カテゴリー: 手法

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教科書の専門用語を丸暗記しただけでは、すぐに実験計画法がわからなくなります。上の5つが自分の言葉で説明できることが重要です。不安ならば、記事を読んで理解を深めていきましょう。

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以前、ブログ解説していましたが、１つのPDFにまとめました。勉強に役立ててください。

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内容は以下です。応用レベルをわかりやすく解説しています。130ページあります。

これだけ、確認できれば、実験計画法はマスターできますよね！！

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私は、日本にある実験計画法の教科書をほぼ全て読破しました。どの本も章立てが同じです。出版元が学会や規格団体なので、構成をそろえたのでしょう。それが難しくしている理由だと思います。

上表のように、第１章で、因子、水準、交互作用、残差、データの構造式などの基本を一通り解説し、
第2章以降は、章ごとにそれぞれの解法を解説するパターンがほとんどです。

★よくある教科書のメリット

★よくある教科書のデメリット

実際、私自身、多くの教科書を読んで研究しましたが、著者の癖が最後まで苦労しました。

★実験計画法を究める方法を提案

この3つが、重要と考え、ブログに挙げると決めました。

再掲しますが、わかりやく実験計画法を究める順番を提示します。この順番でQCプラネッツは解説しています。

実験計画法は、分散分析表を作ることが重要と思われがちですが、実は違います。データの構造式をおさえてください。QCプラネッツは、実験計画法の全手法とも、データの構造式から入ります。

★なぜデータの構造式が最重要なのか？

自分で立てたモデル式である、データの構造式が自由度、分散分析から推定区間などすべての分析結果を導きます。データの構造式の特徴によって手法の個性が出ているので、手法の違いはデータの構造式を比較すればよく理解できます。

データの構造式を自分で立てて、手法によって比較することによって、実験計画法の本質が理解できるようになります。これをしないと、意味が理解できないややこしい問題となるだけです。

手法ごとに暗記せず、どの手法でも次の攻め方で解いていきます。

手順1から5にすべて、「データの構造式」が入っていますね。1つの解法で、多元配置実験、直交表、乱塊法・分割法、多水準法・擬水準法などの手法が解けます。

データの構造式さえおさえれば実験計画法は簡単！までは言えません。メリットとデメリットを列挙します。

★データの構造式を活用するメリット

★データの構造式を活用するデメリット

デメリットは、「慣れるまでが大変！でも慣れると究められる」です。実は教科書は、最初の慣れるまでの大変さを少しでも簡単にするために、手法ごとに章立てしているのです。しかし、それでは実験計画法が何をやっているのかが見えにくくなるのです。

デメリットもありますが、デメリットである煩雑な計算や導出過程は、QCプラネッツの各記事で解説していますので、目を通すと早く慣れます。大丈夫です。

データの構造式から実験計画法を分析すると、実験計画法はいろいろ誤解されていることに気が付きます。

QCプラネッツから、おすすめな本をいくつか紹介します。

3段階に分けます。

では、推薦図書を紹介します。

私も、QC検定®2級の対策本だけ解いて合格しましたが、それでも難解でした。

まず、目標は、二元配置実験(繰返し有り)を解き方暗記してもOKなので、解けることです。

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入門書としてわかりやすく書いていますが、中級レベルな本です。フィッシャーの三原則、データの構造式、乱解法・分割法、処理間差の区間推定などをわかりやすく解説しています。

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ページ数が少なく、わかりやすく解説しています。特に、平方和の分解、ラテン方格法と実験計画法の違いを分かりやすく解説しており、QCプラネッツの記事のベースにもなっています。

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実験計画法を自信もって学んだといえるレベルに誘ってくれる１冊です。一元～多元配置、乱解法、分割法、直交表、線点図、多水準表、擬水準法の分散分析、分散の期待値の導出の過程をわかりやすく解説しています。

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これらの本を読破すると、「実験計画法が分かる」と自信もって言えますし、ＱＣ検定®１級合格は確実でしょう。

