投稿者: QCプラネッツ

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●You tube動画ご覧ください。

さっそく見ていきましょう。

分散の加法性を使ってよいかを迷ったあなたは、最初に「数学的に正しいのか？」を疑うはずです。

\(V(aX±bY)=a^2V(X)\)\(±2ab cov(X,Y)+b^2V(Y)\)を証明します。

\(V(aX±bY)\)
=\(E[((aX±bY)-E[aX±bY])^2]\)
=\(E[(a(X-E[X])±b(Y-E[Y]))^2]\)
=\(E[(a(X-E[X])^2]\)\(±E[2ab(X-E[X])(Y-E[Y])]\)\(+b^2E[(Y-E[Y])^2]\)
=\(a^2E[(X-E[X])^2]±2abE[(X-E[X])(Y-E[Y])]\)\(+b^2E[(Y-E[Y])^2]\)
=\(a^2V(X)±2abcov(X,Y)\)＋\(b^2V(Y)\)

分散の加法性は、\( aX±bY \)の±に関係なく＋\(b^2V(Y)\)の+になる点が特徴ですね。第2項のcovが共分散ですね。共分散covは相関係数も関係してくる係数です。QC検定®で言うと2級では共分散covは扱いませんが、１級では扱いますね

では、機械的に加法性を使うことに迷う場合の事例を挙げてみます。意地悪な記事ですが、きっと悩むはずです。なお、試験では正解を１つにするために、機械的に加法してよい問いしか出ません。でも、実務や生活していると試験のような単純な問いではありません。

あなたを悩ます加法性の吟味は次の2つのパターンがあります。

例題を挙げます。一緒に考えましょう。

分散の加法性を機械的に使うなら「(い)」が正解となります。でも、10個のデータはその1000万倍のデータに比べてほぼ無視できるでしょうから、１億個の中に10個異なるデータが入っても何も変わらないといして「(あ)」と選択するのも正しいですよね。

実は分散の加法性を使う際に、集合AとBを合わせる場合に、A+B→A+Bとするか、A+B→Aとするかはあなたが選択するのです。
前者を選ぶと「(い)」と回答し、後者を選ぶと「(あ)」と回答することになります。

例題を挙げます。一緒に考えましょう。

下にイメージ図も載せます。

機械的に分散の加法性を使うと、
(1)　V(A-B)=V(A)+V(B)= \(σ_A^2+σ_B^2\)
(2) V(A-B+B)= V(A-B)+V(B)= \(σ_A^2+σ_B^2+σ_B^2\)=\(σ_A^2+2σ_B^2\)
(3) V=\(σ_A^2+(σ_B^2+σ_B^2)×n\)=\(σ_A^2+2nσ_B^2\)
と分散がどんどん増えていきます。でも元に戻しているのにだんだん分散が増加するのは違和感がありますよね。

よく考えたら、Bを抜いてもAは変わらないと考えても良いし、一旦抜いて戻したら元のAと同じとしてもよい。よって、
V(A-B)=V(A),V(A+B)=V(A)とデータの増減はあっても、
V()の()に入れる変数は変えないと考えて
(1)(2)(3) すべてV=\(σ_A^2\)
と考えてもよいはずです。

つまり、データの増減をそのまま分散の加法性に適用してよいかは、よく考える必要があります。

大学の試験やQC検定®などの資格試験では、「機械的に分散の加法性」を使ってください。なぜなら、分散の加法性が使えるように配慮した問題が用意されているからです。

下にQC検定®2級で出題された「うまく作られた」問題例を紹介します。何が上手に作られたかを見ましょう。

飲料(液体)とペットボトル(固体)は全く別物です。ここがうまい！ポイントです。データの増減によって全体集合を変えるかどうかを考える必要が全くないからです。

試験問題は、正解は１つしかないため、受験者が混乱しないよう、十分配慮された問題となっています。試験を作る人は神経質になって作問していることが想像できます。

上の問いの答えは、　\(5^2+12^2=13^2\)より標準偏差は13gですね。

分散を加法するかどうかを判断する場合、分散の加法性は数学的に正しいため、V()の()に入る変数を増減するか、しないかをあなたが判断する必要があります。

どの教科書やwebサイトにも書いていないわりに、少し分散の加法性が分かってきたら必ず悩むポイントになるため、本記事限定で解説しました。

試験問題は正解を誘導するために意図して作られたものですが、実務では分散の加法性をそのまま使ってよいかを考える場面が多々あります。勉強できたら実務ができるわけではありません。よく考える必要があります。

