投稿者: QCプラネッツ

「F分布を使った検定方法がよくわからない」、「F分布とt分布・χ2乗分布・正規分布の関係がよくわからない」、「F分布表の注意点がわからない」など、実際に分散比の検定や分散分析を計算するときにいろいろ困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

F分布でよく出る3つのパターン

• ➀F分布の導出がわかる
• ②F分布とt分布・χ2乗分布・正規分布の関係
• ③F分布表の注意点

さっそく見ていきましょう。

➀F分布の導出がわかる

F分布の導出の導出のポイント

詳細は、【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】をご覧下さい。まとめると次の3点ですね。

②F分布とt分布・χ2乗分布・正規分布の関係

F分布とt分布・χ2乗分布・正規分布と4つの分布関数の関係を使って確かめてみましょう。

● Z: 正規分布に従う
●X: 自由度nのt分布に従う
●\(Y^2\)/n: 自由度nのχ2乗分布に従う
と定義します。

t分布は
t分布 = 正規分布　/　\( \sqrt{χ2乗分布}\)
ですね。X,Y,Z,nを代入します。
\( X=\frac{Z}{1}\)/\({\sqrt{\frac{Y^2}{n}}}\)

両辺を2乗します。
\( X^2 = \frac{Z^2}{1}\)/\(\frac{Y^2}{n}\)

　右辺は\(\frac{Z^2}{1}\)と\(\frac{Y^2}{n}\)の比、つまり
自由度1のχ2乗分布\(Z^2\)と、
自由度nのχ2乗分布\(Y^2\)の比ですから、
これが自由度(1,n)のF分布に従うことを意味しています。

\(X^2\)は自由度(1,n)のF分布に従います。

まとめると、
t分布 = 正規分布　/　\(\sqrt{χ2乗分布}\)
を2乗すると
(1,n)F分布 =(自由度1のχ2乗分布)/(自由度nのχ2乗分布)
となることが言えます。

③F分布表の注意点

自由度(m,n)はどちらを先頭にするか？

自由度の順番

例題を見ましょう。

自由度の順番が変わるとF値が逆数になる理由

(1,n)F分布 =(自由度1のχ2乗分布)/(自由度nのχ2乗分布)
を拡張します。つまり、
\( X^2 = \frac{Z^2}{1}\)/\(\frac{Y^2}{n}\)
を
\( X^2(m,n)= \frac{Z^2}{m}\)/\(\frac{Y^2}{n}\)
とします。両辺を逆数にします。
\( X’^2(n,m)= \frac{1}{ X^2(m,n)}\)=\(\frac{Y^2}{n}\)/\(\frac{Z^2}{m}\)
より、自由度が入れ替わるとF値が逆数に変わりますね。

分散分析して、F値が予定より乖離がある場合は、自由度が入れ替わっている可能性があることがわかります。

直交表を使った実験計画法での注意点

F表を見ましょう。自由度がφ1、φ2ともに1の色枠部を見てください。
色のない値に比べて、色がついた値は高いですよね。
特にφ2の自由度1の場合は3桁です。

直交表の多因子実験で残差の自由度が1の場合は、F値が3桁になるので、ほぼすべての実験が有意でない結果となってしまいます。実際は、F値が高すぎないように、残差の自由度は2または3以上にしています。これも注意点として知っておいてください。

まとめ

F分布について実務や試験に活かせるようにわかりやすく解説しました。かなりイメージがついて、検定・推定、分散分析の解法に自信がついたでしょう。

• ➀F分布の導出がわかる
• ②F分布とt分布・χ2乗分布・正規分布の関係
• ③F分布表の注意点

基本統計量

「t分布を使った検定方法がわからない」、「正規分布とt分布の違いがよくわからない」、「片側検定、両側検定のときのt分布表の見方がわからない」など、実際に計算するときにいろいろ困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

t分布でよく出る3つのパターン

• ➀t分布の導出がわかる
• ②t分布表の使い方
• ③t分布と正規分布の違い

さっそく見ていきましょう。

➀t分布の導出がわかる

t分布の導出の導出のポイント

詳細は、【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】をご覧下さい。まとめると次の3点ですね。

②t分布表の使い方

t分布の分布関数をざっくり理解する方がわかりやすい

t分布表に載っているグラフの関数

\( f(x)= \frac{Γ(\frac{φ+1}{2})}{\sqrt{φπ}Γ(\frac{φ}{2})}(1+\frac{t^2}{φ})^{-\frac{φ+1}{2}}\)

