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「分散分析から有効反復数を求める方法がわからない」、「田口の式や伊奈の式がうまく暗記できない」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

データの構造式から有効反復数が導出できる

• ➀データの構造式から有効反復数を導出する方法
• ②田口の式、伊奈の式の紹介
• ③有効反復数の導出事例

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。

本記事で扱う、データの構造式や点推定は、関連記事【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できるにあります。計算の流れを理解するために先に読んでください。

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➀データの構造式から有効反復数を導出する方法

導出方法が理解できたら、公式暗記は不要になります。
田口の式、伊奈の式を使えば有効反復数はすぐ求まりますが、
自力で有効反復数を求めることができます

【重要】有効反復数の導出方法

• (A)データの構造式を用意する(関連記事)
• (B)母平均の式を作る(関連記事)
• (C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す
• (D)戻したデータの構造式の分散を求める

(A)(B)は、関連記事【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できるにあります。(C)(D)は本記事です。

この4つの流れで、多元配置実験、直交表、乱塊法、分割法、多水準法などすべてのパターンに適応できます。

4つの流れを理解して、速く計算したくなったら、田口の式や伊奈の式に代入でしましょう。

二元配置実験の場合

(A)データの構造式を用意する(関連記事)
\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+(αβ)_{ij}\)+\(e_{ijk}\)

とします。因子A,Bと繰り返しの自由度はそれぞれa,b,cとします。
最適条件\(μ(A_i B_j)\)の点推定値の有効反復数を求めます。
ここで、\((αβ)_{ij}\)を無視した場合を紹介します。
その方が導出過程が理解しやすいからです。

(B)母平均の式を作る(関連記事)
\(μ(A_i B_j)\)
=\(μ+α_i+β_j\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+\((\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}})\)+\((\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}})\)
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)

(C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す
\(μ(A_i B_j)\)
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
=(\(μ+α_i+\bar{e_{i‥}}\))
+(\(μ+β_j+\bar{e_{･j･}}\))
-(\(μ+\bar{\bar{e}}\))
=(\(μ+α_i+β_j+\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}}\))

(D)戻したデータの構造式の分散を求める
V[\(μ(A_i B_j)\)]
=V[(\(μ+α_i+β_j+\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}}\))]
=V[(\(\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}}\))]
= \((\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{abc})σ_e^2\)
=\(\frac{a+b-1}{abc}σ_e^2\)

初めて見ると難しそうと思いますが、この(A)から(D)の方法で、全実験パターンで使えます。
以下応用事例を挙げますが、同じ方法で解説します。

②田口の式、伊奈の式の紹介

田口の式、伊奈の式の紹介

田口の式、伊奈の式

二元配置実験の場合を田口の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\)
\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1+(a-1)+(b-1))}{abc}\)
=\(\frac{a+b-1}{abc}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

二元配置実験の場合を伊奈の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=点推定量の式で、各合計にかかっている係数の和
\(\frac{1}{n_e}\)=\((\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{abc})\)
=\(\frac{a+b-1}{abc}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

田口の式、伊奈の式を使わずにデータの構造式から導出する理由

田口の式、伊奈の式は便利です。でも、
(i)式を理解せず、暗記公式しても、実験計画法はマスターできない。
(ii)データの構造式から実験計画法はすべてがわかることが本質。
(iii)分割法、多水準法など応用事例になると公式が増加。
に注意しましょう。

また、
田口の式：無視しない要因の自由度の和
伊奈の式：点推定量の式で、各合計にかかっている係数の和
が日本語を式にするのは、慣れるまでは結構ミスります。

ならば、遠回りしてもデータの構造式から有効反復数を
1パターンの解法でどんな応用事例も対処できます。

次に、複雑にした応用事例を解説します。

③有効反復数の導出事例

どんどん、複雑なデータの構造式にしますが、導出方法は同じです。もう一度、書いておきます。

【重要】有効反復数の導出方法

• (A)データの構造式を用意する(関連記事)
• (B)母平均の式を作る(関連記事)
• (C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す
• (D)戻したデータの構造式の分散を求める

多因子を割り当てた直交表の事例

同じデータの構造式は、関連記事【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できるにあります。

(A)から(D)の方法で導出します。全く同じ方法で攻略できるので大丈夫です。

(A)データの構造式を用意する(関連記事)
x=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)+e

(B)母平均の式を作る(関連記事)
μ(ABCDF)
=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_a}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_b}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_c}-\bar{\bar{x}}\))
+(\(\bar{x_d}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_f}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{ab}}-\bar{x_a}-\bar{x_b}+\bar{\bar{x}}\))
+(\(\bar{x_{cd}}-\bar{x_c}-\bar{x_d}+\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{ab}}\)+\(\bar{x_{cd}}\)+\(\bar{x_f}\)-2\(\bar{\bar{x}}\)

(C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す

慣れると、変量因子や残差項のみを書きましょう。
主効果や交互作用の項は書いても、分散を導出する時は0になるので、
最初から書かなくてもOKです。

μ(ABCDF)
=\(\bar{x_{ab‥}}+\bar{x_{cd‥}}+\bar{x_{f･‥}}-2\bar{\bar{x}}\)
=\(\bar{e_{ab‥}}+\bar{e_{cd‥}}+\bar{x_{e･‥}}-2\bar{\bar{e}}\)

