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「カイ2乗管理図って何？」と困っていませんか？　マニアックすぎて困ってない？　でもあるんです！紹介しますね。

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

と思いますが、あることはあります。折角なので解説します！必見ですよ！

• ①カイ２乗管理図とは
• ②カイ２乗管理図の描き方
• ③カイ２乗管理図のメリット、デメリット

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

①カイ２乗管理図とは

カイ２乗管理図がなぜ必要？

元々はp管理図やnp管理図で不良品、良品を管理しますが、「良か不良か」の2択しかありません。

中には、2択以上の複数選択をした管理図を作りたいニーズもあるでしょう。これをかなえるために作られたのが、カイ２乗管理図です。

カイ２乗管理図の数理

いろいろ疑問に思うでしょう。１つずつ解説します。

カイ２乗の式使うの？

次の式を使います。
●\(χ^2\)=\(\sum \frac{(実測値―期待値)^2}{期待値}\)

具体的に4つの階級がある場合は、
●\(χ^2\)=\(\frac{(r_A-\bar{r_A})^2}{\bar{r_A}}\)+\(\frac{(r_B-\bar{r_B})^2}{\bar{r_B}}\)
+\(\frac{(r_C-\bar{r_C})^2}{\bar{r_C}}\)+\(\frac{(r_D-\bar{r_D})^2}{\bar{r_D}}\)
となります。

中心、管理限界のCL,LCL,UCLはどう決めるの？

χ2乗分布と確率について下図のとおりです。

χ2乗分布表にて、自由度と確率点をみれば、χ2の値がわかります。
ただし、0.0027点や、1-0.0027点はχ2乗分布表では読み取れません。

Excelの関数を使って導出します。
●CHISQ.INV.RT(確率,自由度)で計算してくれます。
確率が1-0.0027で自由度が3の場合は、
●CHISQ.INV.RT(1-0.0027, 3)＝0.047
となります。ほぼ0ですね。

まとめると、

②カイ２乗管理図の描き方

データの用意

カイ2乗管理図と比較のためのpn管理図を作成します。

データは次の表のとおりです。

作る管理図

●4つの管理図を作ります。

np管理図を作る

●必要な値をそれぞれ求めます。表にまとめます。

●np管理図を描きましょう。

np管理図(1級)

np管理図(2級)

np管理図(3級)

カイ２乗管理図を作る

必要な値を求める。

●必要な値をそれぞれ求めます。表にまとめます。

まず、自由度は 1級、2級,3級の3つから１つ引いた、2です。
自由度2のカイ2乗分布を考えます。

●次に、データから各群のχ2を計算します。
例えば、群１の場合、
データが、174,10,16で、
それぞれの平均が170,10,20
です。

●\(χ^2\)=\(\frac{(r_A-\bar{r_A})^2}{\bar{r_A}}\)+\(\frac{(r_B-\bar{r_B})^2}{\bar{r_B}}\)
+\(\frac{(r_C-\bar{r_C})^2}{\bar{r_C}}\)
=\(\frac{(174-170)^2}{170}\)+\(\frac{(10-10)^2}{10}\)+\(\frac{(16-20)^2}{20}\)
=0.89
となります。
同様に群１から群10まで計算します。

●自由度2のχ2乗分布からLCL,CL,UCLを求めます。
◎LCL=CHISQ.INV.RT(1-0.0027,2)=0.0054
◎CL=CHISQ.INV.RT(0.5,2)=1.38
◎UCL=CHISQ.INV.RT(0.0027,2)=11.83
となります。

●結果を下表にまとめます。

●カイ２乗管理図を描きましょう。

③カイ２乗管理図のメリット、デメリット

カイ２乗管理図のメリット

くらいでしょうか？

カイ２乗管理図のデメリット

以上から、デメリットの方が多いため、有名にならないマニアックな管理図になってしまったかもしれません。

まとめ

カイ2乗管理図について、解説しました。

• ①カイ２乗管理図とは
• ②カイ２乗管理図の描き方
• ③カイ２乗管理図のメリット、デメリット

管理図

「移動平均と移動範囲の管理図って何？」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①移動平均と移動範囲のデータのとり方
• ②移動平均と移動範囲の管理図(\(\bar{x_s}- R_s\)管理図)の描き方
• ③\(\bar{x_s}- R_s\)管理図のメリット、デメリット

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

①移動平均と移動範囲のデータのとり方

平均移動とは？平均範囲とは？

言葉にすると非常にわかりにくいので下表で説明します。

●まず、データを用意します。Noごとに１つのデータxを測定します。

●次に、群分けの方法ですが、
次々と出て来るデータを、ある個数n個ずつ順にずらして群分けとあります。
n=3とすると、
●3個ずつ順にずらすので、
(i)１群目：１個目、２個目、３個目のデータ
(ii)2群目：2個目、3個目、4個目のデータ
(iii)3群目：3個目、4個目、5個目のデータ
…
と区分けしていくことです。

すると、次の表に変形できますね。

移動平均と移動範囲のデータのとり方

データを群内、群間の2軸にまとめ直します

上表の横方向のデータの作り方が、\(\bar{X}\)-R管理図と異なります。

②移動平均と移動範囲の管理図(\(\bar{x_s}-R_s\))理図)の描き方

\(\bar{x_s}-R_s\)管理図の注意点

\(\bar{x_s}-R_s\)管理図自体は、\(\bar{X}\)-R管理図と同じ描き方です。

\(\bar{x_s}-R_s\)管理図の描き方

元のデータを再掲します。

この表に、\(\bar{x_s}\)、\(\bar{\bar{x}}\)、\(R_s\)を追加します。

ここで、\(\bar{x_s}\)、\(\bar{\bar{x}}\)、\(R_s\)の計算方法を解説します。
●第１群の\(\bar{x_s}\)=(15+20+24)/3=19.67
(他の群も同様に計算)
●\(\bar{\bar{x}}\)=(15+20+24+23+15+18+11+12+19+14)/10=17.1
(群分けしない。データが重複しないため)
●第１群の\(R_s\)=(24-15)=9
(他の群も同様に計算)
また、
●\(\bar{R_s}\)=全群の\(R_s\)の平均
=7.375