よくわからない関数ですが、自由度φとtを代入してf(x)を計算します。手計算は大変なので、エクセルを使って計算します。

t分布関数をざっくり書くと、
f(x)= B(φ) \(\frac{1}{(1+t^2)^{C(φ)}}\)
です。
関数 \(\frac{1}{1+t^2}\)に自由度φからなる関数B(φ)、C(φ)がくっついてきます。
関数 \(\frac{1}{1+t^2}\)の区間[-∞,∞]の∫は∞に発散しますが、関数B(φ)、C(φ)がくっついているおかげで有限値になるというイメージです。

また、t分布の関数形は、
関数 \(\frac{1}{1+t^2}\)
なので、y軸に対称になります。
よって、正規分布と似たグラフになるのが特徴です。

エクセルを使う場合は、
tと自由度φを用意して、t分布関数を
「= T.DIST (C6,D3,false)」
として代入します。C6はtのセル、D3は自由度φのセルです。

χ2乗分布表の見方

t分布関数の特徴

片側検定、両側検定の場合のt分布表の見方を図で確認しましょう。

t分布でよく試験で間違えるところなので、注意しましょう。

片側検定の場合

確率P/2=0.05つまり、P=0.1(有意水準)に相当するtを読み取ります。

Φ=10,P=0.1のときは、t分布表からt=1.812とわかります。

両側検定の場合

確率 P/2=0.05/2つまり、P=0.05 (有意水準)に相当するtを読み取ります。

Φ=10,P=0.05のときは、t分布表からt=2.228とわかります。

③t分布と正規分布の違い

t分布と正規分布の違い

試験、資格ではt分布と正規分布は別物として勉強しましょう。
これはt分布、正規分布をそれぞれ理解しているかを確認するためです。
一方、実務上は下図のようにデータ数n=10個程度で、
t分布と正規分布N(0,\(1^2\))は同じグラフですね。

10個以下のデータ数なら、分析としては不十分なので、
もっと多くのデータ数を用いて分析しますよね。
つまり、最初から正規分布と過程しても実務上問題がないと言えます。

t分布の関数の形が少ない自由度で、
正規分布に重なるようになっているのが現状です。
私が思うあるべきt分布とは、データ数が100個くらいでも正規分布とずれているが、データ数が10000個以上になってようやく正規分布に接近してくるイメージです。

まとめ

t分布について実務や試験に活かせるようにわかりやすく解説しました。かなりイメージがついて、検定・推定、分散分析の解法に自信がついたでしょう。

• ➀t分布の導出がわかる
• ②t分布表の使い方
• ③t分布と正規分布の違い

基本統計量

「\(χ^2\)乗分布を使った検定方法がわからない」、「標準偏差、平方和と\(χ^2\)乗分布関数の関係がわからない」、「片側検定、両側検定のときの\(χ^2\)乗分布表の見方がわからない」など、実際に計算するときにいろいろ困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

\(χ^2\)乗分布でよく出る3つのパターン

• ➀\(χ^2\)乗分布の導出がわかる
• ②よく使う\(χ^2\)乗分布関数と標準偏差sの関係
• ③\(χ^2\)乗分布表の使い方

さっそく見ていきましょう。

➀\(χ^2\)乗分布の導出がわかる

\(χ^2\)乗分布の導出のポイント

詳細は、【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】をご覧下さい。まとめると次の3点ですね。

②よく使う\(χ^2\)乗分布関数と標準偏差sの関係

よく見かけるので、解説します。

\(χ^2\)乗分布と平方和S(大文字)との関係

\( χ^2=\frac{S}{σ^2}\)

\(χ^2\)乗分布と標準偏差s(小文字)との関係

\( χ^2=\frac{s^2}{σ^2}(n-1)\)

これは簡単に導出できます。
(i)平方和Sと分散(不偏分散)Vの関係は
\( V=\frac{S}{n-1}\)
ですね。
(ii)分散Vと標準偏差sの関係は
\( V=s^2\)
ですね。よって、
\(S=V(n-1)=s^2(n-1)\)
になります。