直交表L16は添字4種類ですが、a,b,c,d,fの5種類を割当てています。
4種類から割り当てた種類を引いた分を・で表記します。

(D)戻したデータの構造式の分散を求める
V[μ(ABCDF)]
=V[\(\bar{e_{ab‥}}+\bar{e_{cd‥}}+\bar{x_{e･‥}}-2\bar{\bar{e}}\)]
= \((\frac{4}{16}+\frac{4}{16}+\frac{2}{16}-2\frac{1}{16})σ_e^2\)
=\(\frac{1}{2}σ_e^2\)

(E)田口の式、伊奈の式からも導出

田口の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\)
=\(\frac{1+φ_A+φ_B+φ_C+φ_D +φ_F+φ_AB +φ_CD}{16}\)
=\(\frac{1+1+1+1+1+1+1+1}{16}\)=\(\frac{1}{2}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

伊奈の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=点推定量の式で、各合計にかかっている係数の和
V[μ(ABCDF)]=V[μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)]
=8×\(\frac{1}{16}σ_e^2\)
\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1}{2}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

乱塊法と分割法を使った事例

同じデータの構造式は、関連記事【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できるにあります。

乱塊法と分割法のセットとなる、応用事例です。難しそうですが、
(A)から(D)の方法で導出します。全く同じ方法で攻略できるので大丈夫です。

(A)データの構造式を用意する(関連記事)
\(x_{ijk}\)=μ+\(γ_k+α_i+e_{(1)ik}+β_j+e_{(2)ijk}\)

(B)母平均の式を作る(関連記事)
μ(A_iB_j)
=\(μ+α_i+β_j\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)

(C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す
μ(A_iB_j)
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
=\((μ+\bar{r}+α_i+\bar{e_{(1)i･}}+\bar{e_{(2)i･･}})\)
+\((μ+\bar{r}+\bar{\bar{e_{(1)}}}+β_j+\bar{e_{(2)･j･}})\)
-\((μ+\bar{r}+\bar{\bar{e_{(1)}}}+\bar{ e_{(2)}})\)
=\((μ+\bar{r}+α_i+β_j+\bar{e_{(1)i･}})\)
+\((\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{ e_{(2)}})\)

(D)戻したデータの構造式の分散を求める
V[μ(A_iB_j)]
=V[\((μ+\bar{r}+α_i+β_j+\bar{e_{(1)i･}})\)
+\((\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{ e_{(2)}})\)]
= V[\((\bar{r} +\bar{e_{(1)i･}})\)
+\((\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{ e_{(2)}})\)]
=\(\frac{1}{c}\widehat{σ_R^2}+\frac{1}{c}\widehat{σ_{e(1)}^2}+(\frac{a+b-1}{abc})\widehat{σ_{e(2)}^2}\)

ここで、分散分析表を作ります。必要なのは、効果、自由度、分散の期待値E[V]です。

さっと作れますか？　関連記事分割法(2因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】を確認しましょう。

分散分析表

分散分析表から分散の推定値を導出します。

から、次を導出します。
\(\widehat{σ_{e(2)}^2}\)= V_e(2)
\(\widehat{σ_{e(1)}^2}\)=\(\frac{1}{b}\)( V_e(1)– V_e(2))
\(\widehat{σ_R^2}\)=\(\frac{1}{ab}\)( V_R– V_e(1))

まとめると
V[μ(A_iB_j)]
=\(\frac{1}{c}\widehat{σ_R^2}+\frac{1}{c}\widehat{σ_{e(1)}^2}+(\frac{a+b-1}{abc})\widehat{σ_{e(2)}^2}\)

=\(\frac{1}{abc}\) V_R+\(\frac{a-1}{abc}\) V_e(1)+\(\frac{b-1}{abc}\) V_e(2)

分割法の有効反復数の導出は、慣れるまでは大変かもしれません。
なので、田口の式、伊奈の式から導出しましょう。

(E)田口の式、伊奈の式からも導出

田口の式で導出

乱塊法＋分割法になると変量因子Rや残差eの種類が増えるため、田口の式を拡張する必要があります。
これも結構、ややこしい話ですけど。

反復因子Rを無視しないので、
V[μ(A_iB_j)]
=\(\frac{1}{全実験回数}\) V_R+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\) V_e(1)
+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\) V_e(2)

=\(\frac{1}{abc}\) V_R+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和=a-1)}{全実験回数}\) V_e(1)
+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和=b-1)}{全実験回数}\) V_e(2)
=\(\frac{1}{abc}\) V_R+\(\frac{a-1}{abc}\) V_e(1)+\(\frac{b-1}{abc}\) V_e(2)
と一致します。

伊奈の式で導出

分割法になると、データの構造式からの有効反復数の導出が大変です。
なので、田口の式や伊奈の式に頼りたいですが、公式も乱塊法や分割法によって
式を変形する必要があります。

分割法の有効反復数はデータの構造式から導出しても、
公式暗記しても難しいです。
ですから、導出過程をよく見て、本質を理解してください。

まとめ

データの構造式から有効反復数の導出方法を解説しました。田口の式、伊奈の式も活用できますが、実験計画法はすべてデータの構造式の変形で解けます。有効反復数の導出方法は１つだけなので、何度も読んで確実に身につけてください。

• ➀データの構造式から有効反復数を導出する方法
• ②田口の式、伊奈の式の紹介
• ③有効反復数の導出事例

実験計画法

「サタースウェイトの等価自由度の導出が難解でわからない、解けない」、「サタースウェイトの等価自由度の式の意味がわからない」など、意味もわからず、サタースウェイトの等価自由度の式を暗記で片付けていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

