カテゴリー:

｢直交表はどうやってできているの？｣　｢直交表の各列はどうやって作られているの？｣　｢直交表からの平方和の計算は何となくできるけど、意味がよくわからない｣など、直交表がよくわかっていないまま、計算していませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

直交表のベースとなる3つの重要ポイント【絶対知っといて！】

• ➀データの構造式と因子の組み合わせから直交表の列が決まる
• ②直交表の全列の平方和の総和が全体の平方和
• ③直交表の各列の水準の求め方

【QC検定®１級合格】実験計画法問題集を販売します！

QC検定®１級、過去全回分の問題と実験計画法参考書を研究して、作り上げたオリジナル良問30題を1500円で提供します。ぜひご購入、学習して合格しましょう。

究める！実験計画法　演習問題を販売します！

実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

「直交表は実験回数を減らす便利な表」という、イメージがついていますが、最初にこの考え方を捨ててください。。

次の３つが直交表を完璧に理解するために必要です。全10本程度の記事を使って、直交表を解説します。教科書には書いていない、QCプラネッツだけ知っている直交表をお伝えします。

• 直交表は単にデータの構造式の項をすべて並べたもの
• 交絡させるから実験回数が減らせる
• データの構造式から直交表を理解する

●関連記事で、実験計画法のすべてがわかるページ
究める！実験計画法

●教科書には書いていない、研究してわかった直交表の特性を次の関連記事で紹介します。直交表ってこういうものなのか！が理解できます。10本以上の記事がありますが、すべて必見です。
【まとめ7】直交表の特徴や注意点がわかる
●【本記事限定】3水準以上の直交表には交互作用が複数列ある理由
●【本記事限定】交互作用を調べると直交表L27は複数ある【必見】
●【本記事限定】実験計画法では実験回数を減らすために直交性が必須
●【本記事限定】直交表の交互作用がある列は素数の水準系だけ【必見】
●【本記事限定】直交表の実験回数と割当て列数が決まっている理由がわかる【必見】
●【本記事限定】直交表の拡張方法がわかる【必見】
●【本記事限定】直交表の種類は無数にある【必見】
●【簡単】実験計画法の交絡(別名)とはキャラがかぶっていること
●【重要】直交表を繰返し使う場合の分散分析がわかる
●多くの因子を直交表に割り当てると分散の期待値が導出できない
●実験計画法の線点図がわかる【必見】
●直交表の列をランダムに割当てても分散分析は変わらない
●究める！実験計画法

QC模試受験しよう！

ＱＣ模試（品質技量の腕試し＆QC検定®対策） 品質技量の実力を試したい！ QC検定®合格対策に活用したい！ 1,000円で提供します！ 公式、暗記で終わらず、自分のものにできているかを試すオリジナル試験問題です！

品質力が鍛えられる「ＱＣ塾」を是非ご利用ください。

【2022/4/22up!】QC塾(有料)開設します！ ブログでは、品質の勉強、実務、ＱＣ検定®に役立つ情報をアップして 「わかる」価値を提供していますが、「わかる」を「できる」に変える トレーニング塾「ＱＣ塾」を是非ご利用ください。 難解な品質が、すっきりわかり、指導できるレベルまで上達できます！

さっそく見ていきましょう。

➀データの構造式と因子の組み合わせから直交表の列が決まる

2水準の直交表の\(L_{16} (2^{15})\)を作ります。

➀因子を用意

2水準で実験回数が16回ですから、 4因子(A,B,C,D)を用意します。逆に、因子数が決まっていたら、実験回数は因子数の水準数乗となります。つまり、 2の4乗で16回です。5因子3水準なら5の3乗で125回と全パターンを実験しますね。

②因子の総組み合わせを書き出す

因子A,B,C,Dの全パターンを書き出しましょう。機械的に書き出します。

●因子が0個：1種類→　μ(平均)
●因子が1つ：4種類→　A,B,C,D
●因子が2つ：6種類→　AB,AC,AD,BC,BD,CD
●因子が3つ：4種類→　ABC,ABD,ACD,BCD
●因子が4つ：1種類→　ABCD (誤差eと交絡)
計　1+4+6+4+1=16種類作れますね。

なお、1+4+6+4+1=16を二項定理の式に書く事ができます。
\( {}_4 C_0+{}_4 C_1+{}_4 C_2+{}_4 C_3+{}_4 C_4\)
=1+4+6+4+1
=16

③データの構造式を作る

16種類の項をデータの構造式にまとめます。
ここで、直交表が突然できたわけではなく、データの構造式から作られたことを理解しましょう。重要です。

x=μ+α+β+γ+δ+(αβ)+(βγ)+(γδ)
+(αβγ)+(αβδ)+(αγδ)+(βγδ)
+e

④直交表を作る

データの構造式から直交表の各列を作ります。下図のように列を並び替えます。並び替えなくても、別に構いませんが、直交表を使いやすく配列すれば良いです。

4因子2水準を事例に挙げて、直交表の配列方法を解説しました。他の因子、他の水準でも同様にできます。ただし、まだ2水準限定としましょう。3水準以上になると交互作用が複数列出てきます。これは次の関連記事で解説しています。