私がそうでした。

次の点で、まだ不安要素があるのではないでしょうか？

まだまだ、わからないことだらけでした。それを解決する参考書を紹介します。この上級レベルを超えて作られた記事をQCプラネッツでは紹介しています。

★推薦図書

永田先生の参考書は必須です。分厚いですが、分散分析の導出など計算でつまづきやすいポイントをたくさん書いています。現在、本屋で販売している中で最も濃密な１冊です。サタースウェイトの等価自由度も丁寧に解説しています。QCプラネッツではさらに丁寧に解説した記事があります。

入門実験計画法 [ 永田靖 ] 価格：4620円（税込、送料無料) (2021/11/17時点)

絶版ですが、誰もが思うなぜなぜな疑問をたくさん解説しています。データの構造式から区間推定の式の導出、直交表の繰返し使う場合の残差の扱いなどがわかりやすく解説しています。

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古書になりますが、分散分析表の分散の期待値E[V]の導出過程がわかりやすく解説しています。実験計画法をマスターするには、期待値E[V]の導出過程が自由自在にできることです。

初等実験計画法テキスト改訂版 [ 石川馨 ] 価格：3080円（税込、送料無料) (2021/11/17時点)

最後に、実験計画法といえば、田口先生です。田口先生の本も上下セットで一度は読んでおきたいです。実験計画法は多くても3因子までですが、4因子、5因子でも計算するガッツを身につけると、各手法の違いや特徴が簡単にわかるようになります。

実験計画法（上）第3版　復刻版 [ 田口玄一 ] 価格：8800円（税込、送料無料) (2021/11/17時点)

【中古】実験計画法 下 第3版/丸善出版/田口玄一（単行本） 価格：4219円（税込、送料無料) (2021/11/17時点)

以上、推薦図書を紹介しました。もちろん、ＱＣプラネッツの記事がベストですが、先人の良書も大切です。

実験計画法のすべてを解説しました。

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3因子(Aが4水準、Bが5水準、Cが3水準の計60個)から構成される三元配置実験の分散分析をまとめます。

教科書どおりだと、F値の小さいものは無視できるので、交互作用A×B、B×Cを残差eへプーリングしますね。

プーリングはよく試験に出るので、練習しておくことは大事ですが、単にF値の大小で残差eに含めるかどうかはよく考えるべきです。

プーリングすべきかどうかは、その効果の意味をよく考えることが大事です。

調べたい効果が小さければ、影響が無いという知見が得られます。それを残差に入れて、無かったことにするのはもったいないです。

私は、F値に関係なく、一旦は全効果の平方和を調べることをおすすめします。
その理由は、各効果の関係を分散の大小から理解して、自分がやりたい実験が適正に計画できているかをチェックすることができるからです。

全体を俯瞰する意味で、全効果の平方和を調べた方がよいです。エクセルで簡単に計算できますから。,

まとめると、

理由は口で言うと簡単です。

大正解です！

でも、数式で説明できますか？

口で言うのは簡単だけど、本当にも残差eの分散の期待値は変化しないのでしょうか？と言い寄られると、ちょっと不安になりますよね。

プーリングする前の各効果を式で表現すると下表のようになります。

黄色枠を見て、残差eの平方和の期待値が導出できます。
E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((x_{ijk}-\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{･jk}}\)
\(+\bar{x_{i･･}}+\bar{x_{･j･}}+\bar{x_{･･k}}-\bar{\bar{x}})^2\)
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{ij･}}-\bar{ε_{i･k}}-\bar{ε_{･jk}}\)
\(+\bar{ε_{i･･}}+\bar{ε_{･j･}}+\bar{ε_{･･k}}-\bar{\bar{ε}})^2\)
=(a-1)(b-1)(c-1)\(σ_e^2\)
となるのですが、簡単に導出方法を書いておきます。