サタースウェイトの等価自由度の導出

• ①サタースウェイトの等価自由度がなぜ必要かがわかる
• ②サタースウェイトの等価自由度の導出を解説

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。サタースウェイトの等価自由度の導出過程を一切端折らず解説しますので必読です。

①サタースウェイトの等価自由度がなぜ必要かがわかる

サタースウェイトの等価自由度

サタースウェイトの等価自由度が必要な場合

サタースウェイトの等価自由度が必要な理由

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
2. 誤差eの自由度φ_eである。
3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

Veが複数項ある場合に、サタースウェイトの等価自由度が必要になります。

Veが複数項ある場合

1. 分割法で、残差eが複数ある場合
2. 乱塊法の反復因子Rのような変量因子を含む場合

サタースウェイトの等価自由度の値

サタースウェイトの等価自由度をφ^*と表記しますと、
φ^*=12.21とか小数をふくみます。
t分布表には自由度は整数のみなので、
φ=12,13のt分布の値を読み取り、
t(12)②サタースウェイトの等価自由度の導出を解説

教科書や他のwebサイトから、最も詳細な解説をしているのが、｢入門　実験計画法 / 永田靖｣P353にあります。

でも、一部の導出過程が端折っているので、そこがわからない！と困るはずです。

本サイトは、途中過程を端折らず解説します。

サタースウェイトの等価自由度

\(φ^*\)=\(\frac{(c_1 V_1+c_2 V_2+…+ c_k V_k)^2}{\frac{(c_1 V_1)^2}{φ_1}+\frac{(c_2 V_2)^2}{φ_2}+…+\frac{(c_k V_k)^2}{φ_k}}\)
を導出します。
2段階で導出します。

1. χ²分布の公式を活用した変形
2. χ²分布の期待値と分散の公式を活用した変形

分布の公式を活用した変形

分散を扱っているので、χ²分布の式を使います。
χ²分布は、平方和S、分散σ²を使うと
χ²=\(\frac{S}{σ^2}\)
となります。
χ²分布が不安な方は、関連記事【簡単】χ2乗分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】も確認してください。

平方和Sは不偏分散Vとその自由度φ=n-1を使って、
V=\(\frac{S}{n-1}\)=\(\frac{S}{φ}\)
より、
S=Vφ
と表現できます。

よって、
χ²=\(\frac{S}{σ^2}\)=\(\frac{ Vφ}{σ^2}\)
と表現できます。
左辺がχ²なので、右辺はχ²分布に従います。

\(\frac{ V_i φ_i}{σ_i^2}\)はχ²分布に従います。

分布の期待値と分散の公式を活用した変形

という、χ²分布の性質を使います。

V(X)=2kから
X= \(\frac{ V_i φ_i}{σ_i^2}\)
K=\(φ_i \)
を代入します。
V(\(\frac{ V_i φ_i}{σ_i^2}\))=2\(φ_i \)
が成り立ちます。

また、分散において、定数項cは2乗にして外に出すことができます。
V(cX)=c²V(X)

V(\(\frac{ V_i φ_i}{σ_i^2}\))= \(\frac{φ_i ^2}{σ_i^4}\)V(\(V_i)\)=2\(φ_i\)
\(V(V_i)=\frac{2σ^4}{φ_i}\)

さらに、合成分散\(\widehat{V}\)の分散V(\(\widehat{V}\))を定義して、式変形します。無理矢理感がありますけど。
V(\(\widehat{V}\))=V(\(c_1 V_1\)+\(c_1 2_2\)+…\(c_k V_k\))
=\(c_1^2V(V_1)+ c_2^2V(V_2)+…+ c_k^2V(V_k)\)
=2(\(c_1^2\frac{σ_1^4}{φ_1}\)+\(c_2^2\frac{σ_2^4}{φ_2}\)+…+\(c_k^2\frac{σ_k^4}{φ_k}\))

ここで、合成分散\(\widehat{V}\)は自由度\(φ^*\)、分散\(σ_*^2\)を用いると、
\(\frac{\widehat{V}φ^*}{σ_*^2}\)はχ²分布に従います。

χ²分布の分散を用いると、
V(\(\frac{\widehat{V}φ^*}{σ_*^2}\))=\(\frac{φ^*2}{σ_*^4}V(V_i)\)=2\(φ^*\)
V(\(\widehat{V}\))=\(\frac{2σ_*^4}{φ^*}\)

よって、
\(\frac{2σ_*^4}{φ^*}\)=2(\(c_1^2\frac{σ_1^4}{φ_1}+ c_2^2\frac{σ_2^4}{φ_2}+…+ c_k^2\frac{σ_k^4}{φ_k}\))
が成り立ちます。

まとめると、
\(φ^*\)= (\(\frac{σ_*^4}{ c_1^2\frac{σ_1^4}{φ_1}+ c_2^2\frac{σ_2^4}{φ_2}+…+ c_k^2\frac{σ_k^4}{φ_k}}\))

なお、\(σ_1^2\),\(σ_2^2\),…,\(σ_k^2\),\(σ_*^2\)は未知数で、それぞれの推定量を\(\widehat{V_1}\),\(\widehat{V_2}\),…, \(\widehat{V_k}\),\(\widehat{V}\)として代入します。
\(φ^*\)= \(\frac{\widehat{V^2}}{c_1^2\frac{\widehat{V}_1^2}{φ_1}+ c_2^2\frac{\widehat{V}_2^2}{φ_2}+…+ c_k^2\frac{\widehat{V}_k^2}{φ_k}}\)
\(φ^*\)=\(\frac{c_1 \widehat{V}_1+c_2 \widehat{V}_2+…+c_k \widehat{V}_k}{\frac{(c_1 \widehat{V}_1)^2}{φ_1}+ \frac{(c_2 \widehat{V}_2)^2}{φ_2}+…+\frac{(c_k \widehat{V}_k)^2}{φ_k}}\)

