投稿者: QCプラネッツ

「直交表を使ったロバストパラメータ設計ができない」などと困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

おさえておきたいポイント

• ①パラメータ設計にはどの直交表を使っても良い
• ➁実験計画法の復習
• ➂直交表L16を使ったパラメータ設計事例
• ➃SN比と感度の計算
• ➄最適条件の選定

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品質工学、ロバストパラメータ設計、タグチメソッド
結局わからない！
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①パラメータ設計にはどの直交表を使っても良い

品質工学、ロバストパラメータ設計、タグチメソッドで扱う直交表について疑問に思うことが2つあります。

1. 「品質工学＝混合系直交表」じゃないとダメなのか？
2. 「品質工学≠実験計画法」は正しいのか？

「品質工学＝混合系直交表」は正しいのか？

品質工学、ロバストパラメータ設計、タグチメソッドって、最初から、特殊な直交表L12,L18が出て来ます。その理由は

でも、これが意味わからないんですよ！

データは様々な要因が絡み合って数値化されます。であれば、ナチュラルに主効果、交互作用を含めて検討しても良いと考えます。

「品質工学≠実験計画法」は正しいのか？

同じ直交表を使うのに、

これもピンと来ません。同じで良いではないかと！

で、おかしい結果になるか確かめてみましょう。

品質工学に一般の直交表を使ってみる

ＱＣプラネッツは長年にわたりこの疑問を抱いていましたので、実際に
●L8
●L16(本記事)
●L27
と混合系の
●L12
●L18
を取り上げてみます。

➁実験計画法の復習

ＱＣプラネッツは
品質工学＝実験計画法　という考えなので、
まず実験計画法を復習しましょう。

関連記事で、確認ください。

究める！実験計画法 QCプラネッツが解説する究める実験計画法。多くの教科書がある中、勉強してもどうしても分からない、苦労している難解な箇所をすべて解説します。多元配置実験、乱塊法、分割法、直交表などなど多くの手法を個別に公式暗記せず、データの構造式をみればすべて導出できる新しい実験計画法を解説します。

直交表L16の分散分析・区間推定が解ける【必見】 実験計画法の、直交表L16の分散分析、分散の期待値の導出、主効果・交互作用の区間推定の導出ができますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事は、直交表L16の分散分析、分散の期待値の導出、区間推定の導出を解説します。分散分析、期待値の導出、区間推定をマスターしたい方は必見です。

➂直交表L16を使ったパラメータ設計事例

事例

次の問いを考えます。

直交表L16

各因子の平方和と分散分析を解析

直交表L16は2水準系なので、各列の平方和を計算する公式があります。関連記事で解説しています。

【本記事限定】直交表の各列の平方和の式は自力で導出できる【必見】 直交表の各列の平方和を導出する方法を知っていますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事では、実験計画法の直交表の各列の平方和を導出する方法を詳しく解説します。本記事しか書いていない、直交表の知見を広げたい方は必見です。

これをもとに各列の平方和を計算すると、下表になります。

●分散分析表

データの構造式

分散分析を扱うための最も重要なデータの構造式を定義します。今回は全列を成分に合わせた効果とするので、

\(x_{ijkl}\)=\(μ\)+\(a_i\)+\(b_j\)+\(c_k\)+\(d_l\)
+\(ab_{ij}\)+\(ac_{ik}\)+\(ad_{il}\)+\(bc_{jk}\)+\(bd_{jl}\)+\(cd_{kl}\)
+\(abc_{ijk}\)+\(abd_{ijl}\)+\(acd_{ikl}\)+\(bcd_{jkl}\)+\(e_{ijkl}\)
(\(i,j,k,l=1,2\))

➃SN比と感度の計算

SN比と感度Sの公式

関連記事にも公式導出過程を解説しています。

品質工学のSN比が導出できる 品質工学のSN比の式 η=10log (Sm-Ve)/Veがちゃんと導出できますか？ 本記事はSN比を導出します。公式暗記に頼らず、式変形から意味を理解して、式を使うようにしましょう。

●SN比ηは
η=10\(log \frac{μ^2}{σ^2}\)=10\(log \frac{\frac{1}{n}(S_m-V_e)}{V_e}\)

●感度Sは
S=10\(log μ^2\)=10\(log \frac{1}{n}(S_m-V_e)\)

ですが、今回簡略化のため、

●SN比ηは
η=\(\frac{μ^2}{σ^2}\)=\(\frac{\bar{x}^2}{s^2}\) (\(s\)は標準偏差)

●感度Sは
S=\(μ^2\)=\(\bar{x}^2\)
で計算します。

各効果の各水準における平均\(\bar{x}\)と標準偏差\(s\)

各効果の水準１，２に属するデータの平均と標準偏差を計算すると下表になります。

例えば、因子Aにおいて、
●水準１：35,29,48,31,44,39,43,39
●水準２：42,27,42,40,40,47,53,43
なので、それぞれ８個の平均と標準偏差を計算します。

