カテゴリー: 実験計画法

「実験計画法がよくわからない」、「どの本や、参考書を読めばいいの？」など、疑問に思いませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

本の選び方と推薦図書のご紹介

• ➀あなたの実験計画法の習得度をまず把握する
• ②実験計画法の推薦図書(初級レベル:QC検定®2級レベル)
• ③実験計画法の推薦図書(中級レベル:QC検定®1級レベル)
• ④実験計画法の推薦図書(上級レベル:さらに究めたい方)

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定®１級合格した後、さらに実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。

➀あなたの実験計画法の習得度をまず把握する

3段階に分けます。

1. 初級レベル
2. 中級レベル
3. 上級レベル

どのレベルかを把握しましょう。意地を張る必要はありません。適正な参考書を見つけるために必要です。

初級レベル

中級レベル

上級レベル

品質管理においては、QC検定®があります。QC検定®のランクに合わせると次のようになります。

初級レベル

●QC検定®：QC検定2級®を受験
●公式を暗記して一元、二元配置実験の試験問題が解ける
（内容理解できなくても正解はできるレベル）

中級レベル

●QC検定®：QC検定®1級を受験
●公式を暗記して、直交表、乱塊法、分割法、多水準法、擬水準法、枝分かれ実験の試験問題が解ける
（内容理解できなくても正解はできるレベル）

●資格試験などはなし
●自分で式を作るなど、何も見なくても実験計画法の各手法や特徴が
説明できるレベル

では、推薦図書を紹介します。

②実験計画法の推薦図書(初級レベル:QC検定®2級レベル)

私も、QC検定®2級の対策本だけ解いて合格しましたが、それでも難解でした。

まず、目標は、二元配置実験(繰返し有り)を解き方暗記してもOKなので、解けることです。

推薦図書

シンプルに１冊だけあれば十分です。そして、何度も復習して習得することです。

1回で合格！QC検定2級テキスト＆問題集　品質管理検定／高山均【1000円以上送料無料】 価格：1980円（税込、送料無料) (2021/11/17時点)

上の教科書で二元配置実験が解けるようになったら、演習問題として問題集を推薦します。

過去問題で学ぶQC検定®2級　2021年版 [ 仁科　健 ] 価格：3080円（税込、送料無料) (2021/11/17時点)

実験計画法の本は一切ありません。たった1,2冊ですが、それでも十分です。
私は実験計画法を初めて勉強したときは、上の2冊だけ勉強し、合格率25%のQC検定®2級を一発合格しました。

③実験計画法の推薦図書(中級レベル:QC検定®1級レベル)

推薦図書

QC検定®1級の対策本を最初に薦めます。
広範囲な内容を7,80ページ程度にまとめており、最初に勉強するには良いページ数です。

最初から3,400ページの分厚い参考書は、キツイでしょう。
私は試験終わって数年経ちますが、今もほぼ毎日読んでいます。

QC検定®受検テキスト1級　新レベル表対応版／細谷克也／稲葉太一／竹士伊知郎【3000円以上送料無料】 価格：5280円（税込、送料無料) (2021/11/17時点)

上の本を読んで、理解するとちょっと練習問題が欲しくなるはずです。これがお薦めです。

品質管理の演習問題と解説（手法編　QC検定®試験1級対応） 2015年改定レベル表対応 [ 新藤久和 ] 価格：4950円（税込、送料無料) (2021/11/17時点)

この２冊を勉強すると、実験計画法の問題が頭で理解できなくても正解できるようになります。
それでも、まだ不安なはずです。私もそうでした。

このレベルになっていない人が実験計画法の参考書を持っていても、あまり使いこなせていないはずです。

ここから、実験計画法の専門書を読んでいきましょう。

入門書としてわかりやすく書いていますが、中級レベルな本です。フィッシャーの三原則、データの構造式、乱解法・分割法、処理間差の区間推定などをわかりやすく解説しています。

図解入門よくわかる最新実験計画法の基本と仕組み［第2版］ [ 森田浩 ] 価格：2090円（税込、送料無料) (2021/11/17時点)

ページ数が少なく、わかりやすく解説しています。特に、平方和の分解、ラテン方格法と実験計画法の違いを分かりやすく解説しており、QCプラネッツの記事のベースにもなっています。

【送料無料】 よくわかる実験計画法 / 中村義作 【本】 価格：2530円（税込、送料無料) (2021/11/17時点)

実験計画法を自信もって学んだといえるレベルに誘ってくれる１冊です。一元～多元配置、乱解法、分割法、直交表、線点図、多水準表、擬水準法の分散分析、分散の期待値の導出の過程をわかりやすく解説しています。

品質管理のための実験計画法テキスト改訂新版 [ 中里博明 ] 価格：4620円（税込、送料無料) (2021/11/17時点)

これらの本を読破すると、「実験計画法が分かる」と自信もって言えますし、ＱＣ検定®１級合格は確実でしょう。

④実験計画法の推薦図書(上級レベル:さらに究めたい方)

③の中級レベルでは、ＱＣ検定®１級合格レベルまで行くんだから十分だ！
そうなんですけど、中級レベルまで達して、ＱＣ検定®１級合格しても、
自分で使いこなせるレベルにはなっていません。

私がそうでした。
ＱＣ検定®１級合格したら、周囲がざわめきましたが
実験計画法って結局何をやっているのか。まだわからないレベルでした。

実は、まだ登るべき山があるので、紹介します。

QC検定®１級合格しても７合目だった。。。

まだまだ、わからないことだらけでした。それを解決する参考書を紹介します。この上級レベルを超えて作られた記事をQCプラネッツでは紹介しています。

永田先生の参考書は必須です。分厚いですが、分散分析の導出など計算でつまづきやすいポイントをたくさん書いています。現在、本屋で販売している中で最も濃密な１冊です。サタースウェイトの等価自由度も丁寧に解説しています。QCプラネッツではさらに丁寧に解説した記事があります。

入門実験計画法 [ 永田靖 ] 価格：4620円（税込、送料無料) (2021/11/17時点)

絶版ですが、誰もが思うなぜなぜな疑問をたくさん解説しています。データの構造式から区間推定の式の導出、直交表の繰返し使う場合の残差の扱いなどがわかりやすく解説しています。

【中古】 疑問に答える　実験計画法問答集 ／富士ゼロックスQC研究会【編著】 【中古】afb 価格：350円（税込、送料別) (2021/11/17時点)

古書になりますが、分散分析表の分散の期待値E[V]の導出過程がわかりやすく解説しています。実験計画法をマスターするには、期待値E[V]の導出過程が自由自在にできることです。

初等実験計画法テキスト改訂版 [ 石川馨 ] 価格：3080円（税込、送料無料) (2021/11/17時点)

最後に、実験計画法といえば、田口先生です。田口先生の本も上下セットで一度は読んでおきたいです。実験計画法は多くても3因子までですが、4因子、5因子でも計算するガッツを身につけると、各手法の違いや特徴が簡単にわかるようになります。

実験計画法（上）第3版　復刻版 [ 田口玄一 ] 価格：8800円（税込、送料無料) (2021/11/17時点)

【中古】実験計画法 下 第3版/丸善出版/田口玄一（単行本） 価格：4219円（税込、送料無料) (2021/11/17時点)

最後に、QCプラネットが提供する演習問題集を紹介します。たくさんの良書を研究し、１つの手法で実験計画法をマスターできる演習問題集４７題を作成しました。上級レベル向けではありますが、実験計画法をマスターしたい方は必須な問題集です。この問題集がマスターしたら、どの参考書でも簡単に読めるレベルになります。

【まとめ9】実験計画法を究める演習問題集を販売します 実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集を作成しました。是非本記事を読んで、勉強しましょう。

まとめ

実験計画法の推薦図書を紹介しました。難しい実験計画法がマスターできる一助になれば幸いです。

• ➀あなたの実験計画法の習得度をまず把握する
• ②実験計画法の推薦図書(初級レベル:QC検定®2級レベル)
• ③実験計画法の推薦図書(中級レベル:QC検定®1級レベル)
• ④実験計画法の推薦図書(上級レベル:さらに究めたい方)

実験計画法

「まとめ1から8まで読んだけど、内容がマスターできる問題集はないの？」、など、疑問に思いませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①演習問題集でマスターしてほしいポイント
• ②実験計画法とは何か？のまとめ
• ③演習問題を公開します
• ④【問題集ご購入方法】

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。

過去、現在の良書をすべて研究し、１つの軸で実験計画法をすべて解ける方法がわかりました。

でも、大丈夫！

という、ストイックな問題集です（笑）

①演習問題集でマスターしてほしいポイント

教科書、参考書の問題点

下表にまとめます。

表からわかることは、横方向だけしか見ておらず、縦方向（各手法間の関係）を全く見ていません。実験計画法を頭の中で整理したり、まとめりすることができなくしています。

QCプラネッツの考え方

はっきり言おう！実験計画法とは、

1. データの構造式から入る
2. 平方和、分散分析は正直どうでもいい
3. 本質は誰も計算しない分散の期待値E[V]
4. データの構造式とE[V]が計画によってどう変化するかを評価するのが実験計画法

下表にまとめます。

②実験計画法とは何か？のまとめ

上表でQCプラネッツのまとめ方を紹介しました。実験計画法の勉強方法をまとめます。

1. 実験計画法とは、調べたい効果がデータの影響を与えているかを調べるもの
2. 実験計画法の中心は、データの構造式であること
3. さまざまな手法は、データの構造式の一部の項が変化したに過ぎない
4. 自由度、分散分析、分散の期待値E[V]、区間推定、有効繰返し数はすべてデータの構造式から導出できる