\(\bar{x_s}\)管理図

●管理限界、LCL,UCLを計算します。
◎LCL=\(\bar{\bar{x}}-A_2 \bar{R_s}\)
=17.1-1.023×7.375
=9.56
◎UCL=\(\bar{\bar{x}}+A_2 \bar{R_s}\)
=17.1+1.023×7.375
=24.64

\(\bar{x_s}\)管理図のデータを下表にまとめます。

グラフは下図になります。

\(R_s\)管理図

●管理限界、LCL,UCLを計算します。
◎LCL=無しというか0
◎UCL=\(D_4 \bar{R_s}\)
=2.575×7.375
=18.99

\(\bar{x_s}管理図のデータを下表にまとめます。

グラフは下図になります。

管理図が完成しましたね。

③\(\bar{x_s}- R_s\)管理図のメリット、デメリット

\(\bar{x_s}- R_s\)管理図のメリット

どんなメリットがあるでしょうか？

\(\bar{x_s}- R_s\)管理図のデメリット

どんなデメリットがあるでしょうか？

まとめると、私の感触では、\(\bar{X}\)-R管理図ほど便利なものではない気がします。でも、こういう管理図も考えられることを知っておいてください。

まとめ

移動平均と移動範囲の管理図\(\bar{x_s}- R_s\)について、解説しました。

• ①移動平均と移動範囲のデータのとり方
• ②移動平均と移動範囲の管理図(\(\bar{x_s}- R_s\)管理図)の描き方
• ③\(\bar{x_s}- R_s\)管理図のメリット、デメリット

管理図

「複数に区分された欠点数を評価する管理図が作れない」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①複数に区分された欠点数を評価したい場合
• ②ポアソン分布と分散の加法性
• ③複数に区分された欠点数を評価する管理図の作り方

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

複数に区分された欠点数を評価したい場合

減点数のデータ

品質特性を調べるときに、「外観の傷などの欠点数」や「組立上の欠点」などを調べます。欠点の状態によって、いくつかの階級に分けて評価したい場合を考えます。

階級分けして評価する例

たとえば、

1. 致命的欠点(使用不可、ユーザに悪影響)
2. 重欠点(特性に欠陥があるが、修理可能)
3. 軽欠点(動作に問題ないが、気になる程度)
4. 微欠点(誤差範囲で問題無いレベル)

難しいですね。関西弁で書くと、

1. 絶対アカン！
2. ヤバい！
3. ちょっと気になるけど！
4. それくらい勘弁してよ！

などの、程度によって分けて評価することを考えます。基本的には、点数分けして区別するでしょう。

●合格点は70点以下とかにして、ある製品の欠点数が
◎致命的欠点は0つ
◎重欠点は１つ
◎軽欠点は１つ
◎微欠点は3つ
あった場合、評価点数は、
100×0+50×1+10×1+2×3=66点と70点以下のなので、出荷OKとするとか評価できますね。

では、階級別に点数化された評価点を管理図で管理することを考えます。

ポアソン分布と分散の加法性

欠点数はポアソン分布を活用

管理図は、3種類ありますね。

本記事は、欠点数を扱うので、ポアソン分布をベースに考えます。

階級別の欠点数はポアソン分布と分散の加法性を活用

仮定条件を設定

●1つの製品に、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳの4種の欠点の階級を考え、それぞれの階級にある欠点数はそれぞれ別々に以下のポアソン分布に従うと仮定します。

●上表の場合の製品の欠点数qは、
q=\(p_1 d_1\)+\(p_2 d_2\)+\(p_3 d_3\)+\(p_4 d_4\)
で具体例でいうと、
q=100×1+50×3+10×5+2×10=320
ですね。

欠点数合計の期待値、分散を導出

●欠点数合計qの期待値と分散を考えます。

●欠点数合計qの期待値\(μ_q\)=E[q]は、
\(μ_q\)=E[q]
= \(p_1\)E[\(d_1\)]+ \(p_2\)E[\(d_2\)]+ \(p_3\)E[\(d_3\)]+ \(p_4\)E[\(d_4\)]
=\(p_1\)\(m_1\)+ \(p_2\)\(m_2\)+ \(p_3\)\(m_3\)+ \(p_4\)\(d_4\)
になります。
欠点数dが変数になるので、E[\(d_i\)]⇒\(m_i\)と変形します。

●欠点数合計qの分散\(σ_q^2\)=V[q]は、
\(σ_q^2\)=V[q]
= \(p_1^2\)V[\(d_1\)]+ \(p_2^2\)V[\(d_2\)]+ \(p_3^2\)V[\(d_3\)]+ \(p_4^2\)V[\(d_4\)]
=\(p_1^2\)\(m_1\)+ \(p_2^2\)\(m_2\)+ \(p_3^2\)\(m_3\)+ \(p_4^2\)\(d_4\)
になります。

●期待値Eと分散Vの定義は、
E=\(\sum_{i} x_i f(x_i)\)
V=\(\sum_{i} x_i^2 f(x_i)\)
ですね。この定義どおり、立式するので、
期待値Eは\(p_i\)V[\(d_i\)]の和、
分散Vは\(p_i^2\)V[\(d_i\)]の和、
となります。

●ポアソン分布の期待値と分散は一致しますね。
つまり、平均が\(m_i\)なら、
期待値E =\(m_i\)V
分散V=\(m_i\)
と一致します。

減点数の管理図を作成

データ事例

次のデータを管理図に描きます。

管理図と管理限界の計算

１サンプルあたりの欠点数で評価します。c管理図を作成します。

まず、平均と管理限界を計算します。

欠点数合計の期待値、分散を導出

●期待値Eは
E=\(\sum_{i=1}^{4} p_i d_i\)/N
=251,214/20000=12.56

●分散Vは、サンプル数n=500を考慮して、
V=\(\sum_{i=1}^{4} \frac{p_i^2 d_i}{N}\)/n
=9,579,508/(20,000×500)=0.958
●標準偏差σは
σ=\(\sqrt{V}\)=0.979

管理図を作成

まとめると、

ここで１つ問題があります。⇒管理図がまだ描けない！

●例えば、月ごとの欠点数データを横軸にとって、管理すればよいでしょう。

次のような月ごとの欠点数データを取ります。

このデータと、期待値と標準偏差を使って管理限界を入れた管理図を作成します。

ポアソン分布と分散の加法性を活用して管理図を作る応用事例になります。

まとめ

ポアソン分布と分散の加法性を活用して管理図を作る方法を解説しました。

• ①複数に区分された欠点数を評価したい場合
• ②ポアソン分布と分散の加法性
• ③複数に区分された欠点数を評価する管理図の作り方

管理図

「2つのデータを管理図にするとき、何に注意すればよいかわからない」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①2つのデータの平均(期待値）と分散
• ②分散の加法性と検出力のバランスに注意
• ③計量値の管理図の注意点
• ④計数値の管理図の注意点は無い