と導出できました。力技で導出した感じですね。

まとめ

サタースウェイトの等価自由度を詳細に解説しました。

• ①サタースウェイトの等価自由度がなぜ必要かがわかる
• ②サタースウェイトの等価自由度の導出を解説

実験計画法

「一元配置実験の分散分析や期待値の導出が複雑でわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、一元配置実験の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

一元配置実験の分散分析や期待値の導出

• ①一元配置実験のデータの構造式が書ける
• ②一元配置実験の平方和の分解の式が書ける
• ③一元配置実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
• ④一元配置実験の分散分析ができる
• ⑤一元配置実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本サイトは、どんな複雑な方法も➀～➄の流れで解説します。本記事がわかれば、式が複雑になっていくだけ、内容は簡単です。実験計画法の肝なので、必読です！

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実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

①一元配置実験のデータの構造式が書ける

データの構造式

1因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。機械的に書けますね。
主効果の添字はi,残差ijと分けています。フィッシャーの三原則の反復ですね。

一元配置実験のデータの構造式

x_ij=μ+α_i+ e_ij

各平均値をデータの構造式で作る

αは母数因子なので、１つの添え字についての合計がすべて0となります。
\(\sum_{i=1}^{a} α_i\)=0

この関係が、平方和の分解にて
(x+y)²=x²+ y², xy=0
を満たします。

平均値の式の代表例

データの構造式
x_ij=μ+α_i+e_ij
\(\bar{x_{i･}}\)=μ+\(α_i\)+\(\bar{e_{i･}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{e}}\)

②一元配置実験の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。S_A,S_eを挙げます。
\(S_A\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\( (\bar{x_{i･}}-\bar{\bar{x}})^2\)
\(S_e\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i･}})^2\)
と書けますね。

③一元配置実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。

主効果の分散の期待値の導出

E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((\bar{x_{i･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\( (α_i+\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} (α_i )^2\)]
+2E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) \)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

ここで、第2項は0になることを証明します。
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) \)]
=bE[\(\sum_{i=1}^{a} (α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) \)]
=bE[\(α_1(\bar{e_{1･}}-\bar{\bar{e}})+α_2(\bar{e_{2･}}-\bar{\bar{e}})+…+α_a(\bar{e_{a･}}-\bar{\bar{e}})\)]
=bE[\((α_1\bar{e_{1･}}+α_2\bar{e_{2･}}+…+α_a\bar{e_{a･}})\)+\((α_1+α_2+…+α_a) \bar{\bar{e}})\)]
後ろの項について、\((α_1+α_2+…+α_a)\)=0です。
=bE[\((α_1\bar{e_{1･}}+α_2\bar{e_{2･}}+…+α_a\bar{e_{a･}})\)]
=b(\(α_1\)E[\(\bar{e_{1･}}\)]+\(α_2\)E[\(\bar{e_{2･}}\)]+…+\(α_a\)E[\(\bar{e_{a･}}\)])
さらにE[\(\bar{e_{i･}}\)]=0です。
残差の実際の値は0ではないですが、期待値は0になります。
よって、すべて0になるため、
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) \)]=0

平方和の分解のポイント

平方和は簡単に分解できて、
\( (x_1+x_2+…+x_n)^2\)=\(x_1^2+x_2^2+…+x_n^2\)
が成り立ちます。

この関係が各効果の平方和として分解することができ、
S_T= S_A+ S_B+ …+ S_e
と分解できます。

まずは、暗記で構いませんが、慣れてきたら中間項が0になることを確認してください。高校数学レベルで解けます。

E[\(S_A\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\(b(a-1)σ_A^2\) +\((a-1)(σ_e^2\))

主効果Aの自由度は\((a-1)\)より、分散の期待値E[V_A]が求まります。
E[\(V_A\)]=\(bσ_C^2\) +\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_A^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}α_i^2}{a-1}\)]

\(σ_e^2\)については以下のように解きます。式の意味を読んで見ましょう。慣れるまでは、添字の種類と分母の種類を揃える点に注目しましょう。
\(σ_e^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2}{ab-1}\)]
\(\frac{σ_e^2}{b}\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}(e_{i･}-\bar{\bar{e}})^2}{a-1}\)]
\(\frac{σ_e^2}{a}\)=E[\(\frac{\sum_{j=1}^{b}(e_{･j}-\bar{\bar{e}})^2}{b-1}\)]

残差の分散の期待値の導出

E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i･}})^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((e_{ij}-\bar{e_{i･}})^2\)]

意図的に以下のように式変形します。
\((e_{ij}-\bar{\bar{e}})\)=\(\color{red}{(e_{ij}-\bar{e_{i･}})}\)+\((\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})\)

次に、両辺の2乗和の期待値を作ります。次の関係式が成り立ちます(確かめてみてください)。
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{e_{i･}})^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

次に分散\(σ_e^2\)を作ります。次の3種類ができます。
分散は、各残差の値\(e_{ij})と残差の平均との差分の2乗和です。
差分の2乗和をそのまま式に書きます。