この考えで、ブログも演習問題集も作成しています。

③演習問題を公開します

実験計画法で手薄になりがちな検定の仮説をきちっとおさえましょう。

それぞれの手法による結果の違いを確認します。なお、(1)(2)は同じ結果になるとすぐに気づいてほしいです。

4因子はなかなかボリュームがありますが、本演習問題ではすらすら書けるようになります。(1)(2)(3)において、データ構造式のどの項が変わるのかを意識して比較しましょう。

直交表の割当列が数式で決まっていることがわかるのは、QCプラネッツだけです。しかも、数学的に証明できます。

データの構造式から、どんな効果、残差でも自由度は１つの方法で導出できます。

問題文は２行ですが、平均、A,B,C,D,AB,…,BCD,eの各ijkl成分の値を導出します。教科書は二元配置実験までですが、QCプラネッツは四元配置実験まで攻めます！

残差の平方和・分散の期待値が端折らず導出過程を解説しています。

すべての効果の分散の期待値を導出します。導出過程と(1)(2)(3)の違いを比較します。ここまで来たら、データの構造式を書いただけで、分散分析、分散の期待値、区間推定が１つの解法ですべての実験で解けるようになります。

2方分割法の分散分析、分散の期待値、区間推定を演習するのはこの演習問題集だけでしょう。サタースウェイトの等価自由度もどんどん使って計算します。

➃【問題集ご購入方法】

本ブログからのご購入

ご購入いただけます。ご購入後、ＱＣプラネッツからアクセスサイト先（アクセスのみ可）をご案内いたします。データの拡散を防ぐため、ダウンロードと印刷は不可とさせていただきます。

ご購入後、QCプラネッツからアクセス先を連絡申し上げます。

2500円/1冊とさせていただきます。ご購入よろしくお願いいたします。

まとめ

実験計画法の演習問題集を販売しますご購入よろしくお願いいたします。。

• ①演習問題集でマスターしてほしいポイント
• ②実験計画法とは何か？のまとめ
• ③演習問題を公開します
• ③【問題集ご購入方法】

実験計画法

「実験計画法がよくわからない」、「実験計画法は多くの教科書があるけど、どれもよくわからない」など、疑問に思いませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

最初におさえておきたいポイント

• ➀QCプラネッツの解説ブログを紹介します！
• ②ブログだった記事を冊子にまとめました！
• ③実験計画法はなぜ難しいのか？
• ④実験計画法を究める学び方を開発
• ⑤データの構造式をおさえたら実験計画法は究められる
• ⑥よく誤解される実験計画法あるある

教科書の専門用語を丸暗記しただけでは、すぐに実験計画法がわからなくなります。上の5つが自分の言葉で説明できることが重要です。不安ならば、記事を読んで理解を深めていきましょう。

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定®１級合格した後、さらに実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。

QC模試受験しよう！

ＱＣ模試（品質技量の腕試し＆QC検定®対策） 品質技量の実力を試したい！ QC検定®合格対策に活用したい！ 1,000円で提供します！ 公式、暗記で終わらず、自分のものにできているかを試すオリジナル試験問題です！

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QC検定®１級、過去全回分の問題と実験計画法参考書を研究して、作り上げたオリジナル良問30題を1500円で提供します。ぜひご購入、学習して合格しましょう。

究める！実験計画法　演習問題を販売します！

実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

➀QCプラネッツの解説ブログを紹介します！

【簡単】実験計画法とは何かがすぐわかる【初心者向け】 実験計画法が難しい、何を算出しているかわからない、など困っていませんか？本記事では、実験計画法の入り口がすぐ理解でき、分散分析、主効果、誤差、残差など実験計画法の基本がすぐ理解できます。早く実験計画法をマスターした方は必見です。

【簡単】実験計画法のフィッシャー3原則がすぐわかる方法 実験計画法のフィッシャー3原則を丸暗記だけしているあなた。どういう意味か説明できますか？本記事では、実験計画法のフィッシャー3原則がなぜ必要なのかをわかりやすく解説します。実験計画法のフィッシャー3原則を理解したい方は必見です。

【本記事限定】実験計画法では実験回数を減らすために直交性が必須 実験計画法の直交表はなぜ直交しなければならないのか？直交性とは何か？なぜ直交性があれば実験回数が減らせるのか？などが説明できずに困っていませんか？本記事では実験計画法の直交性について解説します。早く実験計画法をマスターした方は必見です。

【簡単】実験計画法の交絡(別名)とはキャラがかぶっていること 実験計画法の交絡(別名)が何か？交絡するメリットは何かを知っていますか？本記事では、実験計画法の交絡(別名)を解説します。実験計画法のメリットである実験回数が減らせる理由など、交絡について知りたい方は必見です。

【簡単】実験回数を減らせるラテン方格法がわかる 実験計画法のラテン方格法やグレコ・ラテン方格法とは何か説明できますか？本記事では、実験計画法でたまに出てくるが難しいラテン方格法やグレコ・ラテン方格法を解説します。実験回数を減らす手法としてラテン方格法や直交表との違いを早く理解したい方は必見です。

実験計画法のプーリングがわかる 実験計画法のプーリングをしてよい理由がわかりますか？プーリングの判断基準やプーリングしても変わらないものが何かわかりますか？本記事では、実験計画法のプーリングについて解説します。プーリングした場合の分散分析を導出する方法が知りたい方は必見です。

二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】 実験計画法で、平方和の分解や主効果・交互作用・残差の各値の計算ができないとか、主効果、交互作用、残差の和が0になる理由がわからないなど困っていませんか？本記事は、二元配置実験を例に、データの分解を解説し、主効果・交互作用・残差の値や平方和の分解を解説します。実験計画法を学び始めたあなたは必見です。

【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる 実験計画法が難しい、多元配置実験、乱塊法、分割法、などたくさんの手法を学ぶのが大変など困っていませんか？本記事では、データの構造式さえ理解すれば実験計画法がすぐマスタできるように、わかりやすく解説します。早く実験計画法をマスターした方は必見です。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる 実験計画法が難しい、分散分析した後、最適条件の母平均の点推定を求める式が、実験によって変わるため、公式暗記に困っていませんか？本記事では、データの構造式さえ理解すれば、すべての実験において、母平均の点推定値を求める式が導出できます。早く実験計画法をマスターした方は必見です。

【重要】データの構造式から有効反復数が導出できる 実験計画法が難しく、分散分析した後、最適条件の母平均の点推定から有効反復数の導出方法がわからず、田口の式や伊奈の式を丸暗記していませんか？本記事では、データの構造式さえ理解すれば、すべての実験において、母平均の点推定値から有効反復数が導出できますことを解説します。早く実験計画法をマスターした方は必見です。

サタースウェイトの等価自由度が導出できる【本記事限定】 実験計画法の、サタースウェイトの等価自由度の導出ができますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事は、サタースウェイトの等価自由度を導出し、乱塊法と分割法での活用方法を解説します。サタースウェイトの等価自由度をマスターしたい方は必見です。

一元配置実験の分散分析・区間推定が解ける【必見】 実験計画法の、一元配置実験の分散分析、分散の期待値の導出、主効果・交互作用の区間推定の導出ができますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事は、一元配置実験の分散分析、分散の期待値の導出、区間推定の導出を解説します。分散分析、期待値の導出、区間推定をマスターしたい方は必見です。

三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】 実験計画法の、三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析、分散の期待値の導出、主効果・交互作用の区間推定の導出ができますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事は、三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析、分散の期待値の導出、区間推定の導出を解説します。分散分析、期待値の導出、区間推定をマスターしたい方は必見です。

枝分かれ実験(直列型)の分散分析・区間推定が解ける【必見】 実験計画法の、枝分かれ実験の分散分析、分散の期待値の導出、主効果・交互作用の区間推定の導出ができますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事は、直列型の枝分かれ実験の分散分析、分散の期待値の導出、区間推定の導出を解説します。分散分析、期待値の導出、区間推定をマスターしたい方は必見です。

【簡単】2水準の直交表のつくり方【必見】 実験計画法の直交表のつくり方や平方和の分解や水準の数の求め方をご存知ですか？本記事では、教科書では書いていない直交表の構成やデータの構造式から直交表が作れることをわかりやすく解説します。直交表を鵜呑みでわかった気で済ませているが不安な方は必見です。

【本記事限定】直交表の実験回数と割当て列数が決まっている理由がわかる【必見】 実験計画法の直交表の列数はなぜ１つに決まっているの？と説明できますか？本記事では、実験計画法の直交表の列数を求める方法を解説します。本記事しか書いていない、直交表の知見を広げたい方は必見です。

実験計画法の線点図がわかる【必見】 直交表によく使う、線点図について説明できますか？本記事では、直交表への割当て方に役立つ線点図の書き方と種類について解説し、線点図を活用するときの注意点を紹介します。線点図をマスターしたい方は必見です。

【本記事限定】3水準以上の直交表には交互作用が複数列ある理由 実験計画法の直交表で3水準以上なら交互作用列が複数必要な理由が説明できますか？本記事では、データの構造式から直交表の交互作用列が複数必要な理由を解説します。実験計画法の直交表をもっと知りたい方は必見です。

【本記事限定】直交表の各列の平方和の式は自力で導出できる【必見】 本記事では、実験計画法の直交表の各列の平方和を導出する方法を詳しく解説します。直交表の知見を広げたい方は必見です。

