【簡単】2水準の直交表のつくり方【必見】

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次の３つが直交表を完璧に理解するために必要です。全10本程度の記事を使って、直交表を解説します。教科書には書いていない、QCプラネッツだけ知っている直交表をお伝えします。

さっそく見ていきましょう。

2水準で実験回数が16回ですから、
4因子(A,B,C,D)を用意します。

逆に、因子数が決まっていたら、
実験回数は因子数の水準数乗となります。

つまり、 2の4乗で16回です。
5因子3水準なら5の3乗で125回と全パターンを実験しますね。

因子A,B,C,Dの全パターンを書き出しましょう。機械的に書き出します。

なお、1+4+6+4+1=16を二項定理の式に書く事ができます。
\( {}_4 C_0+{}_4 C_1+{}_4 C_2+{}_4 C_3+{}_4 C_4\)
=1+4+6+4+1
=16

16種類の項をデータの構造式にまとめます。
ここで、直交表が突然できたわけではなく、データの構造式から作られたことを理解しましょう。重要です。

x=μ+α+β+γ+δ+(αβ)+(βγ)+(γδ)
+(αβγ)+(αβδ)+(αγδ)+(βγδ)
+e

データの構造式から直交表の各列を作ります。下図のように列を並び替えます。並び替えなくても、別に構いませんが、直交表を使いやすく配列すれば良いです。

4因子2水準を事例に挙げて、直交表の配列方法を解説しました。他の因子、他の水準でも同様にできます。ただし、まだ2水準限定としましょう。3水準以上になると交互作用が複数列出てきます。これは次の関連記事で解説しています。

【本記事限定】3水準以上の直交表には交互作用が複数列ある理由 3水準の場合、交互作用が複数列ある理由をわかりやすく解説します！

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【本記事限定】直交表の実験回数と割当て列数が決まっている理由がわかる【必見】 直交表の面白い性質が実はあります！わかりやすく解説します！

直交表の便利な点は、列の平方和が簡単に計算できることです。
そのためには、直交表の全列の平方和の総和が全体の平方和であることが前提です。

直交表の全列の平方和の総和が全体の平方和かどうか実際に確かめてみましょう。

図のように2水準の因子A,B,C,Dを用意して16回実験します。これは完全配置実験ですね。

分散分析の結果は次のようになります。さらっと、書いていますが結構計算は面倒です。でもとてもいい演習問題なので、下の問を是非解いてみてください。

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次に、直交表を使って分散分析しましょう。直交表\(L_{16} (2^{15})\)と各データを割り付けます。

直交表の各成分の水準数に合わせてデータを入れていきます。
例えば、A1B1C1D1のデータは10です。

黄色枠のA1B1C1D1は直交表では、次の行に割当てます。

これを16回繰返します。各データを直交表に割当てる方法がわかりました。

次に、直交表から平方和を求める公式があります。

$$ S_{[k]} = \frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N} $$

S[k]はk列目の平方和、Nは総データ数、T[k]1はk列目の水準1の合計、T[k]2はk列目の水準2の合計です。

この式を使って計算すると、1列目の平方和S[1]は
\(S_{[1]} = \frac{(T_{[1]1}-T_{[1]2})^2}{16} \)
=0.5625
となります。

同様に15列分計算しましょう。エクセルで計算した方が早いです。結果は下の表です。

分散分析すると、下図のようになり、四元配置実験の結果と一致します。

実例のように、直交表の全列の平方和の総和が全体の平方和になりました。その理由を解説します。

4因子のデータの構造式を書きます。

x=μ+α+β+γ+δ+(αβ)+(βγ)+ (γδ)
+(αβγ)+(αβδ)+(αγδ)+(βγδ)
+e

平方和の分解のところで詳細に導出を解説しますが、本記事では概要を解説します。上の式を変形して、それぞれの平方和に分解できます。

\(S_T\)=\(S_A\)+\(S_B\)+\(S_C\)+\(S_D\)
+\(S_{ A×B }\)+\(S_{ A×C }\)+\(S_{ A×D }\)
+\(S_{ B×C }\)+\(S_{ B×D }\)+\(S_{ C×D }\)
+\(S_{A×B×C}\)+\(S_{A×B×D}\)+\(S_{A×C×D}\)+\(S_{B×C×D}\)
+\(S_e\)

上の式のように、平方和が分解できます。
それぞれに分割された平方和が直交表の各列の平方和になります。

多元配置実験と直交表実験の分散分析が等しい理由について,
You tubeで解説しています（後編）

例として、直交表\(L_{16} (2^{15})\)で解説します。

●直交表の水準数の表記方法はYou Tubeでも解説しています。(前編)

水準の数から1引いてください。それだけです。

交互作用A×Bの水準は、
因子Aの水準がa
因子Bの水準がb
とします。

(i)で水準の数を1引きますから、
因子Aの水準はa-1
因子Bの水準はb-1
です。

交互作用列の水準は、構成因子の水準の和を水準の数で割った余りとします。

交互作用A×Bの水準は、
Mod((a-1)+(b-1),2)となります。

具体的に、a=2,b=1とします。
Mod((a-1)+(b-1),2)=Mod((2-1)+(1-1),2)=Mod(1,2)
Mod(1,2)は1を2で割った余りなので1となり、交互作用A×Bの水準の数は1となります。

これを全交互作用列に対して計算しましょう。エクセルで簡単に計算できます。

(ii)の計算した水準の数は0からスタートしているので、すべて1を足してください。これで直交表の各行列の水準の数が求まりました。

交互作用の表記を×としますが、実際は水準の数を足して、水準系の数で割った余りを意味します。

この方法ですべての水準系の直交表の各行列の水準の数が自力で求めることができます。

●直交表の水準数の表記方法はYou Tubeでも解説しています。３水準系も必見！(後編)

以上、「【簡単】2水準の直交表のつくり方【必見】」を解説しました。