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

①2つのデータの平均(期待値）と分散

2つのデータのそれぞれの平均(期待値)と分散

2つデータを用意します。それぞれ正規分布に従うと仮定します。
●データA：　平均E[\(x_A\)]=\(μ_A\)、分散V[\(x_A\)]=\(σ_A^2\)
●データB：　平均E[\(x_B\)]=\(μ_B\)、分散V[\(x_B\)]=\(σ_B^2\)

2つのデータの和、差したデータを合成

データA,Bをそれぞれ和、差すると、平均(期待値）と分散はいくらになるか？を考えます。分散の加法性を使えばよいですね。

●和A+Bの場合
◎平均E[\(x_A+x_B\)]= E[\(x_A\)]+ E[\(x_B\)]=\(μ_A\)+\(μ_B\)
◎分散V[\(x_A+x_B\)]= V[\(x_A\)]+ V[\(x_B\)]+2Cov(\(x_A\),\(x_B\))
(Covは共分散)
となります。公式どおりですね。

●差A-Bの場合
◎平均E[\(x_A-x_B\)]= E[\(x_A\)]- E[\(x_B\)]=\(μ_A\)-\(μ_B\)
◎分散V[\(x_A-x_B\)]= V[\(x_A\)]+V[\(x_B\)]-2Cov(\(x_A\),\(x_B\))
(Covは共分散)
となります。公式どおりですね。
差の場合の分散はV[\(x_A\)]–V[\(x_B\)]ではなく、V[\(x_A\)]+V[\(x_B\)]に注意が必要ですね。

●一般には定数a,bを使って以下のように表現できます。
◎平均E[\(ax_A±bx_B\)]= aE[\(x_A\)]±b E[\(x_B\)]=\(aμ_A\)±\(bμ_B\)
◎分散V[\(ax_A+bx_B\)]= \(a^2\)V[\(x_A\)]+\(b^2\) V[\(x_B\)]±2\(ab\)Cov(\(x_A\),\(x_B\))
(Covは共分散)
公式どおりですね。

●以下、共分散Covは無視して考えます。

まとめると、
◎平均E[\(x_A±x_B\)]= E[\(x_A\)]±E[\(x_B\)]=\(μ_A\)±\(μ_B\)
◎分散V[\(x_A+x_B\)]=V[\(x_A\)]+V[\(x_B\)]

これがどう管理図に影響するか、考えてみましょう。

②分散の加法性と検出力のバランスに注意

分散の加法性で注意すべきこと

●上図では、合成する前のデータは、管理限界3σと管理図係数表は一致するように管理図係数表の値は作られています。
しかし、管理図係数表の値は、サンプル数nに変化する値となっているため、データの合成による分散の加法性は加味されません。

もともと管理図に載せるデータは、合成データではなく、１つのデータを管理することを想定しています。

まとめると、

検出力の影響

データを合成すると、管理限界3σの方が、管理図係数表の値より大きくなるため、管理限界に入る確率が低下します。逆をいえば、管理限界を超える確率が増えます。

図のように、管理限界を超える部分が増えると赤色部がデータの一部しかかからないことがわかります。つまり、検出力が低下することがわかります。

③計量値の管理図の注意点

●計量値の管理図は、X管理図、R管理図、s管理図があります。それぞれ、管理限界は管理図係数表で決まっていますね。

管理図係数表の値の導出方法は、関連記事にあります。ご確認ください。

【重要】管理図(計量値)の変数の導出がわかる シューハートの管理図の計量値の各係数表の求め方を解説します。A,B,D,d2とかいっぱい変数がありますが、すべて期待値±倍数×標準偏差で表記できます。シューハートの管理図をマスターしたい方は必見です。

ここで、重要なのは、

つまり、データ合成前のデータだけ、管理図係数表の値が使えるわけです。

データ合成後のσ’を使って計量値の管理図を使いたい場合

JIS規格から離れて、自作の管理図になりますが、特に問題はありません。

管理したい対象と、異常の定義は管理図を管理する人が決めればよいです。JIS規格を活用することもできますが、JISどおりやる義務はありません。

④計数値の管理図の注意点は無い

二項分布、ポアソン分布の管理図の管理限界は標準偏差を使う

計数値においては、二項分布、ポアソン分布を仮定した管理図を作成します。

●二項分布の期待値Eと分散Vはそれぞれ、
E=np
V=np(1-p)
ですね。

●ポアソンの期待値Eと分散Vはそれぞれ、
E=c
V=c
ですね。ポアソン分布の確率密度関数は難しい式ですが、期待値と分散が同じとシンプルになるのが特徴的です。

計数値の管理図の管理限界はデータ合成も活用できる

●計量値の場合は、管理限界を決める係数は、管理図係数表から決まっています。しかし、サンプル数nだけ変化する値なので、データの合成には対応していません。

●一方、計数値の場合は、管理限界は自分のデータの標準偏差σで決めるので、データ合成した場合は、データ合成後の標準偏差σを使えばよいです。

まとめると、

データの状態や特徴によって、管理図や管理限界の作り方をよく考える必要があります。

まとめ

2つのデータを管理図にするときの注意点について解説しました。

• ①2つのデータの平均(期待値）と分散
• ②分散の加法性と検出力のバランスに注意
• ③計量値の管理図の注意点
• ④計数値の管理図の注意点は無い

管理図

管理図は「使えない、役に立たない、使い道がない」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

管理図を描くのは簡単ですが、
管理図は役に立たないと思う人も多いでしょう。

管理図の特性と注意点を解説します。

管理図は「使えない、役に立たない、使い道がない」と思う理由

次の４つがあると考えます。

1. 管理図のメリットが感じないから
2. 管理限界外があっても原因がわからないから
3. 異常があっても管理図ではわからない場合があるから
4. 管理図の評価と検査結果が一致しないから