【本記事限定】3水準以上の直交表には交互作用が複数列ある理由
【本記事限定】交互作用を調べると直交表L27は複数ある【必見】
【本記事限定】直交表の実験回数と割当て列数が決まっている理由がわかる【必見】

②直交表の全列の平方和の総和が全体の平方和

直交表の便利な点は、列の平方和が簡単に計算できることです。
そのためには、直交表の全列の平方和の総和が全体の平方和であることが前提です。

直交表の全列の平方和の総和が全体の平方和かどうか実際に確かめてみましょう。

2水準の四元配置実験

図のように2水準の因子A,B,C,Dを用意して16回実験します。これは完全配置実験ですね。

分散分析の結果は次のようになります。さらっと、書いていますが結構計算は面倒です。でもとてもいい演習問題なので、下の問を是非解いてみてください。

【まとめ9】実験計画法を究める演習問題集を販売します 実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集を作成しました。是非本記事を読んで、勉強しましょう。

2水準の四元配置実験を直交表L16 (2^15)で解く

次に、直交表を使って分散分析しましょう。直交表L16 (2^15)と各データを割り付けます。

直交表の各成分の水準数に合わせてデータを入れていきます。
例えば、A1B1C1D1のデータは10です。

黄色枠のA1B1C1D1は直交表では、次の行に割当てます。

これを16回繰返します。各データを直交表に割当てる方法がわかりました。

次に、直交表から平方和を求める公式があります。

$$ S_{[k]} = \frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N} $$

S[k]はk列目の平方和、Nは総データ数、T[k]1はk列目の水準1の合計、T[k]2はk列目の水準2の合計です。

この式を使って計算すると、1列目の平方和S[1]は
\(S_{[1]} = \frac{(T_{[1]1}-T_{[1]2})^2}{16} \)
=0.5625
となります。

同様に15列分計算しましょう。エクセルで計算した方が早いです。結果は下の表です。

分散分析すると、下図のようになり、四元配置実験の結果と一致します。

直交表の全列の平方和の総和が全体の平方和になる理由

実例のように、直交表の全列の平方和の総和が全体の平方和になりました。その理由を解説します。

(i)データの構造式から平方和の分解ができる。

4因子のデータの構造式を書きます。

x=μ+α+β+γ+δ+(αβ)+(βγ)+ (γδ)
+(αβγ)+(αβδ)+(αγδ)+(βγδ)
+e

平方和の分解のところで詳細に導出を解説しますが、本記事では概要を解説します。上の式を変形して、それぞれの平方和に分解できます。

ST=SA+SB+SC+SD
+S(A×B)+S(A×C)+S(A×D)
+S(B×C)+S(B×D)+S(C×D)
+S(A×B×C) +S(A×B×D) +S(A×C×D) +S(B×C×D)
+Se

上の式のように、平方和が分解できます。
それぞれに分割された平方和が直交表の各列の平方和になります。

多元配置実験と直交表実験の分散分析が等しい理由について,
You tubeで解説しています（後編）

③直交表の各列の水準の求め方

【簡単】たった3つの方法で作れる

例として、直交表L16 (2^15)で解説します。

●直交表の水準数の表記方法はYou Tubeでも解説しています。(前編)

(i)直交表の水準の表記を0,1,2,…に変える。

水準の数から1引いてください。それだけです。

(ii)交互作用列の水準は、構成因子の水準の和を水準の数で割った余りとする。

交互作用A×Bの水準は、
因子Aの水準がa
因子Bの水準がb
とします。

(i)で水準の数を1引きますから、
因子Aの水準はa-1
因子Bの水準はb-1
です。

交互作用列の水準は、構成因子の水準の和を水準の数で割った余りとします。

交互作用A×Bの水準は、
Mod((a-1)+(b-1),2)となります。

具体的に、a=2,b=1とします。
Mod((a-1)+(b-1),2)=Mod((2-1)+(1-1),2)=Mod(1,2)
Mod(1,2)は1を2で割った余りなので1となり、交互作用A×Bの水準の数は1となります。

これを全交互作用列に対して計算しましょう。エクセルで簡単に計算できます。

(iii) 直交表の水準の表記を1,2,3,…に戻す。

(ii)の計算した水準の数は0からスタートしているので、すべて1を足してください。これで直交表の各行列の水準の数が求まりました。

交互作用の表記を×としますが、実際は水準の数を足して、水準系の数で割った余りを意味します。

この方法ですべての水準系の直交表の各行列の水準の数が自力で求めることができます。

●直交表の水準数の表記方法はYou Tubeでも解説しています。３水準系も必見！(後編)