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{ij･}}-\bar{ε_{i･k}}-\bar{ε_{･jk}}\)
\(+\bar{ε_{i･･}}+\bar{ε_{･j･}}-\bar{ε_{･･k}}-\bar{\bar{ε}})^2\)
を(A)とします。

よって、(A)は
(abc-1)-(a-1)(b-1)-(a-1)(c-1)-(b-1)(c-1)
-(a-1)-(b-1)-(c-1)
=abc-ab-ab-bc+a+b+c-1
=(a-1)(b-1)(c-1)
E[\(S_e\)]＝(a-1)(b-1)(c-1)\(σ_e^2\)
となります。

データの構造式で、全効果を展開すると、添え字が
そのまま自由度になります。

添え字：(ijk-ij-jk-ik+i+j+k-1)
→自由度:(abc-ab-ac-bc+a+b+c-1)

よって、分散の期待値は、自由度で割ります。
残差eの自由度は(a-1)(b-1)(c-1)なので、
E[\(V_e\)]＝\(σ_e^2\)
とシンプルになります。

交互作用A×Bをプーリングします。

交互作用A×Bをプーリングした後の各効果を式で表現すると下表のようになります。

残差eの項が少し変わりました。

黄色枠を見て、残差eの平方和の期待値が導出できます。
E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((x_{ijk}-\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{･jk}}\)
\(+\bar{x_{･･k}})^2\)
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{i･k}}-\bar{ε_{･jk}}\)
\(+\bar{ε_{･･k}})^2\)
=(a-1)(b-1)(c-2)\(σ_e^2\)
となるのですが、簡単に導出方法を書いておきます。

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{ i･k }}-\bar{ε_{･jk }}+\bar{ε_{･･k}})^2\)
を(B)とします。

よって、(B)は
(abc-1)-(a-1)(b-1)-(a-1)(c-1)-(b-1)(c-1)
-(a-1)-(b-1)-(c-1)
=(a-1)(b-1)(c-1)-(a-1)(b-1)
=(a-1)(b-1)(c-2)
E[\(S_e\)]＝(a-1)(b-1)(c-2)\(σ_e^2\)
となります。

(A)の自由度からプーリングした交互作用A×Bの自由度(a-1)(b-1)を引けばOKです。

よって、分散の期待値は、自由度で割ります。

さらに交互作用A×B、B×Cをプーリングします。

交互作用A×B、B×Cをプーリングした後の各効果を式で表現すると下表のようになります。

さらに残差eの項が変わりました。

黄色枠を見て、残差eの平方和の期待値が導出できます。
E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((x_{ijk}-\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{･j･}})^2\)
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{i･k}}-\bar{ε_{･j･}}\)
=(b-1)(ac-2a-2c+3)\(σ_e^2\)
となるのですが、簡単に導出方法を書いておきます。

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{ i･k }}-\bar{ε_{･j･}})^2\)
を(C)とします。

よって、(C)は
(abc-1)-(a-1)(b-1)-(a-1)(c-1)-(b-1)(c-1)
-(a-1)-(b-1)-(c-1)
=(a-1)(b-1)(c-1)-(a-1)(b-1)-(b-1)(c-1)
=(b-1)(ac-2a-2c+3)
E[\(S_e\)]＝(b-1)(ac-2a-2c+3)\(σ_e^2\)
となります。

(A)の自由度からプーリングした交互作用A×B,B×Cの自由度(a-1)(b-1)と(b-1)(c-1)を引けばOKです。

よって、分散の期待値は、自由度で割ります。

プーリングすると自由度も下がるので、残差eの分散の期待値は変わりません。実際に式を使って期待値が変わらないことを確認しました。

以上、「実験計画法のプーリングがわかる」を解説しました。

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★【簡単】実験計画法とは何かがすぐわかる【初心者向け】

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★なぜ、実験計画法は分散で検定するのか？【初心者向け】

なぜ、実験計画法は分散で検定するのか？【初心者向け】 実験計画法はなんで分散分析するのか？、帰無仮説・対立仮説は何かがすぐ分かります！

★実験計画法のプーリングがわかる

実験計画法のプーリングがわかる 実験計画法のプーリングって何？がすぐにわかります！

★実験計画法の交絡がわかる

【簡単】実験計画法の交絡(別名)とはキャラがかぶっていること 実験計画法の交絡が何かがすぐにわかります！

二因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。
実験計画法は慣れないうちは、分散分析ができることを最優先するので、
データの構造式は見なくてもOKです。
しかし、データの構造式さえあれば全部計算できるので、機械的に書きましょう。