添字の種類とΣの数に注目してください。添字、Σが3つ以下の②③④の左辺は、\(σ_e^2\)に自由度a,bで割った値となっています。
➀\(σ_e^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2}{ab-1}\)]
②\(\frac{σ_e^2}{b}\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a} (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2}{a-1}\)]
③\(\frac{σ_e^2}{a}\)=E[\(\frac{\sum_{j=1}^{b} (\bar{e_{･j}}-\bar{\bar{e}})^2}{b-1}\)]

➀➁➂の違いを見比べて、慣れましょう。慣れてから式の意味を考えましょう。

次に➀➁➂を変形します。
➀\((ab-1)σ_e^2\)=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
②\((a-1)σ_e^2\)=E[\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
③\((b-1)σ_e^2\)=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{･j}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

求めたい期待値
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
は➀―②で算出できます。
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} (e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\((ab-1)σ_e^2\)-\((a-1)σ_e^2\)
=\(a(b-1)σ_e^2\)
となります。

結果をまとめます。
E[\(S_e\)]=\(a(b-1)σ_e^2\)

残差eの自由度は\(a(b-1)\)より、分散の期待値E[V_e ]が求まります。
E[\(V_e\)]=\(σ_e^2\)

④一元配置実験の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。

1. データの構造式を書く
2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる

表から、
Aの列(縦)には、aに1,1に-1とありますから、自由度はa-1、
eの列(縦)には、abに1,aに-1とありますから、自由度はab-a=a(b-1)、
となります。

また、各自由度はデータの構造式の添字を見ればすぐわかります。
E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((\bar{x_{i･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
添字はiと平均を見ます。
添字iの自由度aから平均の自由度1を引きます。よって、a-1。

E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i･}})^2\)]
添字はijと平均iを見ます。
添字ijの自由度abから平均iの自由度aを引きます。よって、ab-a。

データの構造式が複雑になるほど、上の表を活用すると自由度が求めやすくなります。

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

⑤一元配置実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
2. 誤差eの自由度φ_eである。
3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

主効果の点推定と区間推定の導出

分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、eの分散の推定値E[V]を導出します。
V_e=\(σ_e^2\)
よって、
\(\widehat{σ_e^2}\)= V_e

主効果Aの点推定と区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(A_i)=\bar{x_{i･}}\)=\(\widehat{μ+α_i}\)
=\(μ+\bar{x_{i･}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}( A_i))\)
=V[μ+\(\bar{x_{i･}}\)]
=V[\(\bar{x_{i･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{b}\)
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

まとめ

一元配置実験の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

• ①一元配置実験のデータの構造式が書ける
• ②一元配置実験の平方和の分解の式が書ける
• ③一元配置実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
• ④一元配置実験の分散分析ができる
• ⑤一元配置実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

実験計画法

「三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析や期待値の導出が複雑でわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析や期待値の導出

• ①三元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける
• ②三元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける
• ③三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
• ④三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる
• ⑤三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
• ⑥三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本サイトは、4因子繰返し有りの分散分析まで解説します。本サイトは必見です。実験計画法の肝なので、必読です！

●You tube動画もご覧ください。

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①三元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける

データの構造式

3因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。機械的に書けますね。

三元配置実験のデータの構造式

x_ijkl=μ+α_i+β_j+γ_k
+ (αβ) _ij+(αγ) _ik+(βγ) _jk
+(αβγ) _ijk+ e_ijkl

各平均値をデータの構造式で作る

α、β、γは母数因子なので、１つの添え字についての合計がすべて0となります。

\(\sum_{i=1}^{a} α_i\)=0
\(\sum_{j=1}^{b} β_j\)=0
\(\sum_{k=1}^{c} γ_k\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αβ)_{ij}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αγ)_{ik}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(αγ)_{ik}\)=0
\(\sum_{j=1}^{b}(βγ)_{jk}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(βγ)_{jk}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αβγ)_{ijk}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβγ)_{ijk}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(αβγ)_{ijk}\)=0

この関係が、平方和の分解にて
(x+y)²=x²+ y², xy=0
を満たします。

なお、母数因子ではない変量因子の場合は上の式が0ではない値になります。

平均値の式の代表例

データの構造式

x_ijkl=μ+α_i+β_j+γ_k
+ (αβ) _ij+(αγ) _ik+(βγ) _jk
+(αβγ) _ijk+ e_ijkl

\(\bar{x_{i･･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(\bar{e_{i･･･}}\)
\(\bar{x_{･j･･}}\)=μ+\(β_j\)+\(\bar{e_{･j･･}}\)
\(\bar{x_{･･k･}}\)=μ+\(γ_k\)+\(\bar{e_{･･k･}}\)
\(\bar{x_{ij･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{ij･･}}\)
\(\bar{x_{i･k･}}\)=μ+\(α_i\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\(\bar{e_{i･k･}}\)
\(\bar{x_{･jk･}}\)=μ+\(β_j\)+\(γ_k\)+\((βγ)_{jk}\)+\(\bar{e_{･jk･}}\)
\(\bar{x_{ijk･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\(γ_k\)+\((αβ)_{ij}\)+\((αγ)_{ik}\)+\((βγ)_{jk}\)+\((αβγ)_{ijk}\)+\(\bar{e_{ijk･}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{e}}\)