まとめると、
\(χ^2=\frac{S}{σ^2}\)
\(χ^2=\frac{ s^2(n-1)}{σ^2}\)
\(χ^2=\frac{s^2}{σ^2}(n-1)\)
\(χ^2=(\frac{s}{σ})^2(n-1)\)

標準偏差sと母分散σの比とデータ数nから\(χ^2\)を算出する場合、
\(χ^2\)と標準偏差sから母分散\(σ^2\)を推定することがよくあります。

③\(χ^2\)乗分布表の使い方

片側検定、両側検定において、\(χ^2\)乗分布表の見方を確認しましょう。

いろいろな自由度のχ2乗分布

\(χ^2\)乗分布表に載っているグラフの関数

\( f(x)= \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}}\)\(Γ(\frac{k}{2}) \)\(x^{\frac{k}{2}-1}\)\(e^{\frac{x}{2}} \)

よくわからない関数ですが、自由度kとx(χ2)を代入してf(x)を計算します。手計算は大変なので、エクセルを使って計算します。

エクセルを使う場合は、
xと自由度φを用意して、\(χ^2\)乗分布関数を
「=CHISQ.DIST(C6,D3,false)」
として代入します。C6はxのセル、D3は自由度φのセルです。

χ2乗分布表の見方

\(χ^2\)乗分布関数の特徴

片側検定、両側検定の場合の\(χ^2\)乗分布表の見方を図で確認しましょう。

片側検定の場合

確率P=0.05(有意水準)に相当する\(χ^2\)を読み取ります。

自由度φ=8の場合P=0.05に相当する\(χ^2\)は15.51になります。

両側検定の場合

母分散の推定区間を求めるために、両側検定をよく使います。

両側検定の場合は、有意水準が0.05のとき、P＝0.025とP=0.975に相当する\(χ^2\)を読み取ります。

ここで注意なのは、P=0.025の\(χ^2\)値方がP=0.975の\(χ^2\)値より大きいことです。

まとめ

\(χ^2\)乗分布について、実務や試験に活かせるようにわかりやすく解説しました。かなりイメージがついて、検定・推定、分散分析の解法に自信がついたでしょう。

• ➀\(χ^2\)乗分布の導出がわかる
• ②よく使う\(χ^2\)乗分布関数と標準偏差sの関係
• ③\(χ^2\)乗分布表の使い方

基本統計量

「χ2乗分布とt分布とF分布の式は複雑でわからない」、「χ2乗分布とt分布とF分布の関係がわからない」、「解き方は暗記したけど本質がわからない」など、分布の特性や利用目的を理解しないまま、検定や推定、分散分析していませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

分布関数を理解するポイント

• ➀χ2乗分布→t分布→F分布の順で学ぶ
• 分布関数は導出イメージが理解できる
• ③正規分布、χ2乗分布、t分布とF分布の関係

さっそく見ていきましょう。

➀χ2乗分布→t分布→F分布の順で学ぶ

教科書あるある

教科書は、母平均の検定に使う正規分布とt分布を先に、分散の検定に使うχ2乗分布とF分布を後に紹介します。
確かに、この順番でもOKですが、
本記事はt分布よりχ2乗分布を先に解説します。

本記事

分布関数は導出イメージが理解できる

それぞれの分布関数の使い方は個別の記事で紹介しますが、全体像を本記事で理解してください。

・正規分布
・χ2乗分布
・t分布
・F分布

χ2乗分布は分散の検定のために作られた関数

χ2乗分布の定義を見ましょう。

正しいですが、わかりませんよね。簡単にわかるよう解説します。

統計量の最重要な確認事項

平均を扱うのが、正規分布、t分布です。
母集合の母分散が既知で理想的な分布な正規分布
母集合の母分散が未知で現実的な分布なt分布
と、平均を扱う分布は2種類あります。

次にばらつき(分散)用の分布も必要になりますね。

χ2乗分布は分散の検定のために作られた関数で
正規分布から出発します。

平均\(\bar{x}\)、分散\(σ^2\)の正規分布に従う変数\(x_i\)の分散を考えます。
まず、変数\(x_i\)を標準化します。標準化についてはここを見てください。
\( \frac{x_i-\bar{x}}{σ}\)
そして、この2乗和が平方和であり、分散を考えるχ2乗分布関数の基本形になります。