まとめ

2水準の直交表とデータの構造式を使って、直交表のエッセンスを解説しました。

• ➀データの構造式と因子の組み合わせから直交表の列が決まる
• ②直交表の全列の平方和の総和が全体の平方和
• ③直交表の各列の水準の求め方

●関連記事で、実験計画法のすべてがわかるページ

究める！実験計画法

●教科書には書いていない、研究してわかった直交表の特性を次の関連記事で紹介します。
直交表ってこういうものなのか！が理解できます。10本以上の記事がありますが、すべて必見です。
●【まとめ7】直交表の特徴や注意点がわかる
●【本記事限定】3水準以上の直交表には交互作用が複数列ある理由
●【本記事限定】交互作用を調べると直交表L27は複数ある【必見】
●【本記事限定】実験計画法では実験回数を減らすために直交性が必須
●【本記事限定】直交表の交互作用がある列は素数の水準系だけ【必見】
●【本記事限定】直交表の実験回数と割当て列数が決まっている理由がわかる【必見】
●【本記事限定】直交表の拡張方法がわかる【必見】
●【本記事限定】直交表の種類は無数にある【必見】
●【簡単】実験計画法の交絡(別名)とはキャラがかぶっていること
●【重要】直交表を繰返し使う場合の分散分析がわかる
●多くの因子を直交表に割り当てると分散の期待値が導出できない
●実験計画法の線点図がわかる【必見】
●直交表の列をランダムに割当てても分散分析は変わらない
●究める！実験計画法

実験計画法

｢たまに出てくるラテン方格法って何？｣、「直交表をよく使うけど、ラテン方格法はなんであまり使わないの？」、「なぜ、実験回数が減らせるの？」などが説明できずに困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

実験計画法の直交性がすぐわかる

• ➀実験回数が減らせるラテン方格法
• ②ラテン方格法と完全配置実験の分散分析を比較
• ③ラテン方格法とグレコ・ラテン方格法
• ④ラテン方格法より直交表が主流な理由

さっそく見ていきましょう。

本記事を読む前に

ラテン方格法を学ぶ上で基礎となる関連記事を紹介します。
●【本記事限定】実験計画法では実験回数を減らすために直交性が必須
●【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)
●【簡単】実験計画法とは何かがすぐわかる【初心者向け】
●一元配置実験の平方和の分解ができる【初心者必見】
●二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】
●二元配置実験(交互作用無し)の平方和の分解ができる【初心者必見】
●分散分析の比較(完全配置実験とラテン方格法と直交表)【必見】
実験計画法を究めるトップページです。
●究める！実験計画法

【QC検定®１級合格】実験計画法問題集を販売します！

QC検定®１級、過去全回分の問題と実験計画法参考書を研究して、作り上げたオリジナル良問30題を1500円で提供します。ぜひご購入、学習して合格しましょう。

究める！実験計画法　演習問題を販売します！

実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

➀実験回数が減らせるラテン方格法

ラテン方格法を使う目的

上の目的をクリアーする手法の１つがラテン方格法です。手法より、目的が大事です。

関連記事である、【本記事限定】実験計画法では実験回数を減らすために直交性が必須　にある、完全配置実験と部分配置実験と同じ考え方です。

部分配置は、他の因子のすべての水準が同回数入るように割り当てる必要があるため、並べるのが難しいです。
これを簡単に並べるためのラテン方格法です。

ラテン方格法の使い方

3水準のラテン方格は、
1 2 3
2 3 1
3 1 2
です。

横、縦を見ると1,2,3が１回ずつ割り当てられ、重複していません。
ラテン方格法は実験計画法の直交性を満たしています。

例えば、3因子3水準の三元配置実験を考えるとき、
完全配置実験は27回ですが、
ラテン方格法は9回で済みます。

②ラテン方格法と完全配置実験の分散分析を比較

ラテン方格法の分散分析はここで解説します。期待値の算出に注意する箇所があります。

それより、実験回数を減らしても問題ないのかを実例で確かめてみましょう。

分散分析の結果を比較

3水準の三元配置実験を例に挙げます。

次がラテン方格法です。

橙色部が同じ実験Noを意味します。

それぞれの分散分析表を比べましょう。

次はラテン方格法の場合です。

注目すべき点は、主効果の平方和Sと残差eの自由度ですね。実験回数が27回と9回と異なるので平方和も3倍程度違います。ただし、残差の自由度が20と2なので、F検定の結果が完全配置実験とラテン方格法で変わることがあります。

完全配置実験では３因子とも有意であるが、ラテン方格法では３因子とも有意ではないことがわかります。

これは、データのランダムばらつきや、データ27個からどの9個に選ぶかによって、
F検定が変わることを言っています

。

部分配置実験の検定結果と完全配置実験の検定結果は変わる可能性があるので注意しましょう。

③ラテン方格法とグレコ・ラテン方格法

グレコ・ラテン方格法

水準数をどんどん増やしてみましょう。4水準系で実験回数を減らす方法を考えます。

4水準の因子A,B,C,Dを実験します。
四元配置実験で全パターンを実験すると、\(4^4\)=256回実験が必要です。ちょっと大変ですよね。
そこで、次のように調べたい因子以外の因子が入らないようにする(直交性)方法で割り付けてみましょう。下の表になります。

上図のように、二元配置にグレコ・ラテン方陣を組み込んだ実験計画をグレコ・ラテン方格法といいます。実験回数は256回から16回に減らせます。

なお、4水準4因子のグレコ・ラテン方格法で実験すると分散分析表は次のようになります。

5水準も実験回数が減らせるのか？

4水準5因子の場合を例に挙げます。各水準の組み合わせは下表になります。

ここで、1点注意が必要です。分散分析表を作ると、残差の自由度が0となり、分散分析できません。

水準数は因子数以上が必要です。

④ラテン方格法より直交表が主流な理由

シンプルにこの理由につきます。

ラテン方格法やグレコ・ラテン方格法のように方陣を使って、調べたい因子以外の因子が入らないように(直交性)しますが、この方法では、互いの割り当て列が独立となるため、交互作用を調べることができません