それぞれの理由の背景と対策を解説します。

• ①管理図はそもそも必要なのか？
• ②管理限界外があっても原因がわからない
• ③異常があっても管理図ではわからない場合がある
• ④管理図の評価と検査結果が一致しない

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。

①管理図はそもそも必要なのか？

管理図の御利益を簡単に考えると、3つあります。

1. 管理図を描くと、工程異常がはっきりわかる
2. 長期間にわたりグラフ化すると、どこで異常が出たか？出やすいかがわかる
3. 異常時の処置方法や処置対応したかどうかチェックしやすい

毎日、同じモノを製造、購買しても、いろいろ変化します。
●そのモノの品質特性のばらつき
●担当者、機械、測定のばらつき
●天変地異、季節などの外的環境の変化
…

などを長期間、可視化できるツールを共有しておけば、異常時の処置、異常が起こるパターンなどがわかり、現場は冷静に判断できます。

管理図の管理初期は、管理図の価値があまり無いと感じやすいでしょうが、異常・事故・不適合に遭遇した場合、後から振り返るときに工程管理の観点から役立つツールになります。

②管理限界外があっても原因がわからない

これは、2つケースが考えられます。

1. 原因特定する風土が社内に無い
2. 管理図の描き方が良くない

原因特定する風土が社内に無い

管理図から異常があるのは明らかであるが、原因を特定しようとしないから、原因がわからない!場合です。

管理図ツールより、社内の問題です。

原因を特定しようと動かない理由

1. 責任と権限が不明確
2. 異常処置する風土が無い

上の2つを解決すれば、異常処置を社内で対処する動きが生まれます。ただし、これは２つやることがあります。

責任と権限を明確に与える

異常処置の担当者、責任者を明確化し、彼らに権限を与えることです。
処置をしなければならない強制力と、処置方法は彼らに任せる自由度を社内のトップが決めて、サポートすることが必要です。

トップの指示で担当者・責任者を任命し、社内規定・ルールにどの部門のどの役職者をアサインするかを明確化します。

まず、社内の仕組みができました。しかし、これだけでは、「やらされ感」満載なので、社員自ら異常処置する動機付けが必要です。

異常処置する風土を作る

やりたくないことをやりたくなるようにするにはどうすればよいか？を考えましょう

●まず、異常処置を対処するトップの姿勢がないと、誰も動きません。
●次に、やりたくないことなので、「褒める、評価する、成績に反映する」ことが大事ですね。
●そうすれば、社員のモチベーションアップにつながり、少しずつですが、異常処置への行動が加速されます。

管理図の描き方が良くない

●2つ問題があります。

1. データのまとめ方が良くない可能性
2. 層別の仕方が良くない可能性

データのまとめ方が良くない可能性

データのまとめ方が良くない可能性があります。縦軸、横軸の設定、全データのうち、どのデータをサンプリングして管理図に載せたのか？などをチェックしましょう。管理図の設計が妥当なのか？を担当者間で確認が必要です。

層別の仕方が良くない可能性

層別の仕方が良くない可能性があります。工程、工場、機械、人、日など層別する変数はいろいろありますが、どの変数で層別するかによって、管理限界線(LCL,UCL)の位置が変化するため、管理図の正常・異常の結果は変わります。いくつか管理図を作って、ターゲットとなる工程異常がわかりやすい変数で層別した方が良いでしょう。

③異常があっても管理図ではわからない場合がある

異常があるのに、管理限界外に飛び出さない理由は2つあります。

1. 第2種の誤りが数％あるので仕方がない
2. 管理図の管理限界幅が広い

第2種の誤り

これが、第２種の誤りですね。関連記事にも解説しています。

【必読】管理図の第1種の誤りと第2種の誤り(検出力)がわかる 管理図において、第1種の誤り、第２種の誤り、検出力の関係について説明できますか？本記事では、管理図から、第1種の誤り、第２種の誤り、検出力を求める方法を詳細に解説します。管理図をマスターしたい方は必見です。

管理図から異常が出ない場合は、他から異常が発見されることになります。第2種の誤りが確率として数％はあるため、仕方がないとして対処しましょう。

管理図の管理限界幅が広い

管理限界幅が広いと、異常となりにくいですね。各管理図の管理限界を決める変数は、群内のサンプル数nで変化するため、どのnがベストかを関係者で協議した方がよいでしょう。

なお、変数については関連記事をご覧ください。

【重要】管理図(計量値)の変数の導出がわかる シューハートの管理図の計量値の各係数表の求め方を解説します。A,B,D,d2とかいっぱい変数がありますが、すべて期待値±倍数×標準偏差で表記できます。シューハートの管理図をマスターしたい方は必見です。

④管理図の評価と検査結果が一致しない

よく、混同しますが、

工程が標準通りであれば、不良品が出ても、現場の責任でありません。製造、材料、設計、機械など他の原因を調べるべきです。

製品合格率が低下する原因の１つには、管理図からわかる工程管理の不備がありますが、管理図で検査結果はわかりません。

本記事の結論

まとめます。

• ①管理図はそもそも必要なのか？
  ⇒管理図のメリットを理解する
• ②管理限界外があっても原因がわからない
  ⇒異常処置するよう社内の活性化と管理図の設計が重要
• ③異常があっても管理図ではわからない場合がある
  ⇒第２種の誤りを考慮しつつ、管理図の設計を見直す
• ④管理図の評価と検査結果が一致しない
  ⇒管理図と品質検査は別物

まとめ

管理図は「使えない、役に立たない、使い道がない」と思ったら読むべき内容を解説しました。

• ①管理図はそもそも必要なのか？
• ②管理限界外があっても原因がわからない
• ③異常があっても管理図ではわからない場合がある
• ④管理図の評価と検査結果が一致しない

管理図

「工程が管理状態であるはどんな状態なのかがわからない」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①管理図における群内変動と群間変動
• ②群間変動\(σ_b^2\)=0の場合(工程が管理状態)
• ③群内変動\(σ_w^2\)=0の場合
• ④全分散\(σ^2\)=0の場合

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。

①管理図における群内変動と群間変動

管理図では、データを
●群単位で小分けし、群間データを管理
●群内のデータを管理
の２つが必要です。

上の式の導出は、関連記事に詳しく解説しています。

【必読】管理図の分散σ(x)とσ(xbar)の違いがわかる(群内変動と群間変動) 管理図において、群内変動と群間変動の分散の導出方法がわかりますか？ 本記事では、Xbarの分散公式とXの分散公式の違いや、公式の導出方法を平方和、実験計画法を活用して導出します。単なる公式の丸暗記に頼らず自力導出できることが重要です。