★二元配置実験(交互作用有り)のデータの構造式

★因子と水準の違いは説明できますか？

関連記事
「一元配置実験の平方和の分解ができる【初心者必見】」
を確認しましょう。

【QCプラネッツ実験計画法プレミアム勉強プリント】 実験計画法で大事なエッセンスをテキストにまとめました。必読です！

P1-3で確認ください。

★【簡単】因子と水準の違い

二元配置実験(交互作用有り)のデータを用意します。

計算して、表を作ってみた方がわかりやすいです。

★(i)全体の平均μを求める

μ=合計/個数=480/24=20

★(ii)主効果\(α_i\)の各値(i=1,2,3)を求める

●\(α_1\)=(水準1の平均)―μ=\(\frac{11+4+19+19+5+14+7+1}{8}\)-20=-10
●\(α_2\)=(水準2の平均)―μ=\(\frac{3+21+15+31+13+9+23+21}{8}\)-20=-3
●\(α_3\)=(水準3の平均)―μ=\(\frac{24+15+46+54+10+33+34+48}{8}\)-20=13

★(ii)主効果\(β_j\)の各値(j=1,2,3,4)を求める

●\(β_1\)=(水準1の平均)―μ=\(\frac{11+5+3+13+24+10}{6}\)-20=-9
●\(α_2\)=(水準2の平均)―μ=\(\frac{4+14+21+9+15+33}{6}\)-20=-4
●\(α_3\)=(水準3の平均)―μ=\(\frac{19+7+15+23+46+34}{6}\)-20=4
●\(α_4\)=(水準4の平均)―μ=\(\frac{19+1+31+21+54+48}{6}\)-20=9

★(iii)交互作用\((αβ)_{ij}\)の各値を求める

\((αβ)_{11}\)～\((αβ)_{34}\)の全12種類を計算します。
●\(αβ_{11}\)=(AB11の平均)―μ―α1―β1=\(\frac{11+5}{2}\)-20-(-10)-(-9)=7
●\(αβ_{12}\)=(AB12の平均)―μ―α1―β2=\(\frac{4+14}{2}\)-20-(-10)-(-4)=3
…
●\(αβ_{14}\)=(AB14の平均)―μ―α1―β4=\(\frac{19+1}{2}\)-20-(-10)-9=-9
…
●\(αβ_{34}\)=(AB34の平均)―μ―α3―β4=\(\frac{54+48}{2}\)-20-13-9=9

ちょっとややこしい計算ですが、
S_A×B=S_AB– S_A– S_B
と連想すれば計算式が理解しやすいですね。

★(iv) 残差\(e_{ijk}\)は残りの値

\(ε_{ijk}\)=\(x_{ijk}\)-μ-\(α_i\)-\(β_j\)-\((αβ)_{ij}\)
例えばi=2,j=3,k=2としましょう。
\(ε_{232}\)=\(x_{232}\)-μ-\(α_2\)-\(β_3\)-\((αβ)_{23}\)
=23-20-(-3)-4-(-2)=4
これをすべてのijkについて計算します。

まとめると次のようにデータが分解できます。

=

+

+

+

+

次に平方和を導出しましょう。

データの構造式
x_ijk=μ+ α_i+β_j+(αβ)_ij+e_ijk
を
x_ijk-μ=α_i+β_j+(αβ)_ij+e_ijk
と変形し、両辺を2乗したものにΣiΣjΣkをつけます。