一方、直交表は因子数に対し、すべての組み合わせを割り当て列にするため、主効果の列や交互作用の列があります。これが実験で調べたい列として使いやすいのです。しかし、ある列にまったく異なる列を割り当てる(交絡)して、実験回数を減らすため、
交絡による分散分析の結果の影響があります。

交絡については、【簡単】実験計画法の交絡(別名)とはキャラがかぶっていることをご覧下さい。

実験データの精度を追求するなら、実験回数を減らしてはいけません。少ない実験回数で、そこそこの精度の結果があれば良いとするなら、実験計画法を活用しましょう。

まとめ

実験回数を減らすためのラテン方格法とグレコ・ラテン方格法について、解説しました。

• ➀実験回数が減らせるラテン方格法
• ②ラテン方格法と完全配置実験の分散分析を比較
• ③ラテン方格法とグレコ・ラテン方格法
• ④ラテン方格法より直交表が主流な理由

本記事を読んだ後のおすすめ関連記事

ラテン方格法を学ぶ上で基礎となる関連記事を紹介します。
●【本記事限定】実験計画法では実験回数を減らすために直交性が必須
●【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)
●【簡単】実験計画法とは何かがすぐわかる【初心者向け】
●一元配置実験の平方和の分解ができる【初心者必見】
●二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】
●二元配置実験(交互作用無し)の平方和の分解ができる【初心者必見】
●分散分析の比較(完全配置実験とラテン方格法と直交表)【必見】
実験計画法を究めるトップページです。
●究める！実験計画法

実験計画法

｢直交表にある直交って何？｣、「直交性がなぜ必要なのか？」、「直交性があればなぜ、実験回数が減らせるの？」などが説明できずに困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

実験計画法の直交性がすぐわかる

• ➀実験回数が減らせる配置実験
• ②水準の数が持つ3種類の表記方法
• ③直交性とは他の因子の効果を見せなくすること

さっそく見ていきましょう。

【QC検定®１級合格】実験計画法問題集を販売します！

QC検定®１級、過去全回分の問題と実験計画法参考書を研究して、作り上げたオリジナル良問30題を1500円で提供します。ぜひご購入、学習して合格しましょう。

究める！実験計画法　演習問題を販売します！

実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

➀実験回数が減らせる配置実験

実験回数が減らせる配置方法

例に、3因子(A,B,C)、3水準の実験を考えます。

単純に全パターンを実験すると、実験回数は\(3^3\)=27回ですね。

実は、うまく配置すると27回が9回で済みます。実験計画法は、実験回数が減らせると言われる理由です。

実験回数を減らせる立体イメージ

実験を立方体でイメージします。因子A-Bの面、因子A-Cの面、因子B-Cの面の3面で水準数がそれぞれ3ですから、1面あたり9個のブロックがある立方体を考えます。

平面図、側面図と正面図を下図に書いてみます。
すべての実験を実施するのですべてのブロックは青色で詰まっていますね

しかし、この平面図、側面図と正面図を満たす立体は
すべてブロックが詰まっている場合(完全配置実験)と
一部のブロックだけが詰まっている場合(部分配置実験)の
両方があります。図を見れば一目瞭然ですね。

立体図の右側の青いブロックは全部で9個しかありませんが、平面、側面、正面から見るとすべて詰まった27個のブロックからなる立方体と同じに見えます。

実験回数が減らせる場合のデータの構造式

27回の実験が9回に減らせる場合を紹介しましたが、データの構造式を比較します。

どの主効果α、β、γの合計が0になっています。
これが最も重要です。

例えば、9回の実験の例で\(α_1\)の効果を見るために、
\( x_{111}+x_{122}+x_{133}\)を計算します。すると、β、γの合計は0です。
つまり、因子Aの効果だけ取り出すことができます。
同様に、\(β_1\)の効果や\(γ_1\)の効果も確認できますね。

実験回数が減らせるポイント

②水準の数が持つ3種類の表記方法

実験回数を減らせるのは、調べたい因子以外を、合計0にすればよいと解説しました。
実験回数を減らせるのと直交性にはどういう関係があるかを解説します。

その前に！

水準の数が持つ3種類の表記方法

まとめると、下の表になります。

上の表の詳細を下の表で説明します。

(i)のデータの構造式では、添字に該当し、1から数えていきますね。
(ii)の直交表の成分を算出する場合とは、直交表の交互作用列のベクトル成分を求めるときに、(i)の値を1引いて、0スタート表示に変えます。交互作用列のベクトル成分のつくり方はここを見てください。
(iii)は直交性(内積=0かどうか)を調べるために表示を変えます。

実験計画法の教科書は(i)～(iii)の表示方法を使い分けていますが、ルールが規定されていないので、本記事ではルールを紹介しました。

「母平均の点推定値を計算公式が複雑で覚えられない」、「有効反復数、田口の式や伊奈の式がうまく使いこなせない」などで困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