②三元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。S_C、S_A×B×C,S_eを例に挙げます。

\(S_C\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\( (\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_{ A×B×C }\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((\bar{x_{ijk･}}-\bar{x_{ij･･}}-\bar{x_{i･k･}}-\bar{x_{･jk･}}\)\(\bar{x_{i･･･}}+\bar{x_{･j･･}}+\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2\)

\( S_e\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((x_{ijkl}-\bar{x_{ijk･}})^2\)

と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣΣΣ( )^2で計算できます。

③三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。

本記事では因子C、残差eについて導出過程を詳しく見ていきます。

●因子A,Bについては、次の関連記事で導出過程を確認ください。

二元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】 実験計画法の、二元配置実験(繰り返し有り)の分散分析、分散の期待値の導出、主効果・交互作用の区間推定の導出ができますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事は、二元配置実験(繰り返し有り)の分散分析、分散の期待値の導出、区間推定の導出を解説します。分散分析、期待値の導出、区間推定をマスターしたい方は必見です。

主効果の分散の期待値の導出

E[\(S_C\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\( (γ_k+\bar{e_{･･k･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((γ_k )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((\bar{e_{･･k･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\(abd(c-1)σ_C^2\) +\((c-1)(σ_e^2\))

主効果Cの自由度は(c-1)より、分散の期待値E[V_C]が求まります。

E[\(V_C\)]=\(abdσ_C^2\) +\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_C^2\)=E[\(\frac{\sum_{k=1}^{c}γ_k^2}{c-1}\)]

\(σ_e^2\)については解説集にあります。

交互作用の分散の期待値の導出

E[\(S_{ A×B×C }\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d} \)
\((\bar{x_{ijk･}}-\bar{x_{ij‥}}-\bar{x_{i･k･}}-\bar{x_{･jk･}}\)
+\(\bar{x_{i･･･}}+\bar{x_{･j･･}}+\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αβγ)_{ijk}+(\bar{e_{ijk･}}-\bar{e_{ij‥}}-\bar{e_{i･k･}}-\bar{e_{･jk･}}\)
+\(\bar{e_{i‥･}}-\bar{e_{･j‥}}-\bar{e_{･･k･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αβγ)_{ijk}^2)\)]
+ E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{e_{ijk･}}-\bar{e_{ij‥}}-\bar{e_{i･k･}}-\bar{e_{･jk･}}\)
+\(\bar{e_{i‥･}}+\bar{e_{･j‥}}+\bar{e_{･･k･}}-\bar{\bar{e}}))^2\)]

第1項：
=dE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\(((αβγ)_{ijk}^2)\)
=\(d(a-1)(b-1)(c-1)σ_{A×B×C}^2\)

第2項：
結論から言うと
eの添え字を見ると
ijk-ij-ik-jk+i+j+k-1が見えるので、i⇒a,j⇒b,k⇒cに変えます。
⇒abc-ab-ac-bc+a+b+c-1になるので、因数分解して
=\((a-1)(b-1)(c-1)σ_e^2\)

E[\(S_{A×B×C}\)]
=\(d(a-1)(b-1)(c-1)σ_{A×B×C}^2\)
+\((a-1)(b-1)(c-1)σ_e^2\)

交互作用A×B×Cの自由度は(a-1)(b-1)(c-1)より、分散の期待値E[V_A×B×C]が求まります。

E[\(V_{A×B×C}\)]=\(dσ_{A×B×C}^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_{ A×B×C }^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(αβγ)_{ijk}^2}{(a-1)(b-1)(c-1)}\)]

\(σ_{e}^2\)については解説集にあります。

残差の分散の期待値の導出

E[\(S_e\)]= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((x_{ijkl}-\bar{ x_{ijk･}})^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((e_{ijkl}-\bar{ e_{ijk･}})^2\)]
=abc(d-1)\(σ_e^2\)
(結論を言うと同様に ijkl-ijkをabcdに直して、abcd-abcを因数分解します。)

E[\(S_e\)]= abc(d-1)\(σ_e^2\)
(全計算過程は解説集にあります)

残差eの自由度はabc(d-1)より、分散の期待値E[Ve]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。計算は複雑ですが、自由度で割ると\(σ_e^2\)になることがわかります。

E[e]=\(σ_e^2\)

④三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。

1. データの構造式を書く
2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

⑤三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
2. 誤差eの自由度φ_eである。
3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

主効果の点推定と区間推定の導出

分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、eの分散の推定値E[V]を導出します。
V_e=\(σ_e^2\)
よって、
\(\widehat{σ_e^2}\)= V_e

主効果の点推定と区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(C_k)=\bar{x_{‥k･}}\)=\(\widehat{μ+γ_k}\)
=\(μ+\bar{e_{‥k･}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(C_k))\)
=V[μ+\(\bar{e_{‥k･}}\)]
=V[\(\bar{e_{‥k･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{abd}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

交互作用の区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(A_i B_j C_k)\)=\(\bar{x_{ijk･}}\)
=\(μ+α_i+β_j＋γ_k+(αβγ)_{ijk}+\bar{e_{ijk･}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i B_j C_k))\)
=V[μ+\(α_i+β_j＋γ_k+(αβγ)_{ijk}+\bar{e_{ijk･}}\)]
=V[\(\bar{e_{ijk･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{d}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

⑥三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題

本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。

まとめ

三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

• ①三元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける
• ②三元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける
• ③三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
• ④三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる
• ⑤三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
• ⑥三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題

実験計画法

「枝分かれ実験って何なの？」、「枝分かれ実験の分散分析や期待値の導出がわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、枝分かれ実験の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