\(\sum_{i=1}^{a}(αβ)_{ij}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}\)=0

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}( x_{ijk}-μ)^2\)
=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(α_i+β_j+(αβ)_{ij}+e_{ijk})^2\)

右辺は、
(右辺)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((α_i^2+β_j^2+(αβ)_{ij}^2+e_{ijk}^2)\)
+2\((α_i β_j+α_i (αβ)_{ij}+α_i e_{ijk}+β_j (αβ)_{ij} +β_j e_{ijk} +(αβ)_{ij} e_{ijk})\)

ここで、(右辺の) 2乗項以外の中間項の和はすべて0になるため、
(右辺)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((α_i^2+β_j^2+(αβ)_{ij}^2+e_{ijk}^2)\)
となります。中間項の和が0になることを後で１つずつ数値をいれて計算して確かめましょう。

まとめると、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}( x_{ijk}-μ)^2\)
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((α_i^2+β_j^2+(αβ)_{ij}^2+e_{ijk}^2)\)
これが、
S_T= S_A+ S_B+ S_A×B+ S_e
となり、平方和の分解ができるのです。

データの構造式
x_ijk=μ+ α_i+β_j+(αβ)_ije_ijk
の、各i,jに対する値について、表を使って計算しました。

すべての値を2乗しましょう。

表の和をまとめると、
14468=9600+2224+1164+624+856
と一致します。あら、不思議！

実際、合計,因子A,残差eに対する平方和Sは、
●S_T14468-9600=4868
●S_A=2224
●S_B=1164
●S_A×B=624
●S_e=856
となります。

● \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}α_i β_j\)=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}α_i (αβ)_{ij}\)=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}α_i e_{ijk}\)=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}β_j (αβ)_{ij}\)=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}β_j e_{ijk} \)=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(αβ)_{ij} e_{ijk}\)=0
となります。式変形で証明しても良いですが、慣れないうちは、具体的に計算して確認しましょう。

6つ紹介するとくどいので、１つだけ代表例をみましょう。
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(αβ)_{ij} e_{ijk}\)=0
をやってみましょう。

×

=

黄色枠のとおり、合計は0になります。

★【簡単】主効果、交互作用、残差の和が0である理由

データの構造式
x_ijk=μ+ α_i+β_j+(αβ)_ij+ e_ijk
から、両辺に和をとります。

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}x_{ijk}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}μ\)=abcμ
より、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)α_i+β_j+(αβ)_ij+ e_ijk
=0
で、α,β、εは独立した関係なので、
● \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)α_i=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)β_j=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)(αβ)_ij=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\) e_ijk=0
となります。

表でも確認しましょう。

★主効果α

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)α_i=0
を確認します。

★主効果β

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)β_j=0

を確認します。

★交互作用αβ

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)α_i=0
を確認します。さらにいうと、
\(\sum_{i=1}^{a}\)(αβ)_ij=0
\(\sum_{j=1}^{b}\)(αβ)_ij=0
が成り立つことを確認します。

★残差e

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)e_ijk=0
を確認します。さらにいうと、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\)e_ijk=0
\(\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)e_ijk=0
が成り立つことを確認します。

公式暗記の前に、具体的な数字を使った計算結果を見て、慣れていきましょう。

【データ】

是非、解いてみましょう。

以上、「二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】」を解説しました。

★ 本記事のテーマ

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(A)(B)は、
関連記事「【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる」
にあります。
(C)(D)は本記事です。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる 母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！

この4つの流れで、多元配置実験、直交表、乱塊法、分割法、多水準法などすべてのパターンに適応できます。

4つの流れを理解して、速く計算したくなったら、田口の式や伊奈の式に代入でしましょう。

★(A)データの構造式を用意する(関連記事)

\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+(αβ)_{ij}\)+\(e_{ijk}\)