分散の加法性の使い方で注意すべきポイントを解説しました。試験では機械的に加法性を使ってください。目的は合格することです。でも、実務はよく考えて加法性を使ってください。

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記事を書いている私は、QC検定®１級合格し、平方和でつまずきやすい社内のQC検定®2級挑戦者にわかりやすく説明しています。

本記事を読んでいるあなたは、平方和、確率分布関数など統計学の基礎をマスターしたいはずです。理解度アップのための必須な関連記事がありますので、関連記事も読んでください。

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さっそく見ていきましょう。

平方和に入る前に、他の式を考えて比較すると平方和の良さが理解できます。理解してから公式を使うようにしましょう。

You tubeでもわかりやすく解説しています。ブログも合わせてマスターしましょう。

世の中のデータは、「平均」と「ばらつき」の2つで評価します。平均の式は「合計/個数」です。「合計/個数」以外の式はほぼ使いませんよね。

では、ばらつきの算出式を「平方和を知らない」人として考えてみましょう。
ばらつきの定義から考えると、「平均からのズレ」ですよね。式に書きましょう。あるデータ \(x_i\)と平均 \(\bar{x}\)とするとばらつきは
$$ \sum_{i} (x_i-\bar{x}) $$
という式になります。

平方和と違って、2乗しませんから計算は簡単ですね。でも公式として使われていません。なぜでしょうか？

例を見ればわかります。5個のデータを見ましょう。

なんと、\(\sum_{i} (x_i-\bar{x})\)となります。式は正しそうに書いていますが、式の意味は｢全部の合計｣と｢平均×個数｣の差です。どちらも全部の合計になるため、0になります。この式は使えません。残念！

ばらつきの式が0にならないように再考します。ばらつきは「平均からのズレ」であり、この値は常に正になります。そこで、次の式に改良しました。

あるデータx(i)と平均bar(x)とするとばらつきは
$$ \sum_{i} |x_i-\bar{x}| $$
という式になります。苦手意識の高い絶対値記号ですが、大丈夫です！

例を見てチェックしましょう。同じく5個のデータを見ましょう。

ばらつきの合計が24で平均24/5=4.8と5程度平均からずれる。確かにデータを見ると正しいとわかります。

実は、ばらつきを評価する式の１つに
$$ \sum_{i} |x_i-\bar{x}| $$
もあります。でもなぜ教科書にはいつも平方和の式なのでしょうか？

ばらつきを評価する
$$ \sum_{i} |x_i-\bar{x}| $$
は１つ大きな問題があります。それは「絶対値|x|の||を外すのが手間」なんです。

絶対値|x|はx≧0ならx,x<0なら-xと2通りあります。
\(\sum_{i} |x_i-\bar{x}|\) =\( |x_1-\bar{x}|+ |x_2-\bar{x}|\)+\(・・・+|x_n-\bar{x}|\)
とn個の項それぞれに中身の正負を見て絶対値記号を外すのが大変手間です。

なので、面倒な絶対値記号を外す手間を不要な方法を考えるはずです。

これは「2乗」すればよいのです。（）の中身の正負に関係なく簡単に（）を外すことができます。これがばらつきを平方和で評価する理由なのです。

ばらつきを評価する式は平方和以外にもありますが、平方和が複雑な式ですが、計算の手間が少ないわけです。

ちなみに上の例の平方和は142となります。

平方和は2つの式で表現できます。試験に使いやすい方を覚えておくと便利です。でも数列の和Σの変形に慣れておくと、分散分析、実験計画法、回帰分析の理解が早くなります。式の変形を見ましょう。