②ブログだった記事を冊子にまとめました！

以前、ブログ解説していましたが、１つのPDFにまとめました。勉強に役立ててください。
●【QCプラネッツ実験計画法プレミアム勉強プリント】リンク

内容は以下です。応用レベルをわかりやすく解説しています。130ページあります。

●【QCプラネッツ実験計画法プレミアム勉強プリント】リンク

③実験計画法はなぜ難しいのか？

難しくしている理由

1. 個々の手法をそれぞれ理解&暗記するような教科書の構成になっているから
2. 昭和の時代から実験計画法の教科書の構成は決まっており、今更変えにくい
3. 著者の書き方や解き方の癖があり、複数の教科書を比較するとかえって混乱する

私は、日本にある実験計画法の教科書をほぼ全て読破しました。どの本も章立てが同じです。出版元が学会や規格団体なので、構成をそろえたのでしょう。それが難しくしている理由だと思います。

よくある教科書の構成

上表のように、第１章で、因子、水準、交互作用、残差、データの構造式などの基本を一通り解説し、
第2章以降は、章ごとにそれぞれの解法を解説するパターンがほとんどです。

よくある教科書のメリット

よくある教科書のデメリット

実際、私自身、多くの教科書を読んで研究しましたが、著者の癖が最後まで苦労しました。

④実験計画法を究める学び方を開発

実験計画法を究める方法を提案

1. １つの解法でどの手法も解析できる
2. １人で書き上げ、著者によるばらつきを無くす
3. みんなのすぐ手が届く所に提供する

この3つが、重要と考え、ブログに挙げると決めました。

再掲しますが、わかりやく実験計画法を究める順番を提示します。この順番でQCプラネッツは解説しています。

⑤データの構造式をおさえたら実験計画法は究められる

データの構造式をおさえる

実験計画法は、分散分析表を作ることが重要と思われがちですが、実は違います。データの構造式をおさえてください。QCプラネッツは、実験計画法の全手法とも、データの構造式から入ります。

なぜデータの構造式が最重要なのか？

自分で立てたモデル式である、データの構造式が自由度、分散分析から推定区間などすべての分析結果を導きます。データの構造式の特徴によって手法の個性が出ているので、手法の違いはデータの構造式を比較すればよく理解できます。

データの構造式を自分で立てて、手法によって比較することによって、実験計画法の本質が理解できるようになります。これをしないと、意味が理解できないややこしい問題となるだけです。

データの構造式を活用した実験計画法の攻め方

手法ごとに暗記せず、どの手法でも次の攻め方で解いていきます。

1. データの構造式を作る
2. データの構造式から自由度を算出
3. データの構造式から平方和を分解
4. データの構造式から分散分析、分散の期待値を導出
5. データの構造式から工程平均μ、繰返し数neを導出

手順1から5にすべて、「データの構造式」が入っていますね。1つの解法で、多元配置実験、直交表、乱塊法・分割法、多水準法・擬水準法などの手法が解けます。

データの構造式を活用するメリットとデメリット

データの構造式さえおさえれば実験計画法は簡単！までは言えません。メリットとデメリットを列挙します。

データの構造式を活用するメリット

1. 手法どおしの比較ができる。なぜなら、いろいろな手法(多元配置実験、乱塊法、分割法、直交表など)はデータの構造式の一部が変化しただけだから。
2. データの構造式が変わると、分散分析や分散の期待値E[V]の何が変化するかがすぐわかる
3. データの構造式がわかると実験計画法の本質がわかる

データの構造式を活用するデメリット

1. データの構造式から分散の期待値E[V]の導出が文字式が多く、慣れるまでが大変
2. 毎回データの構造式書くのが面倒

デメリットは、「慣れるまでが大変！でも慣れると究められる」です。実は教科書は、最初の慣れるまでの大変さを少しでも簡単にするために、手法ごとに章立てしているのです。しかし、それでは実験計画法が何をやっているのかが見えにくくなるのです。

デメリットもありますが、デメリットである煩雑な計算や導出過程は、QCプラネッツの各記事で解説していますので、目を通すと早く慣れます。大丈夫です。

⑥よく誤解される実験計画法あるある

データの構造式から実験計画法を分析すると、実験計画法はいろいろ誤解されていることに気が付きます。

まとめ

実験計画法のすべてを解説しました。

• ➀QCプラネッツの解説ブログを紹介します！
• ②ブログだった記事を冊子にまとめました！
• ③実験計画法はなぜ難しいのか？
• ④実験計画法を究める学び方を開発
• ⑤データの構造式をおさえたら実験計画法は究められる
• ⑥よく誤解される実験計画法あるある

実験計画法

「プーリングの判断基準は何？」や「プーリングしても残差eの分散期待値E[V]が\(σ_e^2\)のまま変わらないのはなぜ？」と疑問に思いませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

実験計画法のプーリングがわかる

• ➀プーリングの判断基準はよく考えるべき
• ②プーリングしても残差eの分散期待値が変化しない理由がわかる

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です！

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QC検定®１級、過去全回分の問題と実験計画法参考書を研究して、作り上げたオリジナル良問30題を1500円で提供します。ぜひご購入、学習して合格しましょう。

究める！実験計画法　演習問題を販売します！

実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

➀プーリングの判断基準はよく考えるべき

効果の大小でプーリングを判断することが多い

3因子(Aが4水準、Bが5水準、Cが3水準の計60個)から構成される三元配置実験の分散分析をまとめます。

教科書どおりだと、F値の小さいものは無視できるので、交互作用A×B、B×Cを残差eへプーリングしますね。

プーリングして効果を消してよいかよく考えること

プーリングはよく試験に出るので、練習しておくことは大事ですが、単にF値の大小で残差eに含めるかどうかはよく考えるべきです。

プーリングすべきかどうかは、その効果の意味をよく考えることが大事です。

調べたい効果が小さければ、影響が無いという知見が得られます。それを残差に入れて、無かったことにするのはもったいないです。

私は、F値に関係なく、一旦は全効果の平方和を調べることをおすすめします。
その理由は、各効果の関係を分散の大小から理解して、自分がやりたい実験が適正に計画できているかをチェックすることができるからです。

全体を俯瞰する意味で、全効果の平方和を調べた方がよいです。エクセルで簡単に計算できますから。,

まとめると、

②プーリングしても残差eの分散期待値が変化しない理由がわかる

口で説明するのは簡単

理由は口で言うと簡単です。

大正解です！

でも、数式で説明できますか？

口で言うのは簡単だけど、本当にも残差eの分散の期待値は変化しないのでしょうか？と言い寄られると、ちょっと不安になりますよね。

事例1(三元配置実験でプーリングする前)

プーリングする前の各効果を式で表現すると下表のようになります。

黄色枠を見て、残差eの平方和の期待値が導出できます。
E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((x_{ijk}-\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{･jk}}\)
\(+\bar{x_{i･･}}+\bar{x_{･j･}}+\bar{x_{･･k}}-\bar{\bar{x}})^2\)
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{ij･}}-\bar{ε_{i･k}}-\bar{ε_{･jk}}\)
\(+\bar{ε_{i･･}}+\bar{ε_{･j･}}+\bar{ε_{･･k}}-\bar{\bar{ε}})^2\)
=(a-1)(b-1)(c-1)\(σ_e^2\)
となるのですが、簡単に導出方法を書いておきます。

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{ij･}}-\bar{ε_{i･k}}-\bar{ε_{･jk}}\)
\(+\bar{ε_{i･･}}+\bar{ε_{･j･}}-\bar{ε_{･･k}}-\bar{\bar{ε}})^2\)
を(A)とします。

よって、(A)は
(abc-1)-(a-1)(b-1)-(a-1)(c-1)-(b-1)(c-1)
-(a-1)-(b-1)-(c-1)
=abc-ab-ab-bc+a+b+c-1
=(a-1)(b-1)(c-1)
E[\(S_e\)]＝(a-1)(b-1)(c-1)\(σ_e^2\)
となります。

データの構造式で、全効果を展開すると、添え字が
そのまま自由度になります。

添え字：(ijk-ij-jk-ik+i+j+k-1)
→自由度:(abc-ab-ac-bc+a+b+c-1)

よって、分散の期待値は、自由度で割ります。
残差eの自由度は(a-1)(b-1)(c-1)なので、
E[\(V_e\)]＝\(σ_e^2\)
とシンプルになります。

事例2(三元配置実験でプーリングする場合1)

交互作用A×Bをプーリングします。

交互作用A×Bをプーリングした後の各効果を式で表現すると下表のようになります。

残差eの項が少し変わりました。

黄色枠を見て、残差eの平方和の期待値が導出できます。
E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((x_{ijk}-\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{･jk}}\)
\(+\bar{x_{･･k}})^2\)
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{i･k}}-\bar{ε_{･jk}}\)
\(+\bar{ε_{･･k}})^2\)
=(a-1)(b-1)(c-2)\(σ_e^2\)
となるのですが、簡単に導出方法を書いておきます。

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{ i･k }}-\bar{ε_{･jk }}+\bar{ε_{･･k}})^2\)
を(B)とします。

よって、(B)は
(abc-1)-(a-1)(b-1)-(a-1)(c-1)-(b-1)(c-1)
-(a-1)-(b-1)-(c-1)
=(a-1)(b-1)(c-1)-(a-1)(b-1)
=(a-1)(b-1)(c-2)
E[\(S_e\)]＝(a-1)(b-1)(c-2)\(σ_e^2\)
となります。

(A)の自由度からプーリングした交互作用A×Bの自由度(a-1)(b-1)を引けばOKです。

よって、分散の期待値は、自由度で割ります。
残差eの自由度は(a-1)(b-1)(c-2)なので、

E[\(V_e\)]＝\(σ_e^2\)
とプーリングする前の期待値と等しくなります。

事例2(三元配置実験でプーリングする場合2)

