月: 2021年9月

★ 本記事のテーマ

教科書の専門用語を丸暗記しただけでは、すぐに実験計画法がわからなくなります。上の5つが自分の言葉で説明できることが重要です。不安ならば、記事を読んで理解を深めていきましょう。

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以前、ブログ解説していましたが、１つのPDFにまとめました。勉強に役立ててください。
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内容は以下です。応用レベルをわかりやすく解説しています。130ページあります。

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私は、日本にある実験計画法の教科書をほぼ全て読破しました。どの本も章立てが同じです。出版元が学会や規格団体なので、構成をそろえたのでしょう。それが難しくしている理由だと思います。

上表のように、第１章で、因子、水準、交互作用、残差、データの構造式などの基本を一通り解説し、
第2章以降は、章ごとにそれぞれの解法を解説するパターンがほとんどです。

★よくある教科書のメリット

★よくある教科書のデメリット

実際、私自身、多くの教科書を読んで研究しましたが、著者の癖が最後まで苦労しました。

★実験計画法を究める方法を提案

この3つが、重要と考え、ブログに挙げると決めました。

再掲しますが、わかりやく実験計画法を究める順番を提示します。この順番でQCプラネッツは解説しています。

実験計画法は、分散分析表を作ることが重要と思われがちですが、実は違います。データの構造式をおさえてください。QCプラネッツは、実験計画法の全手法とも、データの構造式から入ります。

★なぜデータの構造式が最重要なのか？

自分で立てたモデル式である、データの構造式が自由度、分散分析から推定区間などすべての分析結果を導きます。データの構造式の特徴によって手法の個性が出ているので、手法の違いはデータの構造式を比較すればよく理解できます。

データの構造式を自分で立てて、手法によって比較することによって、実験計画法の本質が理解できるようになります。これをしないと、意味が理解できないややこしい問題となるだけです。

手法ごとに暗記せず、どの手法でも次の攻め方で解いていきます。

手順1から5にすべて、「データの構造式」が入っていますね。1つの解法で、多元配置実験、直交表、乱塊法・分割法、多水準法・擬水準法などの手法が解けます。

データの構造式さえおさえれば実験計画法は簡単！までは言えません。メリットとデメリットを列挙します。

★データの構造式を活用するメリット

★データの構造式を活用するデメリット

デメリットは、「慣れるまでが大変！でも慣れると究められる」です。実は教科書は、最初の慣れるまでの大変さを少しでも簡単にするために、手法ごとに章立てしているのです。しかし、それでは実験計画法が何をやっているのかが見えにくくなるのです。

デメリットもありますが、デメリットである煩雑な計算や導出過程は、QCプラネッツの各記事で解説していますので、目を通すと早く慣れます。大丈夫です。

データの構造式から実験計画法を分析すると、実験計画法はいろいろ誤解されていることに気が付きます。

実験計画法のすべてを解説しました。

「プーリングの判断基準は何？」や「プーリングしても残差eの分散期待値E[V]が\(σ_e^2\)のまま変わらないのはなぜ？」と疑問に思いませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

実験計画法のプーリングがわかる

• ➀プーリングの判断基準はよく考えるべき
• ②プーリングしても残差eの分散期待値が変化しない理由がわかる

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です！

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➀プーリングの判断基準はよく考えるべき

効果の大小でプーリングを判断することが多い

3因子(Aが4水準、Bが5水準、Cが3水準の計60個)から構成される三元配置実験の分散分析をまとめます。

教科書どおりだと、F値の小さいものは無視できるので、交互作用A×B、B×Cを残差eへプーリングしますね。

プーリングして効果を消してよいかよく考えること

プーリングはよく試験に出るので、練習しておくことは大事ですが、単にF値の大小で残差eに含めるかどうかはよく考えるべきです。

プーリングすべきかどうかは、その効果の意味をよく考えることが大事です。

調べたい効果が小さければ、影響が無いという知見が得られます。それを残差に入れて、無かったことにするのはもったいないです。

私は、F値に関係なく、一旦は全効果の平方和を調べることをおすすめします。
その理由は、各効果の関係を分散の大小から理解して、自分がやりたい実験が適正に計画できているかをチェックすることができるからです。

全体を俯瞰する意味で、全効果の平方和を調べた方がよいです。エクセルで簡単に計算できますから。,

まとめると、

②プーリングしても残差eの分散期待値が変化しない理由がわかる

口で説明するのは簡単

理由は口で言うと簡単です。

大正解です！

でも、数式で説明できますか？

口で言うのは簡単だけど、本当にも残差eの分散の期待値は変化しないのでしょうか？と言い寄られると、ちょっと不安になりますよね。

事例1(三元配置実験でプーリングする前)