分散のポイント

①データの構造式
●\(x_{ij}-\bar{\bar{x}}\)=(\(x_{ij}-\bar{x_{i・}}\))+(\(\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}}\))
と分割すると、
②平方和の分解
●\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b}(x_{ij}-\bar{\bar{x}})^2\)
=\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} (x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} (\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)
が成り立つ。
③分散の分解
それぞれ両辺をabで割ると、
●\(σ^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)
が成り立つ。

②群間変動\(σ_b^2\)=0の場合(工程が管理状態)

群間変動\(σ_b^2\)=0になるデータとは、どんなデータか？

ちょっと考えてみましょう。

●群間のずれが無いデータを考える
●\(\sum_{i} \sum_{j} (\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)≡\(σ_b^2\)ですから、
　2乗和=0なら、すべてのiについて\(\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}}\)=0ですね。
つまり、\(\bar{x_{i・}}\)=\(\bar{\bar{x}}\)となるデータですね。

イメージ付きましたか？

群間変動\(σ_b^2\)=0になるデータ例

例えば、次のようなデータが挙げられます。

縦方向が群間、横方向が群内です。
横方向はデータがばらついても、合計値はどの群でも同じ14となる場合です。

確かに、黄色枠のように
\(\bar{x_i}\)と\(\bar{\bar{x}}\)の値が3.5で一致しますが、
範囲Rは群ごとに異なる値となっています。

群間変動\(σ_b^2\)=0になる場合を管理図で確認

\(\bar{X}\)管理図とR管理図を描きます。

\(\bar{X}\)管理図は各群の値が一定であるが、
R管理図は各群でばらつきがある

実際は、\(\bar{X}\)管理図は各群の値が一定にはなりませんから、若干のばらつきがある程度まで、ばらつきを抑えることが管理状態であるというのでしょう。

③群内変動\(σ_w^2\)=0の場合

群内変動\(σ_w^2\)=0になるデータとは、どんなデータか？

ちょっと考えてみましょう。

●群内のずれが無いデータを考える
●\(\sum_{i} \sum_{j} (x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)≡\(σ_w^2\)ですから、
　2乗和=0なら、すべてのjについて\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})\)=0ですね。
つまり、\(x_{ij}\)=\(\bar{x_{i・}}\)となるデータですね。

イメージ付きましたか？

群内変動\(σ_w^2\)=0になるデータ例

例えば、次のようなデータが挙げられます。

縦方向が群間、横方向が群内です。
縦方向はデータがばらついても、横の値はすべて同じとなる場合です。

各群の範囲Rの値が0となっています。

群内変動\(σ_w^2\)=0になる場合を管理図で確認

\(\bar{X}\)管理図とR管理図を描きます。

\(\bar{X}\)管理図は各群で値がばらつくが、
R管理図は各群で０である

群内変動が無いのは理想状態ですが、考えることは大事ですね。

④全分散\(σ^2\)=0の場合

●\(σ^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)=0
で各項は0以上ですから、
●\(σ^2\)=0
●\(σ_w^2\)=0
●\(σ_b^2\)=0
ですね。

全分散\(σ^2\)=0になるデータとは、どんなデータか？

端的に言えば、
全部同じ値になります。

全分散\(σ^2\)=0になるデータ例

例えば、次のようなデータが挙げられます。

全分散\(σ^2\)=0になる場合を管理図で確認

\(\bar{X}\)管理図とR管理図を描きます。

\(\bar{X}\)管理図も、R管理図は一定値である。

全分散が無いのは理想状態ですが、考えることは大事ですね。

管理状態になるとは、管理図でどうなるのかについて解説しました。

まとめ

管理図で「工程が管理状態である」状態を、実データを見ながら解説しました。

• ①管理図における群内変動と群間変動
• ②群間変動\(σ_b^2\)=0の場合(工程が管理状態)
• ③群内変動\(σ_w^2\)=0の場合
• ④全分散\(σ^2\)=0の場合

管理図

「u管理図の欠点数の差を検定せよと聞かれたけど、どうやって解くかわからない」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①不良率の差の検定事例
• ②正規分布を使った検定統計量で不良率の差の検定を解く

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定®１級合格しましたが、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

●検定と推定に自信がない場合は関連記事で演習しましょう。何度も解けば身に付きます。

計数値データの検定と推定の演習問題【QC検定®2級対策】 QC検定®2級で必ず出題される計数値に関する検定と推定の演習問題とその解法を解説します。検定から推定区間まで5分以内に解けるための流れとテクニックについて解説します。QC検定®2級合格したい方は必見です。さっと解けるか？チェックしてください。

●You tube動画でも解説しています。ご確認ください。

①不良率の差の検定事例

事例問題

次の問いを考えます。管理図から検定・推定につなぐ重要な応用問題としてとらえてください。QC検定®１級、QC検定®２級で出題されてもよい良問です。

演習問題

u管理図を作成

あまり見かけない管理図ですが、作れ！と言われてもあわてないようにしっかりおさえましょう。

必要な値を計算します。
●全体平均\(\bar{u}\)=377/370=1.02
●LCL=\(\bar{u}\)-3\(\sqrt{\frac{\bar{u}}{n_i}}\)
●UCL=\(\bar{u}\)+3\(\sqrt{\frac{\bar{u}}{n_i}}\)
ここで、分母の\(n_i\)は群のサンプルの大きさなので、各群によってLCL、UCLの値が変化します。

●LCL,UCLの値を表にまとめます。

u管理図を作成します。

なお、Ａ，Ｂの違いがわかるようにu管理図を分けてみます。

差がありそうですよね！

AとBの違いを検定しましょう。

正規分布を使った検定統計量で不良率の差の検定を解く

検定統計量

教科書に絶対ある式なので、使いこなせてください。

代入しましょう。各値は、
●\(λ_A\)=(群A：傷の数の総和\(T_A\))/(群Aの総和\(n_A\))
=103/120=0.858
●\(λ_B\)=(群B：傷の数の総和\(T_B\))/(群Bの総和\(n_B\))
=274/250=1.096
●λ=\(\frac{T_A+T_B}{n_A+n_B}\)
=\(\frac{103+274}{120+250}\)
=1.019