さらに交互作用A×B、B×Cをプーリングします。

交互作用A×B、B×Cをプーリングした後の各効果を式で表現すると下表のようになります。

さらに残差eの項が変わりました。

黄色枠を見て、残差eの平方和の期待値が導出できます。
E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((x_{ijk}-\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{･j･}})^2\)
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{i･k}}-\bar{ε_{･j･}}\)
=(b-1)(ac-2a-2c+3)\(σ_e^2\)
となるのですが、簡単に導出方法を書いておきます。

\((ε_{ijk}-\bar{ε_{ i･k }}-\bar{ε_{･j･}})^2\)
を(C)とします。

よって、(C)は
(abc-1)-(a-1)(b-1)-(a-1)(c-1)-(b-1)(c-1)
-(a-1)-(b-1)-(c-1)
=(a-1)(b-1)(c-1)-(a-1)(b-1)-(b-1)(c-1)
=(b-1)(ac-2a-2c+3)
E[\(S_e\)]＝(b-1)(ac-2a-2c+3)\(σ_e^2\)
となります。

(A)の自由度からプーリングした交互作用A×B,B×Cの自由度(a-1)(b-1)と(b-1)(c-1)を引けばOKです。

よって、分散の期待値は、自由度で割ります。
残差eの自由度は(b-1)(ac-2a-2c+3)なので、

E[\(V_e\)]＝\(σ_e^2\)
とプーリングする前の期待値と等しくなります。

プーリングすると自由度も下がるので、残差eの分散の期待値は変わりません。実際に式を使って期待値が変わらないことを確認しました。

まとめ

実験計画法のプーリングについて詳細に解説しました。

• ➀プーリングの判断基準はよく考えるべき
• ②プーリングしても残差eの分散期待値が変化しない理由がわかる

実験計画法

「分散分析から有効反復数を求める方法がわからない」、「田口の式や伊奈の式がうまく暗記できない」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

データの構造式から有効反復数が導出できる

• ➀データの構造式から有効反復数を導出する方法
• ②田口の式、伊奈の式の紹介
• ③有効反復数の導出事例

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。

本記事で扱う、データの構造式や点推定は、関連記事【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できるにあります。計算の流れを理解するために先に読んでください。

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➀データの構造式から有効反復数を導出する方法

導出方法が理解できたら、公式暗記は不要になります。
田口の式、伊奈の式を使えば有効反復数はすぐ求まりますが、
自力で有効反復数を求めることができます

【重要】有効反復数の導出方法

• (A)データの構造式を用意する(関連記事)
• (B)母平均の式を作る(関連記事)
• (C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す
• (D)戻したデータの構造式の分散を求める

(A)(B)は、関連記事【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できるにあります。(C)(D)は本記事です。

この4つの流れで、多元配置実験、直交表、乱塊法、分割法、多水準法などすべてのパターンに適応できます。

4つの流れを理解して、速く計算したくなったら、田口の式や伊奈の式に代入でしましょう。

二元配置実験の場合

(A)データの構造式を用意する(関連記事)
\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+(αβ)_{ij}\)+\(e_{ijk}\)

とします。因子A,Bと繰り返しの自由度はそれぞれa,b,cとします。
最適条件\(μ(A_i B_j)\)の点推定値の有効反復数を求めます。
ここで、\((αβ)_{ij}\)を無視した場合を紹介します。
その方が導出過程が理解しやすいからです。

(B)母平均の式を作る(関連記事)
\(μ(A_i B_j)\)
=\(μ+α_i+β_j\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+\((\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}})\)+\((\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}})\)
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)

(C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す
\(μ(A_i B_j)\)
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
=(\(μ+α_i+\bar{e_{i‥}}\))
+(\(μ+β_j+\bar{e_{･j･}}\))
-(\(μ+\bar{\bar{e}}\))
=(\(μ+α_i+β_j+\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}}\))

(D)戻したデータの構造式の分散を求める
V[\(μ(A_i B_j)\)]
=V[(\(μ+α_i+β_j+\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}}\))]
=V[(\(\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}}\))]
= \((\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{abc})σ_e^2\)
=\(\frac{a+b-1}{abc}σ_e^2\)

初めて見ると難しそうと思いますが、この(A)から(D)の方法で、全実験パターンで使えます。
以下応用事例を挙げますが、同じ方法で解説します。

②田口の式、伊奈の式の紹介

田口の式、伊奈の式の紹介

田口の式、伊奈の式

二元配置実験の場合を田口の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\)
\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1+(a-1)+(b-1))}{abc}\)
=\(\frac{a+b-1}{abc}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

二元配置実験の場合を伊奈の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=点推定量の式で、各合計にかかっている係数の和
\(\frac{1}{n_e}\)=\((\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{abc})\)
=\(\frac{a+b-1}{abc}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

田口の式、伊奈の式を使わずにデータの構造式から導出する理由

田口の式、伊奈の式は便利です。でも、
(i)式を理解せず、暗記公式しても、実験計画法はマスターできない。
(ii)データの構造式から実験計画法はすべてがわかることが本質。
(iii)分割法、多水準法など応用事例になると公式が増加。
に注意しましょう。

また、
田口の式：無視しない要因の自由度の和
伊奈の式：点推定量の式で、各合計にかかっている係数の和
が日本語を式にするのは、慣れるまでは結構ミスります。

ならば、遠回りしてもデータの構造式から有効反復数を
1パターンの解法でどんな応用事例も対処できます。

次に、複雑にした応用事例を解説します。

③有効反復数の導出事例

どんどん、複雑なデータの構造式にしますが、導出方法は同じです。もう一度、書いておきます。

【重要】有効反復数の導出方法

• (A)データの構造式を用意する(関連記事)
• (B)母平均の式を作る(関連記事)
• (C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す
• (D)戻したデータの構造式の分散を求める

多因子を割り当てた直交表の事例

同じデータの構造式は、関連記事【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できるにあります。

(A)から(D)の方法で導出します。全く同じ方法で攻略できるので大丈夫です。

(A)データの構造式を用意する(関連記事)
x=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)+e

(B)母平均の式を作る(関連記事)
μ(ABCDF)
=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_a}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_b}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_c}-\bar{\bar{x}}\))
+(\(\bar{x_d}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_f}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{ab}}-\bar{x_a}-\bar{x_b}+\bar{\bar{x}}\))
+(\(\bar{x_{cd}}-\bar{x_c}-\bar{x_d}+\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{ab}}\)+\(\bar{x_{cd}}\)+\(\bar{x_f}\)-2\(\bar{\bar{x}}\)

(C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す

慣れると、変量因子や残差項のみを書きましょう。
主効果や交互作用の項は書いても、分散を導出する時は0になるので、
最初から書かなくてもOKです。

μ(ABCDF)
=\(\bar{x_{ab‥}}+\bar{x_{cd‥}}+\bar{x_{f･‥}}-2\bar{\bar{x}}\)
=\(\bar{e_{ab‥}}+\bar{e_{cd‥}}+\bar{x_{e･‥}}-2\bar{\bar{e}}\)

直交表L16は添字4種類ですが、a,b,c,d,fの5種類を割当てています。
4種類から割り当てた種類を引いた分を・で表記します。

(D)戻したデータの構造式の分散を求める
V[μ(ABCDF)]
=V[\(\bar{e_{ab‥}}+\bar{e_{cd‥}}+\bar{x_{e･‥}}-2\bar{\bar{e}}\)]
= \((\frac{4}{16}+\frac{4}{16}+\frac{2}{16}-2\frac{1}{16})σ_e^2\)
=\(\frac{1}{2}σ_e^2\)

(E)田口の式、伊奈の式からも導出

田口の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\)
=\(\frac{1+φ_A+φ_B+φ_C+φ_D +φ_F+φ_AB +φ_CD}{16}\)
=\(\frac{1+1+1+1+1+1+1+1}{16}\)=\(\frac{1}{2}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

伊奈の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=点推定量の式で、各合計にかかっている係数の和
V[μ(ABCDF)]=V[μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)]
=8×\(\frac{1}{16}σ_e^2\)
\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1}{2}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

乱塊法と分割法を使った事例

同じデータの構造式は、関連記事【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できるにあります。

乱塊法と分割法のセットとなる、応用事例です。難しそうですが、
(A)から(D)の方法で導出します。全く同じ方法で攻略できるので大丈夫です。

(A)データの構造式を用意する(関連記事)
\(x_{ijk}\)=μ+\(γ_k+α_i+e_{(1)ik}+β_j+e_{(2)ijk}\)

(B)母平均の式を作る(関連記事)
μ(A_iB_j)
=\(μ+α_i+β_j\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)

(C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す
μ(A_iB_j)
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
=\((μ+\bar{r}+α_i+\bar{e_{(1)i･}}+\bar{e_{(2)i･･}})\)
+\((μ+\bar{r}+\bar{\bar{e_{(1)}}}+β_j+\bar{e_{(2)･j･}})\)
-\((μ+\bar{r}+\bar{\bar{e_{(1)}}}+\bar{ e_{(2)}})\)
=\((μ+\bar{r}+α_i+β_j+\bar{e_{(1)i･}})\)
+\((\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{ e_{(2)}})\)

(D)戻したデータの構造式の分散を求める
V[μ(A_iB_j)]
=V[\((μ+\bar{r}+α_i+β_j+\bar{e_{(1)i･}})\)
+\((\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{ e_{(2)}})\)]
= V[\((\bar{r} +\bar{e_{(1)i･}})\)
+\((\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{ e_{(2)}})\)]
=\(\frac{1}{c}\widehat{σ_R^2}+\frac{1}{c}\widehat{σ_{e(1)}^2}+(\frac{a+b-1}{abc})\widehat{σ_{e(2)}^2}\)