プーリングする前の各効果を式で表現すると下表のようになります。

黄色枠を見て、残差eの平方和の期待値が導出できます。
E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((x_{ijk}-\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{･jk}}\)
\(+\bar{x_{i･･}}+\bar{x_{･j･}}+\bar{x_{･･k}}-\bar{\bar{x}})^2\)
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{ij･}}-\bar{ε_{i･k}}-\bar{ε_{･jk}}\)
\(+\bar{ε_{i･･}}+\bar{ε_{･j･}}+\bar{ε_{･･k}}-\bar{\bar{ε}})^2\)
=(a-1)(b-1)(c-1)\(σ_e^2\)
となるのですが、簡単に導出方法を書いておきます。

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{ij･}}-\bar{ε_{i･k}}-\bar{ε_{･jk}}\)
\(+\bar{ε_{i･･}}+\bar{ε_{･j･}}-\bar{ε_{･･k}}-\bar{\bar{ε}})^2\)
を(A)とします。

よって、(A)は
(abc-1)-(a-1)(b-1)-(a-1)(c-1)-(b-1)(c-1)
-(a-1)-(b-1)-(c-1)
=abc-ab-ab-bc+a+b+c-1
=(a-1)(b-1)(c-1)
E[\(S_e\)]＝(a-1)(b-1)(c-1)\(σ_e^2\)
となります。

データの構造式で、全効果を展開すると、添え字が
そのまま自由度になります。

添え字：(ijk-ij-jk-ik+i+j+k-1)
→自由度:(abc-ab-ac-bc+a+b+c-1)

よって、分散の期待値は、自由度で割ります。
残差eの自由度は(a-1)(b-1)(c-1)なので、
E[\(V_e\)]＝\(σ_e^2\)
とシンプルになります。

事例2(三元配置実験でプーリングする場合1)

交互作用A×Bをプーリングします。

交互作用A×Bをプーリングした後の各効果を式で表現すると下表のようになります。

残差eの項が少し変わりました。

黄色枠を見て、残差eの平方和の期待値が導出できます。
E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((x_{ijk}-\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{･jk}}\)
\(+\bar{x_{･･k}})^2\)
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{i･k}}-\bar{ε_{･jk}}\)
\(+\bar{ε_{･･k}})^2\)
=(a-1)(b-1)(c-2)\(σ_e^2\)
となるのですが、簡単に導出方法を書いておきます。

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{ i･k }}-\bar{ε_{･jk }}+\bar{ε_{･･k}})^2\)
を(B)とします。

よって、(B)は
(abc-1)-(a-1)(b-1)-(a-1)(c-1)-(b-1)(c-1)
-(a-1)-(b-1)-(c-1)
=(a-1)(b-1)(c-1)-(a-1)(b-1)
=(a-1)(b-1)(c-2)
E[\(S_e\)]＝(a-1)(b-1)(c-2)\(σ_e^2\)
となります。

(A)の自由度からプーリングした交互作用A×Bの自由度(a-1)(b-1)を引けばOKです。

よって、分散の期待値は、自由度で割ります。
残差eの自由度は(a-1)(b-1)(c-2)なので、

E[\(V_e\)]＝\(σ_e^2\)
とプーリングする前の期待値と等しくなります。

事例2(三元配置実験でプーリングする場合2)

さらに交互作用A×B、B×Cをプーリングします。

交互作用A×B、B×Cをプーリングした後の各効果を式で表現すると下表のようになります。

さらに残差eの項が変わりました。

黄色枠を見て、残差eの平方和の期待値が導出できます。
E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((x_{ijk}-\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{･j･}})^2\)
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{i･k}}-\bar{ε_{･j･}}\)
=(b-1)(ac-2a-2c+3)\(σ_e^2\)
となるのですが、簡単に導出方法を書いておきます。

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{ i･k }}-\bar{ε_{･j･}})^2\)
を(C)とします。

よって、(C)は
(abc-1)-(a-1)(b-1)-(a-1)(c-1)-(b-1)(c-1)
-(a-1)-(b-1)-(c-1)
=(a-1)(b-1)(c-1)-(a-1)(b-1)-(b-1)(c-1)
=(b-1)(ac-2a-2c+3)
E[\(S_e\)]＝(b-1)(ac-2a-2c+3)\(σ_e^2\)
となります。

(A)の自由度からプーリングした交互作用A×B,B×Cの自由度(a-1)(b-1)と(b-1)(c-1)を引けばOKです。

よって、分散の期待値は、自由度で割ります。
残差eの自由度は(b-1)(ac-2a-2c+3)なので、

E[\(V_e\)]＝\(σ_e^2\)
とプーリングする前の期待値と等しくなります。

プーリングすると自由度も下がるので、残差eの分散の期待値は変わりません。実際に式を使って期待値が変わらないことを確認しました。

まとめ

実験計画法のプーリングについて詳細に解説しました。

• ➀プーリングの判断基準はよく考えるべき
• ②プーリングしても残差eの分散期待値が変化しない理由がわかる

実験計画法