よって、検定統計量uは
u=\(\frac{λ_A-λ_B}{λ(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}\)
=\(\frac{0.858-1.096}{1.019×(\frac{1}{120}+\frac{1}{250})}\)
=-2.12

u=|-2.12|=2.12 < 1.96=u(0.05)より
AとBの不良率に差があると言えるとなります。

u管理図と、欠点数の差の検定をまとめた応用事例を解説しました。

まとめ

u管理図の欠点数の差を検定する方法を解説しました。

• ①不良率の差の検定事例
• ②正規分布を使った検定統計量で不良率の差の検定を解く

管理図

「p管理図で不良率の差を検定せよと聞かれたけど、どうやって解くかわからない」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①不良率の差の検定事例
• ②正規分布を使った検定統計量で不良率の差の検定を解く
• ③χ2乗分布を使った検定統計量で不良率の差の検定を解く

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定®１級合格しましたが、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

●検定と推定に自信がない場合は関連記事で演習しましょう。何度も解けば身に付きます。

計数値データの検定と推定の演習問題【QC検定®2級対策】 QC検定®2級で必ず出題される計数値に関する検定と推定の演習問題とその解法を解説します。検定から推定区間まで5分以内に解けるための流れとテクニックについて解説します。QC検定®2級合格したい方は必見です。さっと解けるか？チェックしてください。

①不良率の差の検定事例

事例問題

次の問いを考えます。管理図から検定・推定につなぐ重要な応用問題としてとらえてください。QC検定®１級で出題されてもよい良問です。

演習問題

(1)(2)は基本問題で、(3)が本記事のメイン問題となります。

p管理図を作成

必要な値を計算します。
●全体平均\(\bar{p}\)=0.06
●LCL=\(\bar{p}\)-3\(\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}}\)
=0.06-3\(\sqrt{\frac{0.06×(1-0.06)}{50}}\)
=-0.041
●UCL=\(\bar{p}\)+3\(\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}}\)
=0.06+3\(\sqrt{\frac{0.06×(1-0.06)}{50}}\)
=0.161

p管理図を作成します。

なお、Ａ，Ｂの違いがわかるようにp管理図を分けてみます。

差がありそうですよね！

AとBの違いを検定しましょう。

正規分布を使った検定統計量で不良率の差の検定を解く

検定統計量

教科書に絶対ある式なので、使いこなせてください。

代入しましょう。各値は、
●\(p_A\)=0.0824
●\(p_B\)=0.0376
●\(\bar{p}\)=0.06
●\(N_A\)=2500
●\(N_B\)=2500

よって、検定統計量uは
u=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_B})}}\)
=\(\frac{0.0824-0.0376}{\sqrt{0.06×(1-0.06)(\frac{1}{2500}+\frac{1}{2500})}}\)
=6.67

u=6.67 < 1.96=u(0.05)より
AとBの不良率に差があると言えるとなります。

χ2乗分布を使った検定統計量で不良率の差の検定を解く

検定統計量の復習

教科書の定番である、分割表を使った検定で、χ2乗分布を使います。

分割表は下表ですね。

ところで、なぜ分割表の検定に、関係なさそうなχ2乗分布を使うのか説明できますか？わからない時は関連記事で確認しましょう。

【6】分割表(χ2乗分布)に関する検定【QC検定®2級対策】 QC検定®2級で頻出な、分割表に関する検定と推定の解法を解説します。検定から推定区間まで5分以内に解けるための流れとテクニックについて解説します。QC検定®2級合格したい方は必見です。

検定統計量を計算

今回は、検定統計量を変形したバージョンで解いてみましょう。

もう一度、分割表を描きます。

検定統計量は、

この式の導出は、別途関連記事で紹介します。

関連記事

各値について分割表に代入して確認します。

代入しましょう。各値は、
●a=206
●b=2294
●c=94
●d=2406
●N=5000

よって、検定統計量は
\(χ^2\)=\(\frac{N(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)
=\(\frac{5000(206×2406-2294×94)^2}{(206+2294)(94+2406)(206+94)(2294+2406)}\)
=44.48

\(χ^2\)=44.48 < 3.81=\(χ^2\)(1,0.05)より
AとBの不良率に差があると言えるとなります。

分割表の自由度の導出

分割表から考える方法

ここで、分割表にて、自由度が1になる理由も説明できますか？関連記事に書いていますね。

【6】分割表(χ2乗分布)に関する検定【QC検定®2級対策】 QC検定®2級で頻出な、分割表に関する検定と推定の解法を解説します。検定から推定区間まで5分以内に解けるための流れとテクニックについて解説します。QC検定®2級合格したい方は必見です。

いくつかの解法を使って比較すると理解が深まりますね。

まとめ

p管理図で、不良率の差を検定する方法を解説しました。

• ①不良率の差の検定事例
• ②正規分布を使った検定統計量で不良率の差の検定を解く
• ③χ2乗分布を使った検定統計量で不良率の差の検定を解く

管理図

「管理図で平均値Xbarの差を検定せよと聞かれたけど、どうやって解くかわからない」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①平均値Xbarの差の検定事例
• ②t分布を使った検定統計量で母平均差の検定で解く
• ③正規分布と管理図係数を使った検定統計量で母平均差の検定で解く
• ④t分布、正規分布から作った検定統計量は同値である証明

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。

①平均値Xbarの差の検定事例

事例問題

次の問いを考えます。管理図から検定・推定につなぐ重要な応用問題としてとらえてください。良問です。

演習問題

(1)(2)は基本問題で、(3)が本記事のメイン問題となります。

\(\bar{X}\)-R管理図を作成

(i)AB全体の場合

●\(\bar{X}\)管理図について、
◎\(\bar{\bar{X}}\)=1.256
◎\(\bar{R}\)=3.56
◎LCL=\(\bar{\bar{X}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R}\)
=1.256-0.577×3.56=-0.798
◎UCL=\(\bar{\bar{X}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R}\)
=1.256+0.577×3.56=3.31

●R管理図について、
◎\(\bar{R}\)=3.56
◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R}\)
=2.114×3.56=7.53