枝分かれ実験の分散分析や期待値の導出

• ➀枝分かれ実験とは何かがわかる
• ②枝分かれ実験のデータの構造式が書ける
• ③枝分かれ実験の平方和の分解の式が書ける
• ④枝分かれ実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
• ⑤枝分かれ実験の分散分析ができる
• ⑥枝分かれ実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
• ⑦枝分かれ実験の分散分析が導出できる演習問題

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です！

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究める！実験計画法　演習問題を販売します！

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実験計画法を究める関連記事

多元配置法、乱塊法、分割法など手法が多い実験計画法ですが、すべて１つの導出方法で解けます。
関連記事をたくさん紹介しますので、何度も読んで習得してください。

【0】まとめ編：実験計画法をマスターできるページ
●究める！実験計画法
【まとめ5】分散分析の分散の期待値が導出できる
【まとめ6】区間推定のための工程平均と有効繰り返し数が導出できる

＊実験計画法を究めるための演習問題集もあります。
【まとめ9】実験計画法を究める演習問題集を販売します

【1】導入編：データの構造式から分散分析・区間推定・有効繰返し数の導出がわかるページ
●【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)
●【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる
●【重要】データの構造式から有効反復数が導出できる

【2】基礎編：分散分析・区間推定の導出(まず、ここを理解する！)
●一元配置実験の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●二元配置実験(繰り返し無し)の分散分析・区間推定が解ける
●二元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける
●三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】

【3】応用編：乱塊法・分割法・多水準法・擬水準法・枝分かれ実験・2方分割法の
分散分析・区間推定の導出 (読む⇒理解する⇒なぞる⇒解ける⇒習得する　何度も読みましょう。)
●乱塊法(2因子)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●乱塊法(3因子)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●乱塊法(4因子)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●分割法(2因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●分割法(3因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●分割法(3因子2段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●分割法(乱塊法無しの2因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける
●多水準法の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●擬水準法(不足する場合)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●擬水準法(余る場合)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●2方分割法の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●【本記事限定】枝分かれ実験(並列型)の分散分析・区間推定が解ける
●直交表L16の分散分析・区間推定が解ける【必見】

関連記事が20ありますが、１つの導出方法ですべて解けます。
実験計画法を苦手から得意に変える重要な記事です。

●You tube動画で解説しています。ご覧ください。

➀枝分かれ実験とは何かがわかる

枝分かれ図で理解する

枝分かれ方法は、直列と並列が考えつきますね。教科書ではよく直列型が紹介されます。
本記事は、直列型（左下図）について解説します。
また、並列型は本サイト限定で関連記事【本記事限定】枝分かれ実験(並列型)の分散分析・区間推定が解けるにて、解説します。

イメージ

データの構造式から枝分かれ実験を理解する

• 完全配置実験のデータの構造式を作る
• 一部の項を変形すれば枝分かれ実験になる
• 枝分かれ図をそのままデータの構造式に書く

本サイトでは、すべての実験計画法の手法は、完全配置実験のデータの構造式を一部書き換えてできることを解説しています。枝分かれ実験も同様にできるのですが、枝分かれ図を見て、そのまま式にした方が楽です。

②枝分かれ実験のデータの構造式が書ける

データの構造式

枝分かれ図をそのままデータの構造式に書きます。

1. 因子Bは因子Aから枝分かれ→β_ijとする。
2. 因子Cは因子Bから枝分かれ→γ_ijkとする。
3. 因子Dは因子Cから枝分かれ→δ_ijklとする。

まとめると、データの構造式ができます。

枝分かれ実験(直列型)のデータの構造式

x_ijklm=μ+α_i+β_ij+γ_ijk+δ_ijkl+ e_ijklm

各平均値をデータの構造式で作る

母数因子と変量因子の違い

関連記事【簡単】母数因子と変量因子の違いがすぐわかるにて、母数因子と変量因子を解説しました。

母数因子と変量因子

母数因数：取らない場合が多い
変量因子：α、β、γ、δ、e

枝分かれ実験では、ロット間の誤差、サンプル間の誤差、測定誤差を因子として割当てることがあり、誤差は変量因子なため、母数因数を取らないことがあります。主効果の分散の期待値は母数因数でも変量因子でも関係なく、同じ値になります。

変数に意味を持たせるなら母数因子と変量因子をはっきり分けるとよいですが、
分散の期待値はどちらも同じになるようにしているので、母数因子も変量因子もどちらでもよいと思います。

本記事では、教科書的に変量因子として分散の期待値を導出します。

平均値

母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。

平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。

枝分かれ実験のデータの構造式

\(x_{ijklm}\)=μ+\(α_i\)+\(β_{ij}\)+\(γ_{ijk}\)+\(δ_{ijkl}\)+\(e_{ijklm}\)
\(\bar{x_{i････}}\)=μ+\(α_i\)+\(\bar{β_{i･}}\)+\(\bar{γ_{i･･}}\)+\(\bar{δ_{i･･･}}\)+\(\bar{e_{i････}}\)
\(\bar{x_{ij･･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_{ij}\)+\(\bar{γ_{ij･}}\)+\(\bar{δ_{ij･･}}\)+\(\bar{e_{ij･･･}}\)
\(\bar{x_{ijk･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_{ij}\)+\(γ_{ijk}\)+\(\bar{δ_{ijk･}}\)+\(\bar{e_{ijk･･}}\)
\(\bar{x_{ijkl･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_{ij}\)+\(γ_{ijk}\)+\(δ_{ijkl}\)+\(\bar{e_{ijkl･}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{α}}\)+\(\bar{\bar{β}}\)+\(\bar{\bar{γ}}\)+\(\bar{\bar{δ}}\)+\(\bar{\bar{e}}\)