データの構造式から母平均の点推定が導出できる

• ➀データの構造式から母平均の点推定を求める方法は１つ
• ②多元配置実験の母平均の点推定の導出方法
• ③直交表を使った多因子実験の母平均の点推定の導出方法

読んでおくべき関連記事

データの構造式から実験計画法はすべて解けます。
【1】まとめの関連記事
●究める！実験計画法
●【まとめ6】区間推定のための工程平均と有効繰り返し数が導出できる

【2】なぜ、データの構造式からすべて解けるかがわかる関連記事
●【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)
●【重要】データの構造式から有効反復数が導出できる

さっそく見ていきましょう。

【QC検定®１級合格】実験計画法問題集を販売します！

QC検定®１級、過去全回分の問題と実験計画法参考書を研究して、作り上げたオリジナル良問30題を1500円で提供します。ぜひご購入、学習して合格しましょう。

究める！実験計画法　演習問題を販売します！

実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

➀データの構造式から母平均の点推定を求める方法は１つ

【重要】母平均の点推定の導出方法

二元配置実験の場合

(A)データの構造式を用意します。
\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+(αβ)_{ij}\)+\(e_{ijk}\)

とします。

(B)最適条件\(μ(A_i B_j)\)の点推定値を求めましょう。
データ構造式のうち、ABを含む項だけ残します。
\(μ(A_i B_j)\)=\(μ+α_i+β_j+ (αβ)_{ij}\)

(C) 主効果・交互作用の項をすべて\(x\)についての項に直します。
\(μ\)=\(\bar{\bar{x}}\)
\(α_i\)=\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\)
\(β_j\)=\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
\( (αβ)_{ij}\)=\(\bar{x_{ij･}}\)-\(\bar{x_{i‥}}\)-\(\bar{x_{･j･}}\)+\(\bar{\bar{x}}\)
を代入します。

\(μ(A_i B_j)\)
=\(μ+α_i+β_j+ (αβ)_{ij}\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{ij･}}\)-\(\bar{x_{i‥}}\)-\(\bar{x_{･j･}}\)+\(\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{ij･}}\)

(D)残った項を\(\widehat{μ+●}\) の項に変えます。
\(\bar{x_{ij･}}\)=\(\widehat{μ+a_i+b_j+(ab)_{ij}}\)
を代入します。

\(μ(A_i B_j)\)
=\(\bar{x_{ij･}}\)
=(\(\widehat{μ+a_i+b_j+(ab)_{ij}}\))

初めて見ると難しそうと思いますが、この(A)から(D)の方法で、全実験パターンで使えます。

以下応用事例を挙げますが、同じ方法で解説します。

②多元配置実験の母平均の点推定の導出方法

【重要】母平均の点推定の導出方法

三元配置実験の場合

(A)データの構造式を用意します。
\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+γ_k\)+\(e_{ijk}\)

とします。

(B)最適条件\(μ(A_i B_j C_k)\)の点推定値を求めましょう。
データ構造式のうち、ABCを含む項だけ残します。
\(μ(A_i B_j C_k)\)=\(μ+α_i+β_j+γ_k\)

(C) 主効果・交互作用の項をすべて\(x\)についての項に直します。
\(μ\)=\(\bar{\bar{x}}\)
\(α_i\)=\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\)
\(β_j\)=\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
\(γ_k\)=\(\bar{x_{‥k}}-\bar{\bar{x}}\)
を代入します。

\(μ(A_i B_j C_k)\)
=\(μ+α_i+β_j+γ_k\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{‥k}}-\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}\)+\(\bar{x_{‥k}}-2\bar{\bar{x}}\)

(D)残った項を\(\widehat{μ+●}\) の項に変えます。
\(\bar{x_{i‥}}=\widehat{μ+a_i}\)
\(\bar{x_{･j･}}=\widehat{μ+b_j}\)
\(\bar{x_{‥k}}=\widehat{μ+c_k}\)
\(\bar{\bar{x}}=\widehat{μ}\)
を代入します。

\(μ(A_i B_j C_k)\)
=\(\bar{x_{i‥}}\)+\(\bar{x_{･j･}}\)+\(\bar{x_{‥k}}\)-2\(\bar{\bar{x}}\)
=(\(\widehat{μ+a_i}\))+(\(\widehat{μ+b_j}\))+(\(\widehat{μ+c_k}\))-2\(\widehat{μ}\)

詳細な解説は、演習問題集にあります。

【まとめ9】実験計画法を究める演習問題集を販売します 実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集を作成しました。是非本記事を読んで、勉強しましょう。

③直交表を使った多因子実験の母平均の点推定の導出方法

どんどん、複雑なデータの構造式にしますが、導出方法は同じです。

【重要】母平均の点推定の導出方法

(A)から(D)の方法で導出します。全く同じ方法で攻略できるので大丈夫です。

(A)データの構造式を用意します。
x=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)+e

(B)最適条件μ(ABCDF)の点推定値を求めましょう。
直交表に多因子を割り付けているので、添字は簡略化します。
データ構造式のうち、ABCDFを含む項だけ残します。
μ(ABCDF)= μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)