χ2乗分布関数

(χ2乗分布関数)
\( f(x)= \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}}\)\(Γ(\frac{k}{2}) \)\(x^{\frac{k}{2}-1}\)\(e^{\frac{x}{2}} \) (A)
(正規分布関数)
\( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}exp(-\frac{x^2}{2}) \)(B)
と超難解な式です。ですが、
(A)=Σ(B)^2で計算できる
の理解で十分です。あとの難解な計算や式は、数学者にお願いしましょう。

実務で統計学を早く理解するポイント

χ2乗分布関数

χ2乗分布関数は、ざっくり書くと
\( Z=\sum_{i} (\frac{x_i-\bar{x}}{σ})^2\)
ですね。よく見ると、
\(\sum_{i} (x_i-\bar{x})^2\)
は平方和Sですよね。
つまり、
$$ χ^2 = \frac{S}{σ^2} $$
の関係があります。よく教科書にありますが、本記事を読めば、暗記する必要はありません。

χ2乗分布のさらなる特徴については、χ2乗分布を読んでください。

t分布は正規分布の一部を取り出した分布

t分布の定義を見ましょう。

正しいですが、全然意味がわからないですね。簡単にわかるよう解説します。

本記事で先に、χ2乗分布関数を説明した理由は、
t分布の導出にχ2乗分布関数が必要だからです。

平均を扱うのが、正規分布、t分布です。
母集合の母分散が既知で理想的な分布な正規分布
母集合の母分散が未知で現実的な分布なt分布
ですね。

正規分布は、理想・全体、無限のイメージですが、
ｔ分布は、現実・一部・有限のイメージがあります。

ｔ分布のイメージ

正規分布はσを、ｔ分布はσではなく自由度nを使う理由

t分布 X = 正規分布 Z / √χ2乗分布Y
をよく見ると、
正規分布 Z のσ/√χ2乗分布(σ^2/n)
→　σ/√(σ^2/n)=nとざっくり計算できますね。
σ→ｎに変わっていますよね。これが、
正規分布はσを、ｔ分布はσではなく自由度nを使う
わかりやすい理由です。

数学的な証明ではないため、厳密さは欠けますが、
慣れないうちはこの程度の説明で十分です。
私がわかりやすい説明を考え抜いた結果、この説明にたどり着きました。

t分布のさらなる特徴については、t分布を読んでください。

F分布は分散比の検定のために作られた関数

F分布の定義を見ましょう。

正しいですが、わかりにくいですね。簡単にわかるよう解説します。

F分布の目的

分散比だから、χ2乗分布関数の比になるわけですから、
F分布関数＝　χ2乗分布関数1/ χ2乗分布関数2
となりますよね。
χ2乗分布関数1　と　χ2乗分布関数2は自由度が異なるため、
F分布は両方の自由度が必要となるのも理解できますね。

F分布はこれだけわかれば十分です。

F分布のさらなる特徴については、F分布を読んでください。

③正規分布、χ2乗分布、t分布とF分布の関係

4つの分布関数の関係をざっくり書くと下の図のようになります。まずはこれだけわかれば十分実務に活かせます。

それぞれの関係と、利用目的が理解しやすいですね。活用できる良いイメージ図です。

なお、厳密に書くと下図になります。でも、わかりにくいですね。

まとめ

正規分布、χ2乗分布、t分布、F分布の順で、実務や試験に活かせるようにわかりやすく解説しました。かなりイメージがついて、検定・推定、分散分析の解法に自信がついたでしょう。

• ➀χ2乗分布→t分布→F分布の順で学ぶ
• 分布関数は導出イメージが理解できる
• ③正規分布、χ2乗分布、t分布とF分布の関係

基本統計量

「ポアソン分布の式がわからない」、 「ポアソン分布を使い方がイメージできない」などとポアソン分布は、二項分布や正規分布よりわかりくいですよね。

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

ポアソン分布を理解するポイント

• ➀ポアソン分布の式の覚え方
• ②ポアソン分布のわかりやすい導出
• ③ポアソン分布の活用例

本記事を読んでいるあなたは、平方和、確率分布関数など統計学の基礎をマスターしたいはずです。理解度アップのための必須な関連記事がありますので、関連記事も読んでください。