ここで、分散分析表を作ります。必要なのは、効果、自由度、分散の期待値E[V]です。

さっと作れますか？　関連記事分割法(2因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】を確認しましょう。

分散分析表

分散分析表から分散の推定値を導出します。

から、次を導出します。
\(\widehat{σ_{e(2)}^2}\)= V_e(2)
\(\widehat{σ_{e(1)}^2}\)=\(\frac{1}{b}\)( V_e(1)– V_e(2))
\(\widehat{σ_R^2}\)=\(\frac{1}{ab}\)( V_R– V_e(1))

まとめると
V[μ(A_iB_j)]
=\(\frac{1}{c}\widehat{σ_R^2}+\frac{1}{c}\widehat{σ_{e(1)}^2}+(\frac{a+b-1}{abc})\widehat{σ_{e(2)}^2}\)

=\(\frac{1}{abc}\) V_R+\(\frac{a-1}{abc}\) V_e(1)+\(\frac{b-1}{abc}\) V_e(2)

分割法の有効反復数の導出は、慣れるまでは大変かもしれません。
なので、田口の式、伊奈の式から導出しましょう。

(E)田口の式、伊奈の式からも導出

田口の式で導出

乱塊法＋分割法になると変量因子Rや残差eの種類が増えるため、田口の式を拡張する必要があります。
これも結構、ややこしい話ですけど。

反復因子Rを無視しないので、
V[μ(A_iB_j)]
=\(\frac{1}{全実験回数}\) V_R+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\) V_e(1)
+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\) V_e(2)

=\(\frac{1}{abc}\) V_R+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和=a-1)}{全実験回数}\) V_e(1)
+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和=b-1)}{全実験回数}\) V_e(2)
=\(\frac{1}{abc}\) V_R+\(\frac{a-1}{abc}\) V_e(1)+\(\frac{b-1}{abc}\) V_e(2)
と一致します。

伊奈の式で導出

分割法になると、データの構造式からの有効反復数の導出が大変です。
なので、田口の式や伊奈の式に頼りたいですが、公式も乱塊法や分割法によって
式を変形する必要があります。

分割法の有効反復数はデータの構造式から導出しても、
公式暗記しても難しいです。
ですから、導出過程をよく見て、本質を理解してください。

まとめ

データの構造式から有効反復数の導出方法を解説しました。田口の式、伊奈の式も活用できますが、実験計画法はすべてデータの構造式の変形で解けます。有効反復数の導出方法は１つだけなので、何度も読んで確実に身につけてください。

• ➀データの構造式から有効反復数を導出する方法
• ②田口の式、伊奈の式の紹介
• ③有効反復数の導出事例

実験計画法

「サタースウェイトの等価自由度の導出が難解でわからない、解けない」、「サタースウェイトの等価自由度の式の意味がわからない」など、意味もわからず、サタースウェイトの等価自由度の式を暗記で片付けていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

サタースウェイトの等価自由度の導出

• ①サタースウェイトの等価自由度がなぜ必要かがわかる
• ②サタースウェイトの等価自由度の導出を解説

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。サタースウェイトの等価自由度の導出過程を一切端折らず解説しますので必読です。

①サタースウェイトの等価自由度がなぜ必要かがわかる

サタースウェイトの等価自由度

サタースウェイトの等価自由度が必要な場合

サタースウェイトの等価自由度が必要な理由

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
2. 誤差eの自由度φ_eである。
3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

Veが複数項ある場合に、サタースウェイトの等価自由度が必要になります。

Veが複数項ある場合

1. 分割法で、残差eが複数ある場合
2. 乱塊法の反復因子Rのような変量因子を含む場合

サタースウェイトの等価自由度の値

サタースウェイトの等価自由度をφ^*と表記しますと、
φ^*=12.21とか小数をふくみます。
t分布表には自由度は整数のみなので、
φ=12,13のt分布の値を読み取り、
t(12)②サタースウェイトの等価自由度の導出を解説

教科書や他のwebサイトから、最も詳細な解説をしているのが、｢入門　実験計画法 / 永田靖｣P353にあります。

でも、一部の導出過程が端折っているので、そこがわからない！と困るはずです。

本サイトは、途中過程を端折らず解説します。

サタースウェイトの等価自由度

\(φ^*\)=\(\frac{(c_1 V_1+c_2 V_2+…+ c_k V_k)^2}{\frac{(c_1 V_1)^2}{φ_1}+\frac{(c_2 V_2)^2}{φ_2}+…+\frac{(c_k V_k)^2}{φ_k}}\)
を導出します。
2段階で導出します。

1. χ²分布の公式を活用した変形
2. χ²分布の期待値と分散の公式を活用した変形

分布の公式を活用した変形

分散を扱っているので、χ²分布の式を使います。
χ²分布は、平方和S、分散σ²を使うと
χ²=\(\frac{S}{σ^2}\)
となります。
χ²分布が不安な方は、関連記事【簡単】χ2乗分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】も確認してください。

平方和Sは不偏分散Vとその自由度φ=n-1を使って、
V=\(\frac{S}{n-1}\)=\(\frac{S}{φ}\)
より、
S=Vφ
と表現できます。

よって、
χ²=\(\frac{S}{σ^2}\)=\(\frac{ Vφ}{σ^2}\)
と表現できます。
左辺がχ²なので、右辺はχ²分布に従います。

\(\frac{ V_i φ_i}{σ_i^2}\)はχ²分布に従います。

分布の期待値と分散の公式を活用した変形

という、χ²分布の性質を使います。

V(X)=2kから
X= \(\frac{ V_i φ_i}{σ_i^2}\)
K=\(φ_i \)
を代入します。
V(\(\frac{ V_i φ_i}{σ_i^2}\))=2\(φ_i \)
が成り立ちます。

また、分散において、定数項cは2乗にして外に出すことができます。
V(cX)=c²V(X)

V(\(\frac{ V_i φ_i}{σ_i^2}\))= \(\frac{φ_i ^2}{σ_i^4}\)V(\(V_i)\)=2\(φ_i\)
\(V(V_i)=\frac{2σ^4}{φ_i}\)

さらに、合成分散\(\widehat{V}\)の分散V(\(\widehat{V}\))を定義して、式変形します。無理矢理感がありますけど。
V(\(\widehat{V}\))=V(\(c_1 V_1\)+\(c_1 2_2\)+…\(c_k V_k\))
=\(c_1^2V(V_1)+ c_2^2V(V_2)+…+ c_k^2V(V_k)\)
=2(\(c_1^2\frac{σ_1^4}{φ_1}\)+\(c_2^2\frac{σ_2^4}{φ_2}\)+…+\(c_k^2\frac{σ_k^4}{φ_k}\))

ここで、合成分散\(\widehat{V}\)は自由度\(φ^*\)、分散\(σ_*^2\)を用いると、
\(\frac{\widehat{V}φ^*}{σ_*^2}\)はχ²分布に従います。

χ²分布の分散を用いると、
V(\(\frac{\widehat{V}φ^*}{σ_*^2}\))=\(\frac{φ^*2}{σ_*^4}V(V_i)\)=2\(φ^*\)
V(\(\widehat{V}\))=\(\frac{2σ_*^4}{φ^*}\)

よって、
\(\frac{2σ_*^4}{φ^*}\)=2(\(c_1^2\frac{σ_1^4}{φ_1}+ c_2^2\frac{σ_2^4}{φ_2}+…+ c_k^2\frac{σ_k^4}{φ_k}\))
が成り立ちます。

まとめると、
\(φ^*\)= (\(\frac{σ_*^4}{ c_1^2\frac{σ_1^4}{φ_1}+ c_2^2\frac{σ_2^4}{φ_2}+…+ c_k^2\frac{σ_k^4}{φ_k}}\))

なお、\(σ_1^2\),\(σ_2^2\),…,\(σ_k^2\),\(σ_*^2\)は未知数で、それぞれの推定量を\(\widehat{V_1}\),\(\widehat{V_2}\),…, \(\widehat{V_k}\),\(\widehat{V}\)として代入します。
\(φ^*\)= \(\frac{\widehat{V^2}}{c_1^2\frac{\widehat{V}_1^2}{φ_1}+ c_2^2\frac{\widehat{V}_2^2}{φ_2}+…+ c_k^2\frac{\widehat{V}_k^2}{φ_k}}\)
\(φ^*\)=\(\frac{c_1 \widehat{V}_1+c_2 \widehat{V}_2+…+c_k \widehat{V}_k}{\frac{(c_1 \widehat{V}_1)^2}{φ_1}+ \frac{(c_2 \widehat{V}_2)^2}{φ_2}+…+\frac{(c_k \widehat{V}_k)^2}{φ_k}}\)

と導出できました。力技で導出した感じですね。

まとめ

サタースウェイトの等価自由度を詳細に解説しました。

• ①サタースウェイトの等価自由度がなぜ必要かがわかる
• ②サタースウェイトの等価自由度の導出を解説

実験計画法

「一元配置実験の分散分析や期待値の導出が複雑でわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、一元配置実験の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

一元配置実験の分散分析や期待値の導出

• ①一元配置実験のデータの構造式が書ける
• ②一元配置実験の平方和の分解の式が書ける
• ③一元配置実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
• ④一元配置実験の分散分析ができる
• ⑤一元配置実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本サイトは、どんな複雑な方法も➀～➄の流れで解説します。本記事がわかれば、式が複雑になっていくだけ、内容は簡単です。実験計画法の肝なので、必読です！