(C) 主効果・交互作用の項をすべて\(x\)についての項に直します。
ここで、直交表に多因子を割り付けているので、添字は簡略化します。
\(μ\)=\(\bar{\bar{x}}\)
a=\(\bar{x_a}-\bar{\bar{x}}\)
b=\(\bar{x_b}-\bar{\bar{x}}\)
c=\(\bar{x_c}-\bar{\bar{x}}\)
d=\(\bar{x_d}-\bar{\bar{x}}\)
f=\(\bar{x_f}-\bar{\bar{x}}\)
ab=\(\bar{x_{ab}}-\bar{x_a}-\bar{x_b}+\bar{\bar{x}}\)
cd=\(\bar{x_{cd}}-\bar{x_c}-\bar{x_d}+\bar{\bar{x}}\)
を代入します。

μ(ABCDF)
=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_a}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_b}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_c}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_d}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_f}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{ab}}-\bar{x_a}-\bar{x_b}+\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{cd}}-\bar{x_c}-\bar{x_d}+\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{ab}}\)+\(\bar{x_{cd}}\)+\(\bar{x_f}\)-2\(\bar{\bar{x}}\)

(D)残った項を\(\widehat{μ+●}\) の項に変えます。
\(\bar{x_{ab}}=\widehat{μ+a+b+(ab)}\)
\(\bar{x_{cd}}=\widehat{μ+c+d+(cd)}\)
\(\bar{x_f}=\widehat{μ+f}\)
\(\bar{\bar{x}}=\widehat{μ}\)
を代入します。

μ(ABCDF)
=\(\bar{x_{ab}}\)+\(\bar{x_{cd}}\)+\(\bar{x_f}\)-2\(\bar{\bar{x}}\)
=(\(\widehat{μ+a+b+(ab)}\))+(\( \widehat{μ+c+d+(cd)}\))+(\( \widehat{μ+f}\))-2\(\widehat{μ}\)

以下の演習問題もちょっと考えてみてください。

最強に難しいですが、データの構造式をたてて、(A)から(D)の流れで解けば必ず導出できます。

答えだけ書いておきます。
(1) x=μ+r+a+b+\(e_{(1)}\)+d+f+\(e_{(2)}\)
(2) μ(ABDF)=(\(\widehat{μ+a+d+(ad)}\))+(\(\widehat{μ+b}\))+(\(\widehat{μ+f}\))-2\(\widehat{μ}\)

詳細な解説は、演習問題集にあります。

【まとめ9】実験計画法を究める演習問題集を販売します 実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集を作成しました。是非本記事を読んで、勉強しましょう。

まとめ

データの構造式から母平均の点推定の導出ができます。導出方法は１つだけなので、何度も読んで確実に身につけてください。

• ➀データの構造式から母平均の点推定を求める方法は１つ
• ②多元配置実験の母平均の点推定の導出方法
• ③直交表を使った多因子実験の母平均の点推定の導出方法

読んでおくべき関連記事

データの構造式から実験計画法はすべて解けます。
【1】まとめの関連記事
●究める！実験計画法
●【まとめ6】区間推定のための工程平均と有効繰り返し数が導出できる

【2】なぜ、データの構造式からすべて解けるかがわかる関連記事
●【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)
●【重要】データの構造式から有効反復数が導出できる

実験計画法

「交絡(こうらく)って何？」、「交絡しているといいの？悪いの？」など、実験計画法の交絡がわからず、困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

交絡を理解する3つのポイント

• ➀交絡(別名)はキャラがかぶっていること
• ②交絡を回避する方法は因子数を増やすこと
• ③直交表など実験回数が減らせるのは交絡があるから

さっそく見ていきましょう。

【QC検定®１級合格】実験計画法問題集を販売します！

QC検定®１級、過去全回分の問題と実験計画法参考書を研究して、作り上げたオリジナル良問30題を1500円で提供します。ぜひご購入、学習して合格しましょう。

究める！実験計画法　演習問題を販売します！

実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

➀交絡(別名)はキャラがかぶっていること

データの構造式の添字が同じなら交絡している

｢交絡｣は「別名」と書く教科書もあります。

【簡単】実験計画法のフィッシャー3原則がすぐわかる方法に書いたとおり、反復が必要なのは、主効果と交絡するからでしたね。

他の例も見てみましょう。

添字を見ればわかります。データの構造式だけ見ても意外と交絡に気がつきません。平方和を算出して、平方和が0になって「おかしい」となり、交絡に気が付くことがよくあります。

二元配置実験：　\((αβ)_{ij}\)と\( e_{ij}\)が交絡
分割法： \(α_i\)と\( e_{(1)i}\)、\((αβ)_{ij}\)と\( e_{(2)ij}\)がそれぞれ交絡

②交絡を回避する方法は因子数を増やすこと

【簡単】実験計画法のフィッシャー3原則がすぐわかる方法に書いたとおり、反復が必要なのは、主効果と交絡するからでしたね。

反復して交絡を回避するのは、因子数を増やすことで回避しているのです。

一元配置実験 \( x_i=μ+α_i+e_i\)
を
一元配置実験 \( x_{ij}=μ+α_i+e_{ij}\)
と、添字jを追加して、\(α_i\)と\(e_{ij}\)を別々にしました。