★統計学で最初に悩む関門！　平方和が簡単にマスターできるページ
【簡単】統計学最初の関門「平方和」がマスターできる【初心者向け】

確率分布関数の作り方や確率・期待値を積分で計算する理由が簡単にわかるページ
【簡単】確率分布関数がすぐ身につく方法

★品質管理・統計に頻出な分布関数をわかりやすく解説したページ
【簡単】F分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
【簡単】t分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
【簡単】χ2乗分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】

さっそく見ていきましょう。

●You tube動画もご覧下さい

➀ポアソン分布の式の覚え方

ポアソン分布の関数

$$ f(x)= e^{-λ}\frac{λ^x}{x!} $$

見た瞬間、「何じゃこりゃ？」ですね。
\( e^{-λ}\)と\(λ^x \)と\( x!\)とややこしい項ばかりですね。
式見てもグラフのイメージがつきません。
どうやってこの式ができたのか？イメージつきません
あなただけではありません。みんなイメージできません。

ポアソン分布の関数の覚え方

この式は何回使っても忘れます。忘れにくい方法があります

• (A)\( e^{-λ}\)と\(λ^x \)と\( x!\)の書く順番を決める
• (B)変数が変わったときに要注意
• (C)覚え方

(A)\( e^{-λ}\)と\(λ^x \)と\( x!\)の書く順番を決める

\( e^{-λ}\)→\(λ^x \)→\( x!\)としましょう。入れ替わると私も式がわからなくなります。

(B)変数が変わったときに要注意

本記事では、λ、xとしています。教科書によってはλ→m,x→kに変えていることがあります。要注意です。

(C)覚え方

下図のように、λ,xの変数を一箇所に集めれば、間違いなく公式暗記できます。

②ポアソン分布のわかりやすい導出

ポアソン分布の導出は、基本わかりにくいです。
2つ導出方法があります。概要を解説します。詳細はここを参照ください。

(A)はいろいろな教科書やwebサイトでも紹介されています。
メリットは、計算過程がわかりやすいことです。
デメリットは、二項分布の極限がポアソン分布となり、分布の極限って何？と疑問に残ることです。

●二項分布からポアソン分布を導出します。
二項分布
P(X=k)=\( {}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}\)
ここで、p=\(\frac{λ}{n}\)を代入します。
=\( {}_nC_k(\frac{λ}{n})^k(1-\frac{λ}{n})^{n-k}\)
=\( \frac{n(n-1)…(n-k+1)}{k!} (\frac{λ}{n})^k (1-\frac{λ}{n})^n (1-\frac{λ}{n})^{-k}\)
=\(\frac{λ^k}{k!}\)\(\frac{n(n-1)…(n-k+1)}{n･n…n}\)\((1-\frac{λ}{n})^{\frac{n}{λ}}\)\((1-\frac{λ}{n})^{-k}\)
n→∞に持っていくと
→ \(\frac{λ^k}{k!}･1･e^{-λ}\)=\(e^{-λ}\frac{λ^k}{k!}\)
となり、ポアソン分布型に変形できました。
でも、難しいですね。よく二項分布の極限値がポアソン分布だと気がつきますよね。

一方、(B)はレアです。
メリットは、モデルから方程式を立てて導出するので納得感がある。
デメリットは、計算過程が難しいことです。

本記事では(B)のレア版を解説します。詳細解説を見る前に概要を理解しましょう。何をやっているのかを先に理解してください。

ポアソン分布の導出

時刻0から時刻tまでに事象がn回起こる確率をPn(t)とします。
時刻ｔから微小時間Δに事象が1回起こる確率λΔとおきます。
時刻0から時刻t+Δまでに事象がn回起こる確率をPn(t+Δ)は、➀②の和になります。
➀時刻tまで事象がn-1回で、時刻t以降1回発生する確率 Pn-1(t)(λΔ)
②時刻tまで事象がn回で、時刻t以降0回発生する確率Pn(t)(1-λΔ)
Pn(t+Δ)= Pn-1(t)(λΔ)+ Pn(t)(1-λΔ)
と微分方程式が立てられます

式の各項を説明しましたが、一読では「何を言っているのかわからない」と思います。数回読むと慣れてきます。この方程式がポアソン分布のモデル式です。

Pn(t+Δ)= Pn-1(t)(λΔ)+ Pn(t)(1-λΔ)
を解けばPn(t)の関数形が得られます。

変形すると
(Pn(t+Δ)-Pn(t))/Δ=λ(-Pn(t)+Pn-1(t))
Δ→0にすると微分になりますから
\( \frac{d}{dt} Pn(t)\)= λ(-Pn(t)+Pn-1(t))
これを満たすPn(t)は
Pn(t)= \(e^{-λt}\frac{{λt}^n}{n!}\)
となり、ポアソン分布の関数になります。