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実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

①一元配置実験のデータの構造式が書ける

データの構造式

1因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。機械的に書けますね。
主効果の添字はi,残差ijと分けています。フィッシャーの三原則の反復ですね。

一元配置実験のデータの構造式

x_ij=μ+α_i+ e_ij

各平均値をデータの構造式で作る

αは母数因子なので、１つの添え字についての合計がすべて0となります。
\(\sum_{i=1}^{a} α_i\)=0

この関係が、平方和の分解にて
(x+y)²=x²+ y², xy=0
を満たします。

平均値の式の代表例

データの構造式
x_ij=μ+α_i+e_ij
\(\bar{x_{i･}}\)=μ+\(α_i\)+\(\bar{e_{i･}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{e}}\)

②一元配置実験の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。S_A,S_eを挙げます。
\(S_A\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\( (\bar{x_{i･}}-\bar{\bar{x}})^2\)
\(S_e\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i･}})^2\)
と書けますね。

③一元配置実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。

主効果の分散の期待値の導出

E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((\bar{x_{i･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\( (α_i+\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} (α_i )^2\)]
+2E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) \)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

ここで、第2項は0になることを証明します。
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) \)]
=bE[\(\sum_{i=1}^{a} (α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) \)]
=bE[\(α_1(\bar{e_{1･}}-\bar{\bar{e}})+α_2(\bar{e_{2･}}-\bar{\bar{e}})+…+α_a(\bar{e_{a･}}-\bar{\bar{e}})\)]
=bE[\((α_1\bar{e_{1･}}+α_2\bar{e_{2･}}+…+α_a\bar{e_{a･}})\)+\((α_1+α_2+…+α_a) \bar{\bar{e}})\)]
後ろの項について、\((α_1+α_2+…+α_a)\)=0です。
=bE[\((α_1\bar{e_{1･}}+α_2\bar{e_{2･}}+…+α_a\bar{e_{a･}})\)]
=b(\(α_1\)E[\(\bar{e_{1･}}\)]+\(α_2\)E[\(\bar{e_{2･}}\)]+…+\(α_a\)E[\(\bar{e_{a･}}\)])
さらにE[\(\bar{e_{i･}}\)]=0です。
残差の実際の値は0ではないですが、期待値は0になります。
よって、すべて0になるため、
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) \)]=0

平方和の分解のポイント

平方和は簡単に分解できて、
\( (x_1+x_2+…+x_n)^2\)=\(x_1^2+x_2^2+…+x_n^2\)
が成り立ちます。

この関係が各効果の平方和として分解することができ、
S_T= S_A+ S_B+ …+ S_e
と分解できます。

まずは、暗記で構いませんが、慣れてきたら中間項が0になることを確認してください。高校数学レベルで解けます。

E[\(S_A\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\(b(a-1)σ_A^2\) +\((a-1)(σ_e^2\))

主効果Aの自由度は\((a-1)\)より、分散の期待値E[V_A]が求まります。
E[\(V_A\)]=\(bσ_C^2\) +\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_A^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}α_i^2}{a-1}\)]

\(σ_e^2\)については以下のように解きます。式の意味を読んで見ましょう。慣れるまでは、添字の種類と分母の種類を揃える点に注目しましょう。
\(σ_e^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2}{ab-1}\)]
\(\frac{σ_e^2}{b}\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}(e_{i･}-\bar{\bar{e}})^2}{a-1}\)]
\(\frac{σ_e^2}{a}\)=E[\(\frac{\sum_{j=1}^{b}(e_{･j}-\bar{\bar{e}})^2}{b-1}\)]

残差の分散の期待値の導出

E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i･}})^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((e_{ij}-\bar{e_{i･}})^2\)]

意図的に以下のように式変形します。
\((e_{ij}-\bar{\bar{e}})\)=\(\color{red}{(e_{ij}-\bar{e_{i･}})}\)+\((\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})\)

次に、両辺の2乗和の期待値を作ります。次の関係式が成り立ちます(確かめてみてください)。
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{e_{i･}})^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

次に分散\(σ_e^2\)を作ります。次の3種類ができます。
分散は、各残差の値\(e_{ij})と残差の平均との差分の2乗和です。
差分の2乗和をそのまま式に書きます。

添字の種類とΣの数に注目してください。添字、Σが3つ以下の②③④の左辺は、\(σ_e^2\)に自由度a,bで割った値となっています。
➀\(σ_e^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2}{ab-1}\)]
②\(\frac{σ_e^2}{b}\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a} (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2}{a-1}\)]
③\(\frac{σ_e^2}{a}\)=E[\(\frac{\sum_{j=1}^{b} (\bar{e_{･j}}-\bar{\bar{e}})^2}{b-1}\)]

➀➁➂の違いを見比べて、慣れましょう。慣れてから式の意味を考えましょう。

次に➀➁➂を変形します。
➀\((ab-1)σ_e^2\)=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
②\((a-1)σ_e^2\)=E[\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
③\((b-1)σ_e^2\)=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{･j}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

求めたい期待値
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
は➀―②で算出できます。
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} (e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\((ab-1)σ_e^2\)-\((a-1)σ_e^2\)
=\(a(b-1)σ_e^2\)
となります。

結果をまとめます。
E[\(S_e\)]=\(a(b-1)σ_e^2\)

残差eの自由度は\(a(b-1)\)より、分散の期待値E[V_e ]が求まります。
E[\(V_e\)]=\(σ_e^2\)

④一元配置実験の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。

1. データの構造式を書く
2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる

表から、
Aの列(縦)には、aに1,1に-1とありますから、自由度はa-1、
eの列(縦)には、abに1,aに-1とありますから、自由度はab-a=a(b-1)、
となります。

また、各自由度はデータの構造式の添字を見ればすぐわかります。
E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((\bar{x_{i･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
添字はiと平均を見ます。
添字iの自由度aから平均の自由度1を引きます。よって、a-1。

E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i･}})^2\)]
添字はijと平均iを見ます。
添字ijの自由度abから平均iの自由度aを引きます。よって、ab-a。

データの構造式が複雑になるほど、上の表を活用すると自由度が求めやすくなります。

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

⑤一元配置実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
2. 誤差eの自由度φ_eである。
3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

主効果の点推定と区間推定の導出

分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、eの分散の推定値E[V]を導出します。
V_e=\(σ_e^2\)
よって、
\(\widehat{σ_e^2}\)= V_e

主効果Aの点推定と区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(A_i)=\bar{x_{i･}}\)=\(\widehat{μ+α_i}\)
=\(μ+\bar{x_{i･}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}( A_i))\)
=V[μ+\(\bar{x_{i･}}\)]
=V[\(\bar{x_{i･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{b}\)
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

まとめ

一元配置実験の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

• ①一元配置実験のデータの構造式が書ける
• ②一元配置実験の平方和の分解の式が書ける
• ③一元配置実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
• ④一元配置実験の分散分析ができる
• ⑤一元配置実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

実験計画法

「三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析や期待値の導出が複雑でわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析や期待値の導出

• ①三元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける
• ②三元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける
• ③三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
• ④三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる
• ⑤三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
• ⑥三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本サイトは、4因子繰返し有りの分散分析まで解説します。本サイトは必見です。実験計画法の肝なので、必読です！

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①三元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける

データの構造式

3因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。機械的に書けますね。

三元配置実験のデータの構造式

x_ijkl=μ+α_i+β_j+γ_k
+ (αβ) _ij+(αγ) _ik+(βγ) _jk
+(αβγ) _ijk+ e_ijkl

各平均値をデータの構造式で作る

α、β、γは母数因子なので、１つの添え字についての合計がすべて0となります。

\(\sum_{i=1}^{a} α_i\)=0
\(\sum_{j=1}^{b} β_j\)=0
\(\sum_{k=1}^{c} γ_k\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αβ)_{ij}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αγ)_{ik}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(αγ)_{ik}\)=0
\(\sum_{j=1}^{b}(βγ)_{jk}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(βγ)_{jk}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αβγ)_{ijk}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβγ)_{ijk}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(αβγ)_{ijk}\)=0

この関係が、平方和の分解にて
(x+y)²=x²+ y², xy=0
を満たします。

なお、母数因子ではない変量因子の場合は上の式が0ではない値になります。

平均値の式の代表例

データの構造式

x_ijkl=μ+α_i+β_j+γ_k
+ (αβ) _ij+(αγ) _ik+(βγ) _jk
+(αβγ) _ijk+ e_ijkl

\(\bar{x_{i･･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(\bar{e_{i･･･}}\)
\(\bar{x_{･j･･}}\)=μ+\(β_j\)+\(\bar{e_{･j･･}}\)
\(\bar{x_{･･k･}}\)=μ+\(γ_k\)+\(\bar{e_{･･k･}}\)
\(\bar{x_{ij･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{ij･･}}\)
\(\bar{x_{i･k･}}\)=μ+\(α_i\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\(\bar{e_{i･k･}}\)
\(\bar{x_{･jk･}}\)=μ+\(β_j\)+\(γ_k\)+\((βγ)_{jk}\)+\(\bar{e_{･jk･}}\)
\(\bar{x_{ijk･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\(γ_k\)+\((αβ)_{ij}\)+\((αγ)_{ik}\)+\((βγ)_{jk}\)+\((αβγ)_{ijk}\)+\(\bar{e_{ijk･}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{e}}\)

②三元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。S_C、S_A×B×C,S_eを例に挙げます。

\(S_C\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\( (\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_{ A×B×C }\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((\bar{x_{ijk･}}-\bar{x_{ij･･}}-\bar{x_{i･k･}}-\bar{x_{･jk･}}\)\(\bar{x_{i･･･}}+\bar{x_{･j･･}}+\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2\)