それを因子Aから誤差eまでの15列分を計算します。

直交表L16の各列のSN比と感度

●SN比ηは
η=\(\frac{μ^2}{σ^2}\)=\(\frac{\bar{x}^2}{s^2}\) (\(s\)は標準偏差)

●感度Sは
S=\(μ^2\)=\(\bar{x}^2\)
で計算すると、下表になります。

よく 対数を取ってSN比や感度Sの値を計算しますが、別になくてもOKなので、対数にしていません。

要因効果図があると見やすいですが、数表からも確認できるので、割愛します。

➄最適条件の選定

ここで、因子A,B,Cの水準の高い方を選択します。

\(μ(A_i B_j C_k)\)の式を先に作ります。

関連記事で解説しています。

【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読) 実験計画法が難しい、多元配置実験、乱塊法、分割法、などたくさんの手法を学ぶのが大変など困っていませんか？本記事では、データの構造式さえ理解すれば実験計画法がすぐマスタできるように、わかりやすく解説します。早く実験計画法をマスターした方は必見です。

\(μ(A_i B_j C_k)\)
=\(μ\)+\(a_i\)+\(b_j\)+\(c_k\)+\(ab_{ij}\)+\(ac_{ik}\)+\(bc_{jk}\)+\(abc_{ijk}\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_{i・・・}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{・・j・}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{・・k・}}-\bar{\bar{x}}\))+\((\bar{x_{ij・・}}-\bar{x_{i・・・}}-\bar{x_{・j・・}}+\bar{\bar{x}})\)+\((\bar{x_{i・k・}}-\bar{x_{i・・・}}-\bar{x_{・・k・}}+\bar{\bar{x}})\)+\((\bar{x_{・jk・}}-\bar{x_{・j・・}}-\bar{x_{・k・・}}+\bar{\bar{x}})\)+\((\bar{x_{ijk・}}-\bar{x_{ij・・}}-\bar{x_{i・k・}}-\bar{x_{・jk・}}\)+\(\bar{x_{i・・・}}+\bar{x_{・j・・}}+\bar{x_{・・k・}}-\bar{\bar{x}}\))
=\((\bar{x_{ijk・}}-\bar{\bar{x}}\))
=(\(\widehat{μ+a_i+b_j+c_k}\))-\(μ\)
とすっきりした式になります。

暗記不要で、データの構造式からどんな組み合わせパターンも式が作れます！

●SN比において、
A,B,Cで値のSN比が大きい水準をみると
ABC_1なので、
\(μ(A_ i B_j C_k)\)= (\(\widehat{μ+abc_1}\))-\(μ\)
=52.79-40.014=12.776

●感度において、
A,B,Cで値の感度が大きい水準をみると
ABC_2なので、
\(μ(A_ i B_j C_k)\)= (\(\widehat{μ+abc_2}\))-\(μ\)
=1671.17-1613.235=57.93

と計算できました。

直交表L16を使って、SN比、感度の計算を実施しました。

まとめ

「直交表L16を使ったパラメータ設計がわかる」を解説しました。

• ①パラメータ設計にはどの直交表を使っても良い
• ➁実験計画法の復習
• ➂直交表L16を使ったパラメータ設計事例
• ➃SN比と感度の計算
• ➄最適条件の選定

ロバストパラメータ設計

「品質工学のSN比、感度Sが導出できない」などと困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

おさえておきたいポイント

• ①品質工学のSN比
• ➁品質工学のSN比が導出できる
• ➂品質工学の感度Sが導出できる

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【QC検定®合格】「品質工学」問題集を販売します！　単なる公式の代入ではなく、平方和の分解や実験計画法を駆使して品質工学の本質が学べる良問をそろえました。是非、学習しましょう。

品質工学、ロバストパラメータ設計、タグチメソッド
結局わからない！
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①品質工学のSN比

SN比 η=\(\frac{S_m}{S_e}\)でいいけど

QCプラネッツ自身は、数値より、式の意味が大事ととらえるので、

対数 10logとかも要らないですよ。

SN比 η=10 log \( \frac{\frac{1}{n}(S_m – V_e)}{V_e}\)をよく使う

ですが、よく、

しかも、
●分子に変動\(S_m\)と単位が異なる分散\(Ve\)を引く意味がわからない
●変動\(S_m\)を分母にある単位が異なる分散\(Ve\)を割る意味がわからない
●教科書は「公式だから」ってあるけど、何でこの式なの？
と疑問に沸きますよね。

ということで、

SN比 η=10 log \(\frac{\frac{1}{n}(S_m – V_e)}{V_e}\)
を導出します。

➁品質工学のSN比が導出できる

SN比 η=10log \(\frac{\frac{1}{n}(S_m – V_e)}{V_e}\)を導出

(i)SN比の定義

SN比ηは
SN比　η=10log \(\frac{S_m}{V_e}\)≡10log \(\frac{m^2}{σ^2}\)
とします。個人的には10logは無くてもいいと思います。大事なのは、平均とばらつきの比をとっていることですね。

(ii)平均\(m\)の式を変形

まず、データが正規分布N(\(m\),\(σ^2\))に従うとし、
そこから\(n\)個(\(y_1\),…,\(y_n\))のサンプルを抜き出し、
その平均値\(\bar{y}\)のばらつき\(V(\bar{y})\)を考えます。

