由度は(a+m-1)(b-1)(c-1)より、分散の期待値E[V_e]が求まります。

E[\(V_e\)]=\(σ_e^2\)

因子Aの場合

主効果の場合

E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a }N_{Ai}\)\((\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}N_{Ai}\)
\((α_i+\bar{e_{i･･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}N_{Ai}\)\(( α_i)^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}N_{Ai}\)\((\bar{e_{i･･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}N_{Ai}(α_i)^2\)]+(a-1)\(σ_e^2\)
として、第１項は\(σ_A^2\)にしません。

主効果Aの自由度は(a -1)より、分散の期待値E[V_A]が求まります。

E[\(V_A\)]=\(\frac{E[\sum_{i=1}^{a}N_{Ai}(α_i)^2]}{a-1}\)

残差eは、
\(σ_e^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}N_{Ai}(α_i)^2}{a-1}\)]

交互作用の場合

A×Bの場合

E[\(S_{A×B}\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{c}N_{ABij}\)
\((\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{i‥}}-\bar{x_{･j･}}+\bar{\bar{x}})^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}N_{ABij}\)
\(((αβ)_{ij}+(\bar{e_{ij･}}-\bar{e_{i‥}}-\bar{e_{･j･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}N_{ABij}\)\(((αβ)_{ij}^2)\)
+ E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}N_{ABij}\)
\((\bar{e_{ij･}}-\bar{e_{i‥}}-\bar{e_{･j･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}N_{ABij}((αβ)_{ij}^2)\)
+\((a+m-1)(b-1)σ_e^2\)

交互作用A×Bの自由度は(a+m-1)(b-1)より、分散の期待値E[V_A×B]が求まります。

E[\(V_{A×B}\)]=\(\frac{E[\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}N_{ABij}((αβ)_{ij}^2)]}{(a-1)(b-1)}\)+ \(σ_e^2\)
として、\(σ_{A×B}^2\)としません。

B×Cの場合

E[\(S_{B×C}\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{x_{･jk}}-\bar{x_{･j･}}-\bar{x_{･･k}}+\bar{\bar{x}})^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\(((βγ)_{jk}+(\bar{e_{･jk}}-\bar{e_{･j･}}-\bar{e_{･･k}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\(((βγ)_{ jk }^2)\)
+ E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{e_{･jk}}-\bar{e_{･j･}}-\bar{e_{･･k}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

第1項=\(a(b-1)(c-1)σ_{B×C}^2\)

第2項=\((b-1) (c-1)σ_e^2\)

E[\(S_{B×C}\)]
=\(a(b-1)(c-1)σ_{B×C}^2\)+\((b-1)(c-1)σ_e^2\)

交互作用B×Cの自由度は(b-1)(c-1)より、分散の期待値E[V_B×C]が求まります。

E[\(V_{B×C}\)]=\(aσ_{B×C}^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_{B×C}^2\)=E[\(\frac{\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(βγ)_{jk}^2}{(b-1)(c-1)}\)]

\(σ_e^2\)については解説集にあります。

残差の場合

E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{x_{ijk}}-(\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{･jk}}-\bar{x_{i･k}})\)
+\((\bar{x_{i･･}}-\bar{x_{･j･}}-\bar{x_{･･k}})-\bar{\bar{x}}\)]
+(ii)他の因子に含まれる残差の合計
=(a-1)(b-1)(c-1) \(σ_e^2\)+(ii)他の因子に含まれる残差の合計

(ii)他の因子に含まれる残差の合計はを求めます。
主効果、交互作用、残差において、因子Pで求めた残差の期待値と
因子Aで求めた残差の期待値を比較して差分をとります。

差分の合計は、
\((a+m-1)σ_e^2\)-\((a-1)σ_e^2\)=\(mσ_e^2\)
\((a+m-1)(b-1)σ_e^2\)-\((a-1)(b-1)σ_e^2\)=\(m(b-1)σ_e^2\)
\((a+m-1)(c-1)σ_e^2\)-\((a-1)(c-1)σ_e^2\)=\(m(c-1)σ_e^2\)
\((a+m-1)(b-1)(c-1)σ_e^2\)-\((a-1)(b-1)(c-1)σ_e^2\)=\(m(b-1)(c-1)σ_e^2\)
を合計します。よって、
\(mσ_e^2\)+\(m(b-1)σ_e^2\)
+\(m(c-1)σ_e^2\)+\(m(b-1)(c-1)σ_e^2\)
=\(m(1+b-1+c-1+bc-b-c+1)σ_e^2\)
=\(m(bc)σ_e^2\)
となります。

まとめると、
E[\(S_e\)]
=(a -1)(b-1)(c-1) \(σ_e^2\)
+\(mbcσ_e^2\)

残差eの自由度は(a-1)(b-1)(c-1)+mbcより、分散の期待値E[V_e]が求まります。

E[\(V_e\)]=\(σ_e^2\)

計算が長いわりに、答えはあっさりしていますね。

⑤分割法の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。

1. データの構造式を書く
2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる

因子PとAの場合で自由度が変わる効果があることをすでに解説しました。

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

因子Aの場合

ここで、
(*1)は、
E[\(V_A\)]=\(\frac{E[\sum_{i=1}^{a}N_{Ai}(α_i)^2]}{a-1}\)
直交表L27で具体的に書くと、
E[\(V_A\)]=\(\frac{18α_1^2+9α_2^2}{1}+σ_e^2\)

(*2)は、
E[\(V_{A×B}\)]=\(\frac{E[\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}N_{ABij}((αβ)_{ij}^2)]}{(a-1)(b-1)}\)+ \(σ_e^2\)
具体的に書くと、
=\(\frac{6(αβ)_{11}^2+6(αβ)_{12}^2+6 (αβ)_{13}^2+3(αβ)_{21}^2+3(αβ)_{22}^2+3(αβ)_{23}^2}{2}\)+\(σ_e^2\)

(*3)は、
E[\(V_{A×C}\)]=\(\frac{E[\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}N_{ACik}((αγ)_{ik}^2)]}{(a-1)(c-1)}\)+ \(σ_e^2\)
具体的に書くと、
=\(\frac{6(αγ)_{11}^2+6(αγ)_{12}^2+6 (αγ)_{13}^2+3(αγ)_{21}^2+3(αγ)_{22}^2+3(αγ)_{23}^2}{2}\)+\(σ_e^2\)

擬水準法の分散分析と分散の期待値の導出を解説しました。

まとめ

擬水準法の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

• ➀余る場合の擬水準法とは何かがわかる
• ②擬水準法のデータの構造式が書ける
• ③平方和の分解の式が書ける
• ④擬水準法の主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
• ⑤分散分析ができる

実験計画法

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