\( S_e\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((x_{ijkl}-\bar{x_{ijk･}})^2\)

と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣΣΣ( )^2で計算できます。

③三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。

本記事では因子C、残差eについて導出過程を詳しく見ていきます。

●因子A,Bについては、次の関連記事で導出過程を確認ください。

二元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】 実験計画法の、二元配置実験(繰り返し有り)の分散分析、分散の期待値の導出、主効果・交互作用の区間推定の導出ができますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事は、二元配置実験(繰り返し有り)の分散分析、分散の期待値の導出、区間推定の導出を解説します。分散分析、期待値の導出、区間推定をマスターしたい方は必見です。

主効果の分散の期待値の導出

E[\(S_C\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\( (γ_k+\bar{e_{･･k･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((γ_k )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((\bar{e_{･･k･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\(abd(c-1)σ_C^2\) +\((c-1)(σ_e^2\))

主効果Cの自由度は(c-1)より、分散の期待値E[V_C]が求まります。

E[\(V_C\)]=\(abdσ_C^2\) +\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_C^2\)=E[\(\frac{\sum_{k=1}^{c}γ_k^2}{c-1}\)]

\(σ_e^2\)については解説集にあります。

交互作用の分散の期待値の導出

E[\(S_{ A×B×C }\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d} \)
\((\bar{x_{ijk･}}-\bar{x_{ij‥}}-\bar{x_{i･k･}}-\bar{x_{･jk･}}\)
+\(\bar{x_{i･･･}}+\bar{x_{･j･･}}+\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αβγ)_{ijk}+(\bar{e_{ijk･}}-\bar{e_{ij‥}}-\bar{e_{i･k･}}-\bar{e_{･jk･}}\)
+\(\bar{e_{i‥･}}-\bar{e_{･j‥}}-\bar{e_{･･k･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αβγ)_{ijk}^2)\)]
+ E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{e_{ijk･}}-\bar{e_{ij‥}}-\bar{e_{i･k･}}-\bar{e_{･jk･}}\)
+\(\bar{e_{i‥･}}+\bar{e_{･j‥}}+\bar{e_{･･k･}}-\bar{\bar{e}}))^2\)]

第1項：
=dE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\(((αβγ)_{ijk}^2)\)
=\(d(a-1)(b-1)(c-1)σ_{A×B×C}^2\)

第2項：
結論から言うと
eの添え字を見ると
ijk-ij-ik-jk+i+j+k-1が見えるので、i⇒a,j⇒b,k⇒cに変えます。
⇒abc-ab-ac-bc+a+b+c-1になるので、因数分解して
=\((a-1)(b-1)(c-1)σ_e^2\)

E[\(S_{A×B×C}\)]
=\(d(a-1)(b-1)(c-1)σ_{A×B×C}^2\)
+\((a-1)(b-1)(c-1)σ_e^2\)

交互作用A×B×Cの自由度は(a-1)(b-1)(c-1)より、分散の期待値E[V_A×B×C]が求まります。

E[\(V_{A×B×C}\)]=\(dσ_{A×B×C}^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_{ A×B×C }^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(αβγ)_{ijk}^2}{(a-1)(b-1)(c-1)}\)]

\(σ_{e}^2\)については解説集にあります。

残差の分散の期待値の導出

E[\(S_e\)]= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((x_{ijkl}-\bar{ x_{ijk･}})^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((e_{ijkl}-\bar{ e_{ijk･}})^2\)]
=abc(d-1)\(σ_e^2\)
(結論を言うと同様に ijkl-ijkをabcdに直して、abcd-abcを因数分解します。)

E[\(S_e\)]= abc(d-1)\(σ_e^2\)
(全計算過程は解説集にあります)

残差eの自由度はabc(d-1)より、分散の期待値E[Ve]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。計算は複雑ですが、自由度で割ると\(σ_e^2\)になることがわかります。

E[e]=\(σ_e^2\)

④三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。

1. データの構造式を書く
2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

⑤三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
2. 誤差eの自由度φ_eである。
3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

主効果の点推定と区間推定の導出

分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、eの分散の推定値E[V]を導出します。
V_e=\(σ_e^2\)
よって、
\(\widehat{σ_e^2}\)= V_e

主効果の点推定と区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(C_k)=\bar{x_{‥k･}}\)=\(\widehat{μ+γ_k}\)
=\(μ+\bar{e_{‥k･}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(C_k))\)
=V[μ+\(\bar{e_{‥k･}}\)]
=V[\(\bar{e_{‥k･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{abd}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

交互作用の区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(A_i B_j C_k)\)=\(\bar{x_{ijk･}}\)
=\(μ+α_i+β_j＋γ_k+(αβγ)_{ijk}+\bar{e_{ijk･}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i B_j C_k))\)
=V[μ+\(α_i+β_j＋γ_k+(αβγ)_{ijk}+\bar{e_{ijk･}}\)]
=V[\(\bar{e_{ijk･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{d}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

⑥三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題

本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。

まとめ

三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

• ①三元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける
• ②三元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける
• ③三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
• ④三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる
• ⑤三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
• ⑥三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題

実験計画法

「枝分かれ実験って何なの？」、「枝分かれ実験の分散分析や期待値の導出がわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、枝分かれ実験の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

枝分かれ実験の分散分析や期待値の導出

• ➀枝分かれ実験とは何かがわかる
• ②枝分かれ実験のデータの構造式が書ける
• ③枝分かれ実験の平方和の分解の式が書ける
• ④枝分かれ実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
• ⑤枝分かれ実験の分散分析ができる
• ⑥枝分かれ実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
• ⑦枝分かれ実験の分散分析が導出できる演習問題

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です！

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実験計画法を究める関連記事

多元配置法、乱塊法、分割法など手法が多い実験計画法ですが、すべて１つの導出方法で解けます。
関連記事をたくさん紹介しますので、何度も読んで習得してください。

【0】まとめ編：実験計画法をマスターできるページ
●究める！実験計画法
【まとめ5】分散分析の分散の期待値が導出できる
【まとめ6】区間推定のための工程平均と有効繰り返し数が導出できる

＊実験計画法を究めるための演習問題集もあります。
【まとめ9】実験計画法を究める演習問題集を販売します

【1】導入編：データの構造式から分散分析・区間推定・有効繰返し数の導出がわかるページ
●【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)
●【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる
●【重要】データの構造式から有効反復数が導出できる

【2】基礎編：分散分析・区間推定の導出(まず、ここを理解する！)
●一元配置実験の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●二元配置実験(繰り返し無し)の分散分析・区間推定が解ける
●二元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける
●三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】

【3】応用編：乱塊法・分割法・多水準法・擬水準法・枝分かれ実験・2方分割法の
分散分析・区間推定の導出 (読む⇒理解する⇒なぞる⇒解ける⇒習得する　何度も読みましょう。)
●乱塊法(2因子)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●乱塊法(3因子)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●乱塊法(4因子)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●分割法(2因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●分割法(3因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●分割法(3因子2段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●分割法(乱塊法無しの2因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける
●多水準法の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●擬水準法(不足する場合)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●擬水準法(余る場合)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●2方分割法の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●【本記事限定】枝分かれ実験(並列型)の分散分析・区間推定が解ける
●直交表L16の分散分析・区間推定が解ける【必見】

関連記事が20ありますが、１つの導出方法ですべて解けます。
実験計画法を苦手から得意に変える重要な記事です。

●You tube動画で解説しています。ご覧ください。

➀枝分かれ実験とは何かがわかる

枝分かれ図で理解する

枝分かれ方法は、直列と並列が考えつきますね。教科書ではよく直列型が紹介されます。
本記事は、直列型（左下図）について解説します。
また、並列型は本サイト限定で関連記事【本記事限定】枝分かれ実験(並列型)の分散分析・区間推定が解けるにて、解説します。

イメージ

データの構造式から枝分かれ実験を理解する

• 完全配置実験のデータの構造式を作る
• 一部の項を変形すれば枝分かれ実験になる
• 枝分かれ図をそのままデータの構造式に書く

本サイトでは、すべての実験計画法の手法は、完全配置実験のデータの構造式を一部書き換えてできることを解説しています。枝分かれ実験も同様にできるのですが、枝分かれ図を見て、そのまま式にした方が楽です。

②枝分かれ実験のデータの構造式が書ける

データの構造式

枝分かれ図をそのままデータの構造式に書きます。

1. 因子Bは因子Aから枝分かれ→β_ijとする。
2. 因子Cは因子Bから枝分かれ→γ_ijkとする。
3. 因子Dは因子Cから枝分かれ→δ_ijklとする。

まとめると、データの構造式ができます。

枝分かれ実験(直列型)のデータの構造式

x_ijklm=μ+α_i+β_ij+γ_ijk+δ_ijkl+ e_ijklm

各平均値をデータの構造式で作る

母数因子と変量因子の違い

関連記事【簡単】母数因子と変量因子の違いがすぐわかるにて、母数因子と変量因子を解説しました。

母数因子と変量因子

母数因数：取らない場合が多い
変量因子：α、β、γ、δ、e

枝分かれ実験では、ロット間の誤差、サンプル間の誤差、測定誤差を因子として割当てることがあり、誤差は変量因子なため、母数因数を取らないことがあります。主効果の分散の期待値は母数因数でも変量因子でも関係なく、同じ値になります。

変数に意味を持たせるなら母数因子と変量因子をはっきり分けるとよいですが、
分散の期待値はどちらも同じになるようにしているので、母数因子も変量因子もどちらでもよいと思います。