他の例も交絡を回避してみましょう。

添字を追加(因子数増加)して、交絡を回避します。

二元配置実験 \(x_{ij}=μ+α_i+β_j+(αβ)_{ij}+e_{ij}\)
を
二元配置実験 \(x_{ijk}=μ+α_i+β_j+(αβ)_{ij}+e_{ijk}\)
と、添字kを追加して、\((αβ)_{ij}\)と\(e_{ijk}\)を別々にしました。

分割法 \(x_{ij}=μ+α_i+e_{(1)i}+β_j\)+\((αβ)_{ij}+e_{(2)ij}\)
を
分割法 \(x_{ij}=μ+α_i+e_{(1)ik}+β_j\)+\((αβ)_{ij}+e_{(2)ijk}\)
と、添字kを追加して、\(α_i\)と\(e_{(1)ik}\)、\((αβ)_{ij}\)と\(e_{(2)ijk}\)を別々にしました。

分割法の式で、1次単位にあたる式を取り出します。
\( x_{ij}=μ+α_i+e_{(1)ik}\)
です。よく見ると、添字kだけの主効果が抜けていますね。
ここによく乱塊法から　\(γ_k\)を入れて
\( x_{ij}=μ+γ_k+α_i+e_{(1)ik}\)
とすることが多いです。これが、分割法に乱塊法がよく使われる理由です。

「多元配置実験、乱塊法、分割法といっぱい手法があってわからない」、「解き方を１つ１つ覚えていくのが大変」、ど、実験計画法を習得するのにいろいろ困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

データの構造式からわかる実験計画法

• ➀データの構造式は誤差項を機械的に書き出す
• ②乱塊法、分割法等はデータの構造式の誤差項を書き換えただけ
• ③データの構造式の項から自由度がわかる

【QC検定®１級合格】実験計画法問題集を販売します！

QC検定®１級、過去全回分の問題と実験計画法参考書を研究して、作り上げたオリジナル良問30題を1500円で提供します。ぜひご購入、学習して合格しましょう。

究める！実験計画法　演習問題を販売します！

実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

さっそく見ていきましょう。

➀データの構造式は誤差項を機械的に書き出す

実験計画法のポイント2つだけ

【簡単】実験計画法とは何かがすぐわかる【初心者向け】に書いたとおり、(A)(B)の２つだけでOKです。

ここで、最も重要になるのが、データの構造式です。どの教科書にも書いていますが、分散分析や平方和に目が行くので、データの構造式は脇役になりがちです。

しかし、データの構造式がわかれば、多元配置実験、乱塊法、分割法、枝分れ実験、直交表をそれぞれ理解する必要もありませんし、自由度もデータの構造式からすべてわかります。

例えば、3つの因子を使ったデータの構造式を書きましょう。

\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+γ_k\)+\((αβ)_{ij}+(αγ)_{ik}+(βγ)_{jk}\)+\(e_{ijk}\)
と書けます。平均と、3因子の総組み合わせ6通りと誤差1つの計8項から構成されますね。
なお、3因子交互作用\((αβγ)_{ijk}\)と誤差\(e_{ijk}\)は交絡しますが、これは交絡のところで話をします。

データの構造式は機械的にすべての項を一旦書く事が重要です。
プーリングや調べない主効果・交互作用があれば誤差に含めればよいのです。

\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+γ_k\)+\((αβ)_{ij}+(αγ)_{ik}+(βγ)_{jk}\)+\(e_{ijk}\)
例えば、\((αγ)_{ik}\)は誤差に含め、\((βγ)_{jk}\)は確認対象外とすると、
\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+γ_k\)+\((αβ)_{ij}\)+\(e_{ijk}\)
\(e_{ijk}\)は\(e_{ijk}+(αγ)_{ik}+(βγ)_{jk}\)になります。

機械的に書き出すだけなので、簡単ですね。

②乱塊法、分割法はデータの構造式の誤差項を書き換えただけ

3つの因子を使ったデータの構造式
\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+γ_k\)+\((αβ)_{ij}+(αγ)_{ik}+(βγ)_{jk}\)+e_{ijk}\)
は三元配置実験のデータの構造式ですね。
これを乱塊法、乱塊法＋分割法の式に変えましょう。下図になります。

乱塊法のデータの構造式は三元配置実験から\(γ_k\)を反復因子に変えて、
γを含む項をすべて誤差\(e_{ijk}\)に移せば完成です。

分割法はよく乱塊法と組み合わせて出てきます。これが初めて習う時に、
「分割法だけでもしんどいのに、何でさらにわからない乱塊法がくっついてくるの？」
とため息が出ますよね。この理由も、ここで話しますが、
分割法+乱塊法の方が、データの構造式が書きやすく、平方和が計算しやすいからです。

分割法+乱塊法のデータの構造式は三元配置実験から\(γ_k\)を反復因子に変えて、
\((αγ)_{ik}\)を\(e_{(1)ik}\)に変えて、\((βγ)_{jk}\)を誤差\(e_{ijk}\)に移せば完成です。
γが反復因子と特別な因子に設定したので、γを含む交互作用に意味がなくなるため、誤差に入れました。
ただし、γを含む交互作用をそのまま項にして平方和を計算することはできます。

多くの参考書は、乱塊法、分割法をそれぞれの章で取り上げるため、個別に解き方を暗記しようとします。
しかし、多元配置実験のシンプルなデータの構造式を書き換えているだけにすぎません。
なぜなら、多元配置実験のデータの構造式はすべての場合を書き出しているため、乱塊法、分割法などの応用手法はその構造式の項の組み合わせを変えているだけだからです。