とします。因子A,Bと繰り返しの自由度はそれぞれa,b,cとします。

最適条件\(μ(A_i B_j)\)の点推定値の有効反復数を求めます。
ここで、\((αβ)_{ij}\)を無視した場合を紹介します。
その方が導出過程が理解しやすいからです。

★ (B)母平均の式を作る(関連記事)

\(μ(A_i B_j)\)
=\(μ+α_i+β_j\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+\((\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}})\)+\((\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}})\)
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)

★ (C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す

\(μ(A_i B_j)\)
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
=(\(μ+α_i+\bar{e_{i‥}}\))
+(\(μ+β_j+\bar{e_{･j･}}\))
-(\(μ+\bar{\bar{e}}\))
=(\(μ+α_i+β_j+\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}}\))

★ (D)戻したデータの構造式の分散を求める

V[\(μ(A_i B_j)\)]
=V[(\(μ+α_i+β_j+\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}}\))]
=V[(\(\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}}\))]
= \((\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{abc})σ_e^2\)
=\(\frac{a+b-1}{abc}σ_e^2\)

初めて見ると難しそうと思いますが、この(A)から(D)の方法で、全実験パターンで使えます。
以下応用事例を挙げますが、同じ方法で解説します。

★田口の式、伊奈の式

★二元配置実験の場合を田口の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\)
\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1+(a-1)+(b-1))}{abc}\)
=\(\frac{a+b-1}{abc}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

★二元配置実験の場合を伊奈の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=点推定量の式で、各合計にかかっている係数の和
\(\frac{1}{n_e}\)=\((\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{abc})\)
=\(\frac{a+b-1}{abc}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

田口の式、伊奈の式は便利です。でも、

に注意しましょう。

また、

ならば

次に、複雑にした応用事例を解説します。

どんどん、複雑なデータの構造式にしますが、導出方法は同じです。もう一度、書いておきます。

同じデータの構造式は、
関連記事
「【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる」
にあります。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる 母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！

★(A)データの構造式を用意する(関連記事)

★(B)母平均の式を作る(関連記事)

μ(ABCDF)
=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_a}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_b}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_c}-\bar{\bar{x}}\))
+(\(\bar{x_d}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_f}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{ab}}-\bar{x_a}-\bar{x_b}+\bar{\bar{x}}\))
+(\(\bar{x_{cd}}-\bar{x_c}-\bar{x_d}+\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{ab}}\)+\(\bar{x_{cd}}\)+\(\bar{x_f}\)-2\(\bar{\bar{x}}\)

★ (C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す

慣れると、変量因子や残差項のみを書きましょう。
主効果や交互作用の項は書いても、分散を導出する時は0になるので、
最初から書かなくてもOKです。

μ(ABCDF)
=\(\bar{x_{ab‥}}+\bar{x_{cd‥}}+\bar{x_{f･‥}}-2\bar{\bar{x}}\)
=\(\bar{e_{ab‥}}+\bar{e_{cd‥}}+\bar{x_{e･‥}}-2\bar{\bar{e}}\)

直交表L16は添字4種類ですが、a,b,c,d,fの5種類を割当てています。
4種類から割り当てた種類を引いた分を・で表記します。

★ (D)戻したデータの構造式の分散を求める

V[μ(ABCDF)]
=V[\(\bar{e_{ab‥}}+\bar{e_{cd‥}}+\bar{x_{e･‥}}-2\bar{\bar{e}}\)]
= \((\frac{4}{16}+\frac{4}{16}+\frac{2}{16}-2\frac{1}{16})σ_e^2\)
=\(\frac{1}{2}σ_e^2\)

追加で(E)も取り上げます！

★ 田口の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\)
=\(\frac{1+φ_A+φ_B+φ_C+φ_D +φ_F+φ_AB +φ_CD}{16}\)
=\(\frac{1+1+1+1+1+1+1+1}{16}\)=\(\frac{1}{2}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

★ 伊奈の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=点推定量の式で、各合計にかかっている係数の和
V[μ(ABCDF)]=V[μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)]
=8×\(\frac{1}{16}σ_e^2\)
\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1}{2}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