(A)の二項分布の極限よりは、(B)のモデル式から導出する方が納得感はあります。ポアソン分布は難しいため、わかりやすく解説しても、この難しさです。

③ポアソン分布の活用例

具体例を見てみましょう。なお、期待値、分散の導出も重要ですが、詳細解説で説明するとして、ここでは、ポアソン分布を具体的な値を使って慣れる練習をしましょう。

二項分布とポアソン分布の比較

二項分布とポアソン分布は別物ですが、
割合の場合は二項分布、
個数の場合はポアソン分布、
を扱うだけで、上の問いはどちらの分布でも計算ができます。

●二項分布の場合
\( P_x={}_nC_x p^r (1-p)^{n-x}\)
=\(_{10}C_x (\frac{1}{20})^x (1-\frac{1}{20})^{10-x}\)

●ポアソン分布の場合
\(P_x= e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\)
=\( e^{-\frac{1}{20}}\)\(\frac{(\frac{1}{20})^x}{x!}\)

エクセルで計算した結果と、両者の結果を比較します。xが小さいとほぼ値は等しいですが、徐々に値がずれていくのがわかります。

ポアソン分布の正規分布近似

不良個数と来たら、ポアソン分布の公式を書きましょう。
\(P_x= e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\)
λが必要になります。
λは不良数×抜取数÷全数とします。
λ：➀1②2③4④5⑤10となります。グラフは次のようになります。

ポアソン分布は、λが高くなるにつれて正規分布に近似できます。
二項分布もポアソン分布も最初から正規分布で計算してもそれほど結果は変わらないということになりますが、試験では各々の分布に関する問題が出ますので勉強しましょう。実務は正規分布で良いでしょうね。

まとめ

二項分布は確率分布の一種と見ずに、高校数学の確率の延長にあるものです。二項分布は、正規分布に近づく不思議な性質があります。また、抜取検査のOC曲線のベースにもなります。高校数学で書ける易しい分布であると理解できます。

• ➀ポアソン分布の式の覚え方
• ②ポアソン分布のわかりやすい導出
• ③ポアソン分布の活用例

本記事を読んでいるあなたは、平方和、確率分布関数など統計学の基礎をマスターしたいはずです。理解度アップのための必須な関連記事がありますので、関連記事も読んでください。

★統計学で最初に悩む関門！　平方和が簡単にマスターできるページ
【簡単】統計学最初の関門「平方和」がマスターできる【初心者向け】

確率分布関数の作り方や確率・期待値を積分で計算する理由が簡単にわかるページ
【簡単】確率分布関数がすぐ身につく方法

★品質管理・統計に頻出な分布関数をわかりやすく解説したページ
【簡単】F分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
【簡単】t分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
【簡単】χ2乗分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】

基本統計量

「正規分布、二項分布、ポアソン分布の公式を覚えるのが大変」、「二項分布って何？」、「正規分布がなぜ出てくるの？」、「OC曲線にも二項分布が出てくるけど何で？」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

二項分布を理解するポイント

• ➀高校数学の確率を復習
• ②二項分布の期待値・分散は暗記
• ③二項分布の正規分布化を実例で体験
• ④OC曲線に二項分布が必須

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定®１級合格し、つまずきやすいQC検定®2級挑戦者に難解な確率密度関数をわかりやすく解説しています。

理解を深めるための関連記事を紹介

基本統計量をマスターするために必要な関連記事を紹介します。ご確認ください。
【1】分散、平方和、確率変数に慣れる
●【簡単】確率分布関数がすぐ身につく方法
●【簡単】統計学最初の関門「平方和」がマスターできる【初心者向け】
●確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】

【2】正規分布、二項分布、ポアソン分布に慣れる
●【初心者必見】正規分布の標準化や応用問題は怖くない！必勝解法を解説します。
●【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】
●【簡単】わかりやすく理解できるポアソン分布
●【簡単】正規分布は怖くない！正規分布表や確率計算の求め方がすぐわかる