本記事では、教科書的に変量因子として分散の期待値を導出します。

平均値

母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。

平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。

枝分かれ実験のデータの構造式

\(x_{ijklm}\)=μ+\(α_i\)+\(β_{ij}\)+\(γ_{ijk}\)+\(δ_{ijkl}\)+\(e_{ijklm}\)
\(\bar{x_{i････}}\)=μ+\(α_i\)+\(\bar{β_{i･}}\)+\(\bar{γ_{i･･}}\)+\(\bar{δ_{i･･･}}\)+\(\bar{e_{i････}}\)
\(\bar{x_{ij･･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_{ij}\)+\(\bar{γ_{ij･}}\)+\(\bar{δ_{ij･･}}\)+\(\bar{e_{ij･･･}}\)
\(\bar{x_{ijk･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_{ij}\)+\(γ_{ijk}\)+\(\bar{δ_{ijk･}}\)+\(\bar{e_{ijk･･}}\)
\(\bar{x_{ijkl･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_{ij}\)+\(γ_{ijk}\)+\(δ_{ijkl}\)+\(\bar{e_{ijkl･}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{α}}\)+\(\bar{\bar{β}}\)+\(\bar{\bar{γ}}\)+\(\bar{\bar{δ}}\)+\(\bar{\bar{e}}\)

③枝分かれ実験の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。S_A、S_C、S_eを例に挙げます。

\(S_A\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( (\bar{x_{i･‥･}}-\bar{\bar{x}})^2\)
\(S_C\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( (\bar{x_{ijk･･}}-\bar{x_{ij･･･}})^2\)
\( S_e\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)

\( (\bar{x_{ijklm}}-\bar{x_{ijkl･}})^2\)
と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣ( )^2で計算できます。

④枝分かれ実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。

主効果S_Aの分散の期待値の導出

E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{x_{i･‥･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( ((α_i-\bar{\bar{α}})+(\bar{β_{i･}}-\bar{\bar{β}})+(\bar{γ_{i･･}}-\bar{\bar{γ}})\)
+\( (\bar{δ_{i･･･}}-\bar{\bar{δ}})+(\bar{e_{i････}}-\bar{\bar{e}}))^2\)
=bcdeE[\(\sum_{i=1}^{a}(α_i-\bar{\bar{α}})^2\)]
+cdeE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{β_{i･}}-\bar{\bar{β}})^2\)]
+deE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(\bar{γ_{i･･}}-\bar{\bar{γ}})^2\)
+dE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}(\bar{δ_{i･･･}}-\bar{\bar{δ}})^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{e_{i････}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\((a-1)bcdeσ_A^2\)+\((a-1)cdeσ_B^2\)+\((a-1)deσ_C^2\)+\((a-1)eσ_D^2\)+\((a-1)σ_e^2\)
主効果Aの自由度は(a-1)より、分散の期待値E[V_A]が求まります。
E[\(V_A\)]=\(bcdeσ_A^2\) +\(cdeσ_B^2\)+\(deσ_C^2\)+\(eσ_D^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_A^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}(α_i-\bar{\bar{α}})^2}{a-1}\)]
\(σ_e^2\)については解説集にあります。

主効果S_Cの分散の期待値の導出

E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{x_{ijk･･}}-\bar{x_{ij･･･}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\(((\bar{γ_{ijk}}-\bar{γ_{ij･}})\)+\((\bar{δ_{ijk･}}-\bar{δ_{ij‥}})+(\bar{e_{ijk･･}}-\bar{e_{ij…}}))^2\)
=deE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} (\bar{γ_{ijk}}-\bar{γ_{ij･}})^2\)]
+eE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}(\bar{δ_{ijk･}}-\bar{δ_{ij‥}})^2\)
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}(\bar{e_{ijk･･}}-\bar{e_{ij…}}))^2\)
=\(ab(c-1)deσ_C^2\)+\(ab(c-1)eσ_D^2\)+\(ab(c-1)σ_e^2\)
主効果Cの自由度はab(c-1)より、分散の期待値E[V_C]が求まります。
自由度の導出は難しいので次の節で解説します。
E[\(V_C\)]=\(deσ_C^2\) +\(eσ_D^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_C^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} \sum_{k=1}^{c} (γ_{ijk}-\bar{γ_{ij･}})^2}{ab(c-1)}\)]
\(σ_e^2\)については解説集にあります。

残差の分散の期待値の導出

E[\( S_e\)]= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)

\( (\bar{x_{ijklm}}-\bar{x_{ijkl･}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( (\bar{e_{ijklm}}-\bar{e_{ijkl･}})^2\)]
=abcd(e-1) \(σ_e^2\)

E[\( S_e\)]= abcd(e-1) \(σ_e^2\)

残差eの自由度はabcd(e-1)より、分散の期待値E[V e]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。
E[\S_e\)]= \(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_e^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} \sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e} (e_{ijklm}-\bar{e_{ijkl･}})^2}{abcd(e-1)}\)]

⑤枝分かれ実験の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。

1. データの構造式を書く
2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる

因子BについてはAB全体の自由度から因子Aの自由度を引きます。
枝分かれイメージで、全体から残りを引く感じになります。
データの構造式の添字から自由度を求めることができます。
AB全体の自由度＝ab-1
因子Aの自由度=a-1
因子Bの自由度=(ab-1)-(a-1)=ab-a=a(b-1)
データの構造式の添字を見ると (ij…)-(i…･)から(ab-1)-(a-1)とイメージしてもOKです。

因子CについてはABC全体の自由度からAB全体の自由度を引きます。
ABC全体の自由度＝abc-1
AB全体の自由度=ab-1
因子Bの自由度=(abc-1)-(ab-1)=abc-ab=ab(c-1)
データの構造式の添字を見ると (ijk‥)-(ij…)から(abc-1)-(ab-1)とイメージしてもOKです。

因子DについてはABCD全体の自由度からABC全体の自由度を引きます。
ABCD全体の自由度＝abcd-1
ABC全体の自由度=abc-1
因子Dの自由度=(abcd-1)-(abc-1)=abcd-abc=abc(d-1)

データの構造式の添字を見ると (ijkl･)-(ijk‥)から(abcd-1)-(abc-1)とイメージしてもOKです。

残差eについてはABCDE全体の自由度からABCD全体の自由度を引きます。
ABCDE全体の自由度＝abcde-1
ABCD全体の自由度=abcd-1
因子Dの自由度=(abcde-1)-(abcd-1)=abcde-abcd=abcd(e-1)

データの構造式の添字を見ると (ijklm)-(ijkl･)から(abcde-1)-(abcd-1)とイメージしてもOKです。

以上をまとめましょう。

自由度をまとめます。

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

⑥枝分かれ実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
2. 誤差eの自由度φ_eである。
3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

主効果の点推定と区間推定の導出

分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、a,b,c,d,eの分散の推定値E[V]を導出します。すべて変量因子なのでE[V]を求めます。

上の表から、分散の推定値を求めます。
\(\widehat{σ_A}^2=\frac{1}{bcde}(V_A-V_B)\)
\(\widehat{σ_B}^2=\frac{1}{cde}(V_B-V_C)\)
\(\widehat{σ_C}^2=\frac{1}{de}(V_C-V_D)\)
\(\widehat{σ_D}^2=\frac{1}{e}(V_D-V_e\)
\(\widehat{σ_e^2}\)=V_e

データの構造式

\(x_{ijklm}\)=μ+\(α_i\)+\(β_{ij}\)+\(γ_{ijk}\)+\(δ_{ijkl}\)+\(e_{ijklm}\)

主効果Aの点推定と区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(A_i)=\bar{x_{i･･‥}}\)=\(\widehat{μ+α_i}\)
=\(μ+α_i +\bar{β_{i･}}+\bar{γ_{i‥}}+\bar{δ_{i‥･}}+\bar{e_{i･…}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(α_i))\)
=V[\(μ+α_i +\bar{β_{i･}}+\bar{γ_{i‥}}+\bar{δ_{i‥･}}+\bar{e_{i･…}}\)]
=V[\(\bar{β_{i･}}+\bar{γ_{i‥}}+\bar{δ_{i‥･}}+\bar{e_{i･…}}\)]
=\(\frac{1}{b}V_B\)+ \(\frac{1}{bc}V_C\)+\(\frac{1}{bcd}V_C\)+\(\frac{1}{bcde}V_e\)

Vが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

主効果Cの点推定と区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(C_k)=\bar{x_{ijk‥}}\)=\(\widehat{μ+α_i+β_{ij}+γ_{ijk}}\)
=\(μ+α_i +β_{ij}+γ_{ijk}+\bar{δ_{ijk･}}+\bar{e_{ijk‥}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(α_i+β_{ij}+γ_{ijk}))\)
=V[\(μ+α_i +β_{ij}+γ_{ijk}+\bar{δ_{ijk･}}+\bar{e_{ijk‥}}\)]
=V[\(\bar{δ_{ijk･}}+\bar{e_{ijk‥}}\)]
=\(\frac{1}{d}V_D\)+\(\frac{1}{de}V_e\)

Vが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

⑦枝分かれ実験の分散分析が導出できる演習問題

本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。

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まとめ

枝分かれ実験の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

• ➀枝分かれ実験とは何かがわかる
• ②枝分かれ実験のデータの構造式が書ける
• ③枝分かれ実験の平方和の分解の式が書ける
• ④枝分かれ実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
• ⑤枝分かれ実験の分散分析ができる
• ⑥枝分かれ実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
• ⑦枝分かれ実験の分散分析が導出できる演習問題

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