(ii)Aだけの場合

●\(\bar{X}\)管理図について、
◎\(\bar{\bar{X_A}}\)=0.59
◎\(\bar{R_A}\)=3.6
◎LCL=\(\bar{\bar{X_A}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R_A}\)
=0.59-0.577×3.6=-1.49
◎UCL=\(\bar{\bar{X_A}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R_A}\)
=0.59+0.577×3.6=2.66

●R管理図について、
◎\(\bar{R_A}\)=3.6
◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R}\)
=2.114×3.6=7.61

(iii)Bだけの場合

●\(\bar{X_B}\)管理図について、
◎\(\bar{\bar{X_B}}\)=2.26
◎\(\bar{R_B}\)=3.5
◎LCL=\(\bar{\bar{X_B}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R_B}\)
=2.26-0.577×3.5=0.24
◎UCL=\(\bar{\bar{X_B}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R_B}\)
=2.26+0.577×3.5=4.28

●R管理図について、
◎\(\bar{R_B}\)=3.5
◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R_B}\)
=2.114×3.5=7.40

管理図をまとめると、A,Bの違いが見やすくなります。

AとBの違いを検定しましょう。

②t分布を使った検定統計量で母平均差の検定で解く

検定統計量

t分布を使った検定統計量で２つの母平均差の検定をする場合は、
t分布：t=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V_A}{N_A}+\frac{V_B}{N_B}}}\)
ですね。おなじみの式です。なお、
tはt分布、自由度φ=\(N_A\)+\(N_B\)-1とします。

検定統計量を計算

各値を算出します。
●平均値：\(\bar{X_A}\)=0.59
●平均値：\(\bar{X_B}\)=2.26
●分散：\(\bar{V_A}\)=2.38
●分散：\(\bar{V_B}\)=2.23
●自由度：\(\bar{N_A}\)=75
●自由度：\(\bar{N_B}\)=50

これを検定統計量に代入します。
t=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V_A}{N_A}+\frac{V_B}{N_B}}}\)
=\(\frac{|0.59-2.26|}{\sqrt{\frac{2.38}{15}+\frac{2.23}{10}}}\)
=7.56

検定結果

●t(φ、α)=t(75+50-1,0.05)=1.98
と比較すると
t=7.56 > 1.98
より、有意差があると言えます。

以上より、管理図から有意差を検定する検定問題の応用パターンを解説しました。
でも、これだけだと、別に記事にすることはありません。

③正規分布と管理図係数を使った検定統計量で母平均差の検定で解く

古書の紹介

1960年出版の「品質管理教程　管理図」P226,P287をベースに解説します。

そのため、QCプラネッツでは、古書の優れた理論をわかりやすく解説し、今の時代に合った内容に解説しています。

古書の解法を紹介します。
\(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\) ≥ \(A_2\bar{R} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}\)

正規分布から導出した検定統計量で解く

式は、
\(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\) ≥ \(A_2\bar{R} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}\)
です。

●各値は
●平均値：\(\bar{X_A}\)=0.59
●平均値：\(\bar{X_B}\)=2.26
●管理図係数：\(A_2\)=0.577
●範囲の平均：\(\bar{R}\)=\(\frac{k_A \bar{R_A}+k_B \bar{R_B}}{k_A+k_B}\)
=\(\frac{15×3.6+10×3.5}{15+10}\)=3.56
●群の数：\(\bar{k_A}\)=15
●群の数：\(\bar{k_B}\)=10

よって、検定は
●(左辺)=\(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\)=2.26-0.59=1.67
●(右辺)=0.577×3.56×\( \sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{10}}\)=0.839
と
(左辺) > (右辺)が成り立つので、
有意差があると言えます。

t分布で計算した母平均の差の検定と同じ結果になりましたね。

④t分布、正規分布から作った検定統計量は同値である証明

証明方法は、次の２つです。

1. t分布を使った検定統計量から出発
2. t分布から正規分布を使った検定統計量に変更

t分布を使った検定統計量から出発

まず、t分布を使った検定統計量を用意します。

ここで、各値を定義します。
●Aの全自由度：\(\bar{N_A }\)=\(\bar{k_A }\)×\(\bar{n_A }\)
●Bの全自由度：\(\bar{N_B }\)=\(\bar{k_B }\)×\(\bar{n_B }\)
●群Aの数：\(\bar{k_A }\)
●群Bの数：\(\bar{k_B }\)
●群Aの群内自由度：\(\bar{n_A }\)
●群Bの群内自由度：\(\bar{n_B }\)
●分散A：\(\bar{V_A}\)
●分散B：\(\bar{V_B}\)

さらに、\(\bar{n_A }\)=\(\bar{n_B}\)=n、\(\bar{V_A}\)=\(\bar{V_B}\)=Vとすると、
t=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V_A}{N_A}+\frac{V_B}{N_B}}}\)
=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V}{n}} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}}\)
と変形できます。

また、
\(σ_A \)=\(σ_B \)=σとして、不偏分散\(\sqrt{V}\)=\(\frac{\bar{R}}{d_2}\)とできたら、t分布は正規分布に置き換えることができます。

t分布から正規分布を使った検定統計量に変更

t分布から正規分布の検定統計量の式に変えます。

●t=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V}{n}} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}}\)
⇒
●u=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{ \frac{\bar{R}}{d_2 \sqrt{n}} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}}\)

ここで、uについては3σで検定するので、u=3を代入します。
●3=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{ \frac{\bar{R}}{d_2 \sqrt{n}} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}}\)

両辺を整理します。
\(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\)=\(\frac{3\bar{R}}{d_2 \sqrt{n}} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}\)

管理図係数\(A_2\)は、
\(A_2\)=\(\frac{3}{d_2 \sqrt{n}}\)より、まとめると、
\(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\)=\( A_2 \bar{R} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}\)
から、検定統計量が一致することがわかりますね。

いくつかの解法を使って比較すると理解が深まりますね。

まとめ

管理図で、平均値Xbarの差を検定する方法を解説しました。

• ①平均値Xbarの差の検定事例
• ②t分布を使った検定統計量で母平均差の検定で解く
• ③正規分布と管理図係数を使った検定統計量で母平均差の検定で解く
• ④t分布、正規分布から作った検定統計量は同値である証明

管理図

「R管理図で範囲Rの平均の差を検定せよと聞かれたけど、どうやって解くかわからない」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①範囲Rの平均差の検定事例
• ②２つの母平均差の検定で解く
• ③(参考)特殊な表を使ってF検定で解く