You tubeでも解説しています。ブログも合わせてマスターしてください。

平方和の式は「平均からのズレの2乗和」です。式で書くと
$$ S=\sum_{i} (x_i-\bar{x})^2 $$
です。この式を変形した、よく使われる式があります。
$$ S=\sum_{i} x_i^2- (\sum_{i} x_i)^2/n $$

教科書では変形過程を見たいところを省くので、本記事は省かずに導出過程を書きます。

$$ S=\sum_{i} (x_i-\bar{x})^2 $$
$$ =\sum_{i} (x_i^2-2\bar{x}x_i+(\bar{x})^2) $$

ここで、\(\bar{x}\)は平均で、\(\bar{x}=(\sum_{i} x_i)/n\)を代入します。

\( S=\sum_{i} x_i^2\)-\(2((\sum_{i} x_i)/n)(\sum_{i} x_i)\)+\(\sum_{i}((\sum_{i} x_i)/n)^2 \)

急に難しくなりましたね。眺めるだけでも十分な勉強になるので、まずは見ましょう！
第2項は、\(2(\sum_{i} x_i)/n)(\sum_{i} x_i)\)=\(2/n(\sum_{i} x_i)^2\)に変形できます。
第3項は、\(\sum_{i}((\sum_{i} x_i)/n)^2\)=\(n((\sum_{i} x_i)/n)^2\)=\(1/n(\sum_{i} x_i)^2)\)に変形できます。

まとめると、
\(S=\sum_{i} x_i^2- 2/n(\sum_{i} x_i)^2\)+\(1/n(\sum_{i} x_i)^2\)=\(\sum_{i} x_i^2-(\sum_{i} x_i)^2/n\)と変形できました。

大事なのは、第2項、第3項の変形です。実験計画法、回帰分析で活用する分散分析の分散期待値の変形に応用されます。

例題を見ましょう。慣れないうちは2つも平方和の公式を覚えず、1つだけにしましょう。最初は、平方和S=\(\sum_{i} x_i^2-(\sum_{i} x_i)^2/n\)をよく使っていました。

1. 5個のデータにおける平方和を求めよ。

試験では、データの2乗を与えている場合があります。
平方和S=\(\sum_{i} x_i^2-(\sum_{i} x_i)^2/n\)を使います。
S=360-40^2/5=40

2. 5個のデータにおける平方和を求めよ。

平均が8と簡単に求められるので、
\(S=\sum_{i} (x_i-\bar{x})^2\)を使います。
S=(8-8)^2+(12-8)^2+(6-8)^2+(10-8)^2+(4-8)^2=40

平方和に慣れていないあなたを惑わす試験問題があります。よく、測定データをわざわざ変換して平方和が変換値の2乗に変化する内容です。心理統計学の期末試験やQC検定®3級・2級に頻出問題ですね。

事例を挙げます。

測定データが5つあり、その重さを測定した。xの値は大きいので、X=(x-260)×10とするXに変換した。

xによる平方和Sxと、Xによる平方和SXの関係には Sx=（➀）SXの関係がある。(➀)はいくらか？

安心してください。慣れている人でも即答できません。一般化した方がわかりやすいので、式で見ましょう。

ある変数xにXをX=(x-m)×M (x,Xは変数、m,Mは定数)するように変換します。Xによる平方和SXの式を作ります。

\(SX=\sum(X_i-\bar{X})^2\)
ここで、 \(X=(x-m)×M\)ですから、
\(X_i=(x_i-m)×M\),\(\bar{X} =(\bar{x}-m)×M\)
を代入します。

\(SX=\sum((x_i-m)×M -(\bar{x}-m)×M)^2\)
=\(M^2\sum(x_i -m)^2\)=\(M^2Sx\)となりますね。
なので(➀)はM=10から100が答えとなります。

変換した平方和の出題は、本質的な内容ではありません。しかし、慣れないあなたに出題される問いなので、平方和の式変形は慣れておくとよいです。

平方和でつまずきやすいポイントを3つ解説しました。