【初心者必見】品質工学で全変動と平方和の違いがわかる
「品質工学で最初に何を学べばよいかがわからない」などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
おさえておきたいポイント
- ①QCは必ずデータの構造式から始める
- ➁品質工学と実験計画法・回帰分析の違い
- ➂全変動と平方和の違いを理解する
- ➃全変動の平均変動が最小0の条件が平方和
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①QCは必ずデータの構造式から始める
分散分析で評価する手法はすべて１つの解法でOK
QCには、まず、
評価するためのデータの構造式を最初に作る！
実験計画法、回帰分析、品質工学のような、分散分析で評価する手法はすべて同じ解法で進めます。
QCプラネッツでは、常に、
- データの構造式を立てる
- 全変動(平方和)の分解
- 分散分析とF検定
- 母平均と区間推定
の１つの流れに沿って、何十の関連記事を書いています。参考に１つ関連記事を紹介します。
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究める！実験計画法 QCプラネッツが解説する究める実験計画法。多くの教科書がある中、勉強してもどうしても分からない、苦労している難解な箇所をすべて解説します。多元配置実験、乱塊法、分割法、直交表などなど多くの手法を個別に公式暗記せず、データの構造式をみればすべて導出できる新しい実験計画法を解説します。 |
データの構造式を立てる
データの構造式は基本１次式で書き、
「全変動」と「平方和」の２つを使います。
\(S\)=\(\sum_{i=1}^{n}(x_i-m)^2\)
●平方和
\(S_T\)=\(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)
ここで、
何が違うの？
と気になるでしょう！
ここが、品質工学の入り口になります。
➁品質工学と実験計画法・回帰分析の違い
全変動と平方和の違い
結論からいうと、
実験計画法・回帰分析は平方和を使う
図で違いを説明します。
【重要】品質工学と実験計画法・回帰分析の考え方の違い
図から言える、最も大事なことは、
実験計画法・回帰分析は誤差の評価や最小化をすることが目的
と、目的が違います
なので、基本は、
●品質工学は、目標値との差分を見る
●実験計画法・回帰分析は平均値との差分を見る
という違いがあります。
ただし、式変形していくと、違いが分かりにくくなる
題名のとおり、式変形すると、
品質工学は \(\sum_{i=1}^{n}y^2\)を(左辺)に持ってきて
実験計画法は\(\sum_{i=1}^{n}(y-\bar{y})^2\)をを(左辺)に持ってくるという
なんとなく違いがあるように見えると、
公式丸暗記しがちです。
実験計画法・回帰分析は誤差の評価や最小化をすることが目的
と、目的が違います
➂全変動と平方和の違いを理解する
では、数式を使って、
●違いを理解したり、
●違いがわかりにくくなるポイントを理解しましょう。
全変動を展開
品質工学で扱う全変動(平方和)を展開します。機械的にそのまま全変動を展開します。
\(S\)=\(\sum_{i=1}^{n}(x_i-m)^2\)
=\((y_1-m)^2\)+\((y_2-m)^2\)+…\((y_n-m)^2\)
=\((y_1^2+y_2^2+…+y_n^2)\)-\(2m(y_1+y_2+…+y_n)\)+\(nm^2\)
=(式1)
ここで、トリッキーですが、(式1)にあえて
\(\frac{(y_1+…+y_n)^2}{n}\)を入れます。
(式1)
=\((y_1^2+y_2^2+…+y_n^2)\)+ \(\frac{(y_1+…+y_n)^2}{n}\)
-\(2m(y_1+y_2+…+y_n)\)+\(nm^2\)
– \(\frac{(y_1+…+y_n)^2}{n}\)
=(式2)
(式2)の第2,3,4項をよーく眺めると