分散の公式V[X]=E[X²]-(E[X])²から
\(V(\bar{y})\)=\(E(\bar{y^2})\)-\((E(\bar{y}))^2\)
=\(E(\bar{y^2})\)-\(m^2\)
と表現できます。
(ここで、\((E(\bar{y})=m\)です。)

また、平均値\(\bar{y}\)のばらつき\(V(\bar{y})\)は、もとの正規分布からサンプル数を抜き取った時のばらつきなので、
\(V(\bar{y})\)=\(\frac{σ^2}{n}\)
とも書けます。

まとめると、
\(V(\bar{y})\)=\(E(\bar{y^2})\)-\(m^2\)=\(\frac{σ^2}{n}\)
=(式1)
となります。

(式1)を変形します。
\(E(\bar{y^2})\)-\(m^2\)=\(\frac{σ^2}{n}\)
\(m^2\)=\(\frac{1}{n}\)(\(E(n・\bar{y}^2)-σ^2\))
とします。

もともと、変動\(S_m\)は
\(S_m\)=\(\sum_{i=1}^{n} \bar{y}^2\)=\(n \bar{y}^2\)
なので、

\(m^2\)=\(\frac{1}{n}\)(\(E(S_m)-σ^2\))
=(式2)
となります。

(iii)推定値に置き換える

推定値に置き換えましょう。

1. 母集団分散\(σ^2\)の推定値を\(V_e\)に置き換える
2. 母集団平均\(m\)の推定値を\(\hat{m}\)に置き換える

(式2)は
(式2)= \(m^2\)=\(\frac{1}{n}\)(\(E(S_m)-σ^2\))
≡\(\hat{m}^2\)=\(\frac{1}{n}\)(\(S_m-V_e\))
と書けます。

よって、SN比　ηは
η=10log \(\frac{\hat{m^2}}{σ^2}\)
≡10log \(\frac{\frac{1}{n}(S_m-V_e) }{V_e}\)
と導出できます。

➂品質工学の感度Sが導出できる

ついでに、感度Ｓも導出しておきます。

感度S=10log\(m^2\)
ですから

\(\hat{m}^2\)=\(\frac{1}{n}\)(\(S_m-V_e\))
を代入すれば、

感度S=10log\(m^2\)≡10log\(\hat{m^2}\)
=10log\(\frac{1}{n}(S_m-V_e)\)
となります。

まとめ

「品質工学のSN比が導出できる」を解説しました。

• ①品質工学のSN比
• ➁品質工学のSN比が導出できる
• ➂品質工学の感度Sが導出できる

ロバストパラメータ設計

「品質工学の静特性がよくわからない」などと困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

おさえておきたいポイント

• ①静特性を解く目的を理解する
• ➁静特性の全変動を導出
• ➂静特性の変動の注意点
• ➃SN比の注意点

【QC検定®１級合格】ロバスト設計問題集を販売します！

【QC検定®合格】「品質工学」問題集を販売します！　単なる公式の代入ではなく、平方和の分解や実験計画法を駆使して品質工学の本質が学べる良問をそろえました。是非、学習しましょう。

品質工学、ロバストパラメータ設計、タグチメソッド
結局わからない！
⇒ＱＣプラネッツが解決！

①静特性を解く目的を理解する

品質工学を解く目的を理解する

ちゃんと理解できていますか？

1. 品質工学で何を解いているか？
2. 実験計画法と品質工学の違いは何か？
3. タグチメソッドを使って何とかく解を求めているだけかどうか？

ちゃんと、理解しましょう。

品質工学を解く目的は関連記事で紹介したとおり、

ですね。分散分析するから品質工学と実験計画法・回帰分析の区別がつきにくいし、区別つかないなら品質工学は不要ですよね。

詳細は、関連記事で解説していますので、ご確認ください。

【初心者必見】品質工学で全変動と平方和の違いがわかる 品質工学、ロバストパラメータ設計、タグチメソッドで、全変動、平方和などの２乗和の計算を区別して計算できていますか？本記事では品質工学の入り口である全変動と平方和の違いをわかりやすく解説します。ここがわからないと品質工学で何を解いているかさっぱりわからなくなりますので、必読です！

品質工学の静特性とは

まず、「静特性」と「動特性」の２種類がありますが、その違いは、

実は、品質工学領域の独特な表現方法で書いているだけで、実際は、

です。わざわざ別の言い方で「静特性」なり、「動特性」と使わなくてもいいんでしょうけど、品質工学を１つの学問として立ち上げたかったんでしょうね。

だから、今回解説する「静特性」は、

の点に意識して解説するし、
データの構造式がそうなっているから
ですね。

➁静特性の全変動を導出

静特性を表すデータの構造式を作る

品質工学の目的は、何度も言いますが、

静特性を図で表現すると下図になり、この図をもとにデータの構造式を作ります。

データの構造式は、

(全変動)=(平均変動)＋(誤差分散(実は平方和))
と書けますね。