さっそく見ていきましょう。

➀高校数学の確率を復習

統計学や品質管理を勉強しているあなたは、高校数学をすでに勉強しているはずです。確率の良問を見ながら、二項分布に入っていきましょう。

(1)は組み合わせの確率問題ですね。
600回のうち、n回1(確率1/6)が出て、600-n回はそれ以外(確率5/6)が出ます。
どのn回に1が出るかは組み合わせで求めましたよね。式でまとめます。
Pr=\( _nC_r p^r (1-p)^{n-r} \)
を使いますね。わからない場合は高校数学確率の章に戻って復習しましょう。

n=600,p=\(\frac{1}{6}\)を代入すればよいです。
よって、
Pr=\( {}_{600}C_r (\frac{1}{6})^r (\frac{5}{6})^{600-r} \)

(2)は解いてみてください。詳細は解説集に載せています。ご覧下さい。答えはr=100のときです。
確率\(\frac{1}{6}\)で600回振るから100回になるのも納得できます。

(1)の式を見ると、二項分布の式そのものですね。
高校数学を学んでいれば二項分布の式は書けるはずです。大学の難しい数学ではありませんね。

②二項分布の期待値・分散は暗記

高校数学で期待値と分散は証明できるのですが、意外と難しいです。
しかし、計数値の検定・推定（母不適合品率がある場合の検定・推定）や
計数値管理図(pn管理図、p管理図)に二項分布が使われます。
検定や管理図を使いこなせるレベル（資格でいうとQC検定®2級合格レベル）までは
期待値と分散は公式暗記でよいです。

なお、期待値E[X]=np、分散V[X]=np(1-p)の証明はここに記載しています。

➀の例題で、サイコロ１個をn=600回、確率p=\(\frac{1}{6}\)ですか、np=100が期待値となります。

③二項分布の正規分布化を実例で体験

実際にやってみましょう。

サイコロが1個2個の場合

●サイコロが1個の場合

回数を6で割ると確率Pになりますね。

●サイコロが2個の場合

回数を36で割ると確率Pになりますね。

サイコロ1個,2個の場合についてグラフを描くと、次のとおりです。二項分布とはいえ、直線で角々していますね。

サイコロが3個以上の場合

同様にサイコロの数を増やしていきます。その結果、滑らかな曲線になっていき、正規分布に近い形になっていますね。サイコロの数の目の出方は一見、正規分布とは関係がありませんが、データが増えるにつれて正規分布近似できるようになります。これが科学・社会データも同じことが言えます。不思議ですね。

ここで大事なのは、二項分布に従うデータも数が増えると正規分布に近づくことを実例で理解することです。教科書暗記せず、体感することが大切です。なお、サイコロの場合、たったn=3で正規分布に従う形になります。
最初から二項分布を使わずに正規分布で考えても良いかもしれませんね。

二項分布の理解を深める演習問題を解きましょう

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④OC曲線に二項分布が必須

抜取検査で必須なOC曲線(Operating Characteristic curve)に二項分布の式が必須です。
OC曲線は丸暗記する人が多いので、式で理解しましょう。解説します。

OC曲線の目的

OC曲線は合格率L(p)と不良率pの関係を見るわけですから、縦軸はL(p)、横軸はpですね。
次にL(p)の式を作りましょう。

式で書くと
\( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r(1-p)^{n-r} \)
と書けます。

OC曲線は、不良率から消費者危険、生産者危険、(n,c)によるグラフの関係性を見ます。これは抜取検査の記事で詳細に解説します。
大事なのは、OC曲線は二項分布の式で作ることです。グラフの性質を丸暗記せず、式で理解しましょう。式で理解した方が、応用が効くからです。

なお、いろいろな(n,c)の場合のOC曲線を見ましょう。ここまでグラフ化した図は本記事以外にありません。エクセルとVBAを使ってグラフにしました。貴重なデータですよ。

まとめ

二項分布は確率分布の一種と見ずに、高校数学の確率の延長にあるものです。二項分布は、正規分布に近づく不思議な性質があります。また、抜取検査のOC曲線のベースにもなります。高校数学で書ける易しい分布であると理解できます。

• ➀高校数学の確率を復習
• ②二項分布の期待値・分散は暗記
• ③二項分布の正規分布化を実例で体験
• ④OC曲線に二項分布が必須

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