同じデータの構造式は、
関連記事
「【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる」
にあります。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる 母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！

乱塊法と分割法のセットとなる、応用事例です。難しそうですが、

★(A)データの構造式を用意する(関連記事)

★(B)母平均の式を作る(関連記事)

μ(A_iB_j)
=\(μ+α_i+β_j\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)

★ (C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す

μ(A_iB_j)
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
=\((μ+\bar{r}+α_i+\bar{e_{(1)i･}}+\bar{e_{(2)i･･}})\)
+\((μ+\bar{r}+\bar{\bar{e_{(1)}}}+β_j+\bar{e_{(2)･j･}})\)
-\((μ+\bar{r}+\bar{\bar{e_{(1)}}}+\bar{ e_{(2)}})\)
=\((μ+\bar{r}+α_i+β_j+\bar{e_{(1)i･}})\)
+\((\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{ e_{(2)}})\)

★ (D)戻したデータの構造式の分散を求める

V[μ(A_iB_j)]
=V[\((μ+\bar{r}+α_i+β_j+\bar{e_{(1)i･}})\)
+\((\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{ e_{(2)}})\)]
= V[\((\bar{r} +\bar{e_{(1)i･}})\)
+\((\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{ e_{(2)}})\)]
=\(\frac{1}{c}\widehat{σ_R^2}+\frac{1}{c}\widehat{σ_{e(1)}^2}+(\frac{a+b-1}{abc})\widehat{σ_{e(2)}^2}\)

ここで、分散分析表を作ります。必要なのは、効果、自由度、分散の期待値E[V]です。

さっと作れますか？　

関連記事
「分割法(2因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】」
を確認しましょう。

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P27-30で確認ください。

★分散分析表

分散分析表から分散の推定値を導出します。

から、次を導出します。
●\(\widehat{σ_{e(2)}^2}\)= V_e(2)
●\(\widehat{σ_{e(1)}^2}\)=\(\frac{1}{b}\)( V_e(1)– V_e(2))
●\(\widehat{σ_R^2}\)=\(\frac{1}{ab}\)( V_R– V_e(1))

まとめると
V[μ(A_iB_j)]
=\(\frac{1}{c}\widehat{σ_R^2}+\frac{1}{c}\widehat{σ_{e(1)}^2}+(\frac{a+b-1}{abc})\widehat{σ_{e(2)}^2}\)

=\(\frac{1}{abc}\) V_R+\(\frac{a-1}{abc}\) V_e(1)+\(\frac{b-1}{abc}\) V_e(2)

分割法の有効反復数の導出は、慣れるまでは大変かもしれません。
なので、田口の式、伊奈の式から導出しましょう。

追加で(E)も取り上げます！

★ 田口の式で導出

乱塊法＋分割法になると変量因子Rや残差eの種類が増えるため、田口の式を拡張する必要があります。
これも結構、ややこしい話ですけど。

反復因子Rを無視しないので、
V[μ(A_iB_j)]
=\(\frac{1}{全実験回数}\) V_R+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\) V_e(1)
+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\) V_e(2)

=\(\frac{1}{abc}\) V_R+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和=a-1)}{全実験回数}\) V_e(1)
+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和=b-1)}{全実験回数}\) V_e(2)
=\(\frac{1}{abc}\) V_R+\(\frac{a-1}{abc}\) V_e(1)+\(\frac{b-1}{abc}\) V_e(2)
と一致します。

★ 伊奈の式で導出

分割法になると、データの構造式からの有効反復数の導出が大変です。
なので、田口の式や伊奈の式に頼りたいですが、公式も乱塊法や分割法によって
式を変形する必要があります。

分割法の有効反復数はデータの構造式から導出しても、
公式暗記しても難しいです。
ですから、導出過程をよく見て、本質を理解してください。

以上、「【重要】データの構造式から有効反復数が導出できる」を解説しました。