③枝分かれ実験の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。S_A、S_C、S_eを例に挙げます。

\(S_A\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( (\bar{x_{i･‥･}}-\bar{\bar{x}})^2\)
\(S_C\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( (\bar{x_{ijk･･}}-\bar{x_{ij･･･}})^2\)
\( S_e\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)

\( (\bar{x_{ijklm}}-\bar{x_{ijkl･}})^2\)
と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣ( )^2で計算できます。

④枝分かれ実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。

主効果S_Aの分散の期待値の導出

E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{x_{i･‥･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( ((α_i-\bar{\bar{α}})+(\bar{β_{i･}}-\bar{\bar{β}})+(\bar{γ_{i･･}}-\bar{\bar{γ}})\)
+\( (\bar{δ_{i･･･}}-\bar{\bar{δ}})+(\bar{e_{i････}}-\bar{\bar{e}}))^2\)
=bcdeE[\(\sum_{i=1}^{a}(α_i-\bar{\bar{α}})^2\)]
+cdeE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{β_{i･}}-\bar{\bar{β}})^2\)]
+deE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(\bar{γ_{i･･}}-\bar{\bar{γ}})^2\)
+dE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}(\bar{δ_{i･･･}}-\bar{\bar{δ}})^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{e_{i････}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\((a-1)bcdeσ_A^2\)+\((a-1)cdeσ_B^2\)+\((a-1)deσ_C^2\)+\((a-1)eσ_D^2\)+\((a-1)σ_e^2\)
主効果Aの自由度は(a-1)より、分散の期待値E[V_A]が求まります。
E[\(V_A\)]=\(bcdeσ_A^2\) +\(cdeσ_B^2\)+\(deσ_C^2\)+\(eσ_D^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_A^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}(α_i-\bar{\bar{α}})^2}{a-1}\)]
\(σ_e^2\)については解説集にあります。

主効果S_Cの分散の期待値の導出

E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{x_{ijk･･}}-\bar{x_{ij･･･}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\(((\bar{γ_{ijk}}-\bar{γ_{ij･}})\)+\((\bar{δ_{ijk･}}-\bar{δ_{ij‥}})+(\bar{e_{ijk･･}}-\bar{e_{ij…}}))^2\)
=deE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} (\bar{γ_{ijk}}-\bar{γ_{ij･}})^2\)]
+eE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}(\bar{δ_{ijk･}}-\bar{δ_{ij‥}})^2\)
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}(\bar{e_{ijk･･}}-\bar{e_{ij…}}))^2\)
=\(ab(c-1)deσ_C^2\)+\(ab(c-1)eσ_D^2\)+\(ab(c-1)σ_e^2\)
主効果Cの自由度はab(c-1)より、分散の期待値E[V_C]が求まります。
自由度の導出は難しいので次の節で解説します。
E[\(V_C\)]=\(deσ_C^2\) +\(eσ_D^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_C^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} \sum_{k=1}^{c} (γ_{ijk}-\bar{γ_{ij･}})^2}{ab(c-1)}\)]
\(σ_e^2\)については解説集にあります。

残差の分散の期待値の導出

E[\( S_e\)]= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)

\( (\bar{x_{ijklm}}-\bar{x_{ijkl･}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( (\bar{e_{ijklm}}-\bar{e_{ijkl･}})^2\)]
=abcd(e-1) \(σ_e^2\)

E[\( S_e\)]= abcd(e-1) \(σ_e^2\)

残差eの自由度はabcd(e-1)より、分散の期待値E[V e]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。
E[\S_e\)]= \(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_e^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} \sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e} (e_{ijklm}-\bar{e_{ijkl･}})^2}{abcd(e-1)}\)]

⑤枝分かれ実験の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。

1. データの構造式を書く
2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる

因子BについてはAB全体の自由度から因子Aの自由度を引きます。
枝分かれイメージで、全体から残りを引く感じになります。
データの構造式の添字から自由度を求めることができます。
AB全体の自由度＝ab-1
因子Aの自由度=a-1
因子Bの自由度=(ab-1)-(a-1)=ab-a=a(b-1)
データの構造式の添字を見ると (ij…)-(i…･)から(ab-1)-(a-1)とイメージしてもOKです。

因子CについてはABC全体の自由度からAB全体の自由度を引きます。
ABC全体の自由度＝abc-1
AB全体の自由度=ab-1
因子Bの自由度=(abc-1)-(ab-1)=abc-ab=ab(c-1)
データの構造式の添字を見ると (ijk‥)-(ij…)から(abc-1)-(ab-1)とイメージしてもOKです。

因子DについてはABCD全体の自由度からABC全体の自由度を引きます。
ABCD全体の自由度＝abcd-1
ABC全体の自由度=abc-1
因子Dの自由度=(abcd-1)-(abc-1)=abcd-abc=abc(d-1)

データの構造式の添字を見ると (ijkl･)-(ijk‥)から(abcd-1)-(abc-1)とイメージしてもOKです。

残差eについてはABCDE全体の自由度からABCD全体の自由度を引きます。
ABCDE全体の自由度＝abcde-1
ABCD全体の自由度=abcd-1
因子Dの自由度=(abcde-