\(\frac{(y_1+…+y_n)^2}{n}\)-\(2m(y_1+y_2+…+y_n)\)+\(nm^2\)
って、2乗でまとめられますね！よく気が付きますよね！
つまり、
\(\frac{(y_1+…+y_n)^2}{n}\)-\(2m(y_1+y_2+…+y_n)\)+\(nm^2\)
=\((\frac{y_1+…+y_n}{\sqrt{n}}-\sqrt{n}m)^2\)
=\(\frac{1}{n}((y_1+…+y_n)-nm)^2\)
=(式3)
(式3)を(式2)に代入すると、
\(S\)=\((y_1^2+y_2^2+…+y_n^2)\)+ \(\frac{1}{n}((y_1+…+y_n)-nm)^2\)-\(\frac{(y_1+…+y_n)^2}{n}\)
=\(\frac{1}{n}((y_1+…+y_n)-nm)^2\) +(\((y_1^2+y_2^2+…+y_n^2)\)- \(\frac{(y_1+…+y_n)^2}{n}\))
(式4)
とまとめることができます。
ここで、
●\(S_m\)(平均変動)= \(\frac{1}{n}((y_1+…+y_n)-nm)^2\)
●\(S_e\)(誤差変動)= \((y_1^2+y_2^2+…+y_n^2)\)- \(\frac{(y_1+…+y_n)^2}{n}\)
とおきます。
\(S\)(全変動)=\(S_m\)(平均変動)+ \(S_e\)(誤差変動)
に分けることができる
実は\(S_e\)(誤差変動)はよく見ると平方和
よく見ると、
\(S_e\)(誤差変動)= \((y_1^2+y_2^2+…+y_n^2)\)- \(\frac{(y_1+…+y_n)^2}{n}\)
=平方和\(S_T\)
なのです。
品質工学では、ばらつきを評価するときは、
実験計画法・回帰分析と違って平方和ではなく
全変動で評価するが、
\(S\)(全変動)=\(S_m\)(平均変動)+ \(S_e\)(誤差変動)
\(S\)(全変動)=\(S_m\)(平均変動)+ \(S_T\)(平方和)
に分けることができる
全変動の誤差分散成分が平方和になるので、面白いですね。
品質工学は目標値に近づけることが目的で、
実験計画法・回帰分析は誤差の評価や最小化をすることが目的
と、目的が違います
なので、全変動の合計と、平方和の文字式をQCプラネッツでは、
●全変動(全変動)⇒\(S\)
●平方和⇒\(S_T\)
に区別して表記します。ご安心ください。
➃全変動の平均変動が最小0の条件が平方和
さらに、今度は、平均変動の最小値を考えましょう。
平均変動は、
●\(S_m\)(平均変動)= \(\frac{1}{n}((y_1+…+y_n)-nm)^2\)
ですから、この式が０になる条件を求めると、
\((y_1+…+y_n)\)=\(nm\)
より
\(m\)= \(\frac{1}{n}(y_1+…+y_n)\)
となります。これって、
目標値\(m\)が平均値\(\bar{y}\)と一致する場合は、
\(S\)（全変動)=\(S_e\)(≡\(S_T\)(平方和))
と一致します。
もう一度、全変動\(S\)、平均変動\(S_m\)、誤差分散\(S_e\)(≡\(S_T\)(平方和)の違いを図で確認しましょう。
実験計画法・回帰分析は誤差の評価や最小化をすることが目的
と、目的が違います
目標値\(m\)が平均値\(\bar{y}\)と一致する場合は、
\(S\)（全変動)=\(S_e\)(≡\(S_T\)(平方和))
と一致します。
まず、品質工学の基礎である、変動の計算と平方和の計算が混同しないよう十分注意しましょう！
まとめ
「【初心者必見】品質工学で全変動と平方和の違いがわかる」を解説しました。
- ①QCは必ずデータの構造式から始める
- ➁品質工学と実験計画法・回帰分析の違い
- ➂全変動と平方和の違いを理解する
- ➃全変動の平均変動が最小0の条件が平方和
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