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

①範囲Rの平均差の検定事例

事例問題

次の問いを考えます。管理図から検定・推定につなぐ重要な応用問題としてとらえてください。良問です。

演習問題

(1)(2)は基本問題で、(3)が本記事のメイン問題となります。

\(\bar{X}\)-R管理図を作成

(i)AB全体の場合

●\(\bar{X}\)管理図について、
◎\(\bar{\bar{X}}\)=1.256
◎\(\bar{R}\)=3.56
◎LCL=\(\bar{\bar{X}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R}\)
=1.256-0.577×3.56=-0.798
◎UCL=\(\bar{\bar{X}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R}\)
=1.256+0.577×3.56=3.31

●R管理図について、
◎\(\bar{R}\)=3.56
◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R}\)
=2.114×3.56=7.53

(ii)Aだけの場合

●\(\bar{X}\)管理図について、
◎\(\bar{\bar{X_A}}\)=0.59
◎\(\bar{R_A}\)=3.6
◎LCL=\(\bar{\bar{X_A}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R_A}\)
=0.59-0.577×3.6=-1.49
◎UCL=\(\bar{\bar{X_A}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R_A}\)
=0.59+0.577×3.6=2.66

●R管理図について、
◎\(\bar{R_A}\)=3.6
◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R}\)
=2.114×3.6=7.61

(iii)Bだけの場合

●\(\bar{X_B}\)管理図について、
◎\(\bar{\bar{X_B}}\)=2.26
◎\(\bar{R_B}\)=3.5
◎LCL=\(\bar{\bar{X_B}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R_B}\)
=2.26-0.577×3.5=0.24
◎UCL=\(\bar{\bar{X_B}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R_B}\)
=2.26+0.577×3.5=4.28

●R管理図について、
◎\(\bar{R_B}\)=3.5
◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R_B}\)
=2.114×3.5=7.40

管理図をまとめると、A,Bの違いが見やすくなります。

AとBの違いを検定しましょう。

②２つの母平均差の検定で解く

検定統計量

２つの母平均差の検定をする場合の検定統計量は、
t=\(\frac{\bar{R_B}-\bar{R_A}}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}}+\frac{V_2}{n_2}}\)
ですね。おなじみの式です。なお、
tはt分布、自由度φ=\(n_1\)+\(n_2\)-1とします。

検定統計量を計算

各値を算出します。
●範囲：\(\bar{R_A}\)=3.6
●範囲：\(\bar{R_B}\)=3.5
●分散：\(\bar{V_A}\)=2.38
●分散：\(\bar{V_B}\)=2.23
●自由度：\(\bar{n_A}\)=15
●自由度：\(\bar{n_B}\)=10

これを検定統計量に代入します。
t=\(\frac{\bar{R_A}-\bar{R_B}}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}}+\frac{V_2}{n_2}}\)
=\(\frac{3.6-3.5}{\sqrt{\frac{184.187}{15}}+\frac{113.62}{10}}\)
=0.34

検定結果

●t(φ、α)=t(15+10-1,0.05)=2.06
と比較すると
t=0.34 > 2.06
より、有意差が無いと言えます。

以上より、管理図から有意差を検定する検定問題の応用パターンを解説しました。
でも、これだけだと、別に記事にすることはありません。

③(参考)特殊な表を使ってF検定で解く

古書の紹介

1960年出版の「品質管理教程　管理図」P226,P285をベースに解説します。

そのため、QCプラネッツでは、古書の優れた理論をわかりやすく解説し、今の時代に合った内容に解説しています。

古書の解法を紹介します。古書の解法

次の6点で解いていきます。

1. \(\frac{\bar{R_A}}{c_A}\)=\(V_A\) (不偏分散)なる\(c_A\)を特殊な表から導出
2. \(c_A\)は群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
3. \(V_A\) (不偏分散)を計算
4. 自由度\(φ_A\)を群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
5. Bについても同様に計算して、\(V_B\),\(φ_B\)を計算
6. \(V_A\)と\(V_B\)の比からF検定を実施

群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表

これも、古書「森口繁一　品質管理(1953) P282」に書いていますが、導出方法はわかりません。なので、今はこの解法を推奨しません。

特殊な表は下表にまとめます。

F検定で解く

古書の解法で解いてみましょう。
次の6点で解いていきます。

1. \(\frac{\bar{R_A}}{c_A}\)=\(V_A\) (不偏分散)なる\(c_A\)を特殊な表から導出
2. \(c_A\)は群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
3. \(V_A\) (不偏分散)を計算
4. 自由度\(φ_A\)を群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
5. Bについても同様に計算して、\(V_B\),\(φ_B\)を計算
6. \(V_A\)と\(V_B\)の比からF検定を実施

●各値は
●範囲：\(\bar{R_A}\)=3.6
●範囲：\(\bar{R_B}\)=3.5
●\(\bar{C_A}\)=2.33 (n=5,k=15のcの値)
●\(\bar{C_B}\)=2.34 (n=5,k=10のcの値)
●自由度：\(φ_A\)=54.6 (n=5,k=15のφの値)
●自由度：\(φ_B\)=36.5 (n=5,k=10のφの値)
●分散：\(\bar{V_A}\)=\((\frac{\bar{R_A}}{c_A})^2\)
=\((\frac{3.6}{2.33})^2\)
=2.39
●分散：\(\bar{V_B}\)=\((\frac{\bar{R_B}}{c_B})^2\)
=\((\frac{3.5}{2.34})^2\)
=2.24

よって、F検定は
F(\(φ_A\),\(φ_B\),α)= \(\bar{V_A}\)/\(\bar{V_B}\)
=1.07
なお、F(\(φ_A\),\(φ_B\),α)= F(54.6,36.5,0.05)ですが、
自由度は自然数なので、F検定表から近い値を使います。
それは、F(60,40,0.05)=1.64
を使います。

●F=1.07 > 1.64
より、有意差は無いという結果がでます。

t分布で計算した母平均の差の検定と同じ結果になりましたね。

いくつかの解法を使って比較すると理解が深まりますね。

まとめ

R管理図で、平均差を検定する方法を解説しました。

• ①範囲Rの平均差の検定事例
• ②２つの母平均差の検定で解く
• ③(参考)特殊な表を使ってF検定で解く

管理図