データの構造式がベースとなる多元配置実験を組み合わせて応用したものが、乱塊法・分割法などの応用手法だとわかれば、難しいと思わなくなるはずです。

③データの構造式の項から自由度がわかる

データの構造式の項から自由度がわかる最重要ポイント

データの構造式の項まとめ

\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+γ_k\)+\((αβ)_{ij}+(αγ)_{ik}+(βγ)_{jk}\)+\(e_{ijk}\)
の各項を別表現します。自由度の算出や分散分析の期待値導出に必須です。

・μ=\(\bar{\bar{x}}\)
・\(α_i\)=\( \bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\)
・\(β_j\)=\( \bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
・\(γ_k\)=\( \bar{x_{･･k}}-\bar{\bar{x}}\)
・\((αβ)_{ij}\)=\(\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{i‥}}-\bar{x_{･j･}}+\bar{\bar{x}}\)
・\((βγ)_{jk}\)=\(\bar{x_{･jk}}-\bar{x_{･j･}}-\bar{x_{･･k}}+\bar{\bar{x}}\)
・\((αγ)_{ik}\)=\(\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{i‥}}-\bar{x_{･･k}}+\bar{\bar{x}}\)
・\(e_{ijk}\)=?? (書けますか？)
と2因子の交互作用までなら暗記してもよいですが、3因子の交互作用以上になると式を求めるのが大変です。

ここで、自由度の表を提案します!

自由度の表を提案します!

自由度の表を作ると多因子のどんな場合でも簡単に自由度や係数を求めることができます。とても便利なので活用ください。

表を見ながら、誤差eを構成する式が書けますね。結構長い式ですが。
・\(e_{ijk}\)=\(x_{ijk}+(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}+\bar{x_{･･k}})\)-\((\bar{x_{ij･}}+\bar{x_{･jk}}+\bar{x_{i･k}})\)-\(\bar{\bar{x}}\)

まとめると、
・μ=\(\bar{\bar{x}}\)
・\(α_i\)=\( \bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\)
・\(β_j\)=\( \bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
・\(γ_k\)=\( \bar{x_{･･k}}-\bar{\bar{x}}\)
・\(αβ_{ij}\)=\(\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{i‥}}-\bar{x_{･j･}}+\bar{\bar{x}}\)
・\(βγ_{jk}\)=\(\bar{x_{･jk}}-\bar{x_{･j･}}-\bar{x_{･･k}}+\bar{\bar{x}}\)
・\(αγ_{ik}\)=\(\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{i‥}}-\bar{x_{･･k}}+\bar{\bar{x}}\)
・\(e_{ijk}\)=\(x_{ijk}+(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}+\bar{x_{･･k}})\)-\((\bar{x_{ij･}}+\bar{x_{･jk}}+\bar{x_{i･k}})\)-\(\bar{\bar{x}}\)

データの構造式から自由度がわかる

自由度はデータの構造式からすべてわかりますし、自由度から各主効果、交互作用の構造式の形が書けます。

平均μの自由度は1

・μ=\(\bar{\bar{x}}\)
ですが、平均は1つに決まるので、自由度は1です。

主効果の自由度はn-1

・\(α_i\)=\( \bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\)
\( \bar{x_{i‥}}\)において、主効果Aの水準はaとすると、自由度はaです。
\(\bar{\bar{x}}\)は、自由度1の平均です。
引くので、自由度はa-1となります。

2因子交互作用の自由度は(n-1)(m-1)

・\((αβ)_{ij}\)=\(\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{i‥}}-\bar{x_{･j･}}+\bar{\bar{x}}\)
因子Aはa水準、因子Bはb水準としましょう。
\(\bar{x_{ij･}}\)：自由度ab
\(\bar{x_{i‥}}\): 自由度a
\(\bar{x_{･j･}}\): 自由度b
\(\bar{\bar{x}}\): 自由度1
まとめると、自由度はab-a-b+1=(a-1)(b-1)です。

多因子交互作用や、複数の項を加算した誤差の自由度もデータ構造式から求めることができます。

ここまで、読むと次のことも気がつきませんか？

自由度がわかればデータの構造式も書ける

3因子交互作用の自由度は公式暗記から(a-1)(b-1)(c-1)ですから、展開して
(a-1)(b-1)(c-1)=abc-ab-ac-bc+a+b+c-1
\( (αβγ)_{ijk}\)=\( x_{ijk}\)-\(x_{ij･}\)・・・　と書けますよね。

多因子交互作用や、複数の項を加算した誤差の自由度もデータ構造式から求めることができます。

では、次の問いを考えてみましょう。本記事を読めば同様に解けるはずです。なお、解説は解説集にありますので、ご覧下さい。

まとめ

教科書ではあまりスポットライトが当たらない、データの構造式ですが、データの構造式だけで実験計画法がほぼわかることを解説しました。

• ➀データの構造式は誤差項を機械的に書き出す
• ②乱塊法、分割法はデータの構造式の誤差項を書き換えただけ
• ③データの構造式の項から自由度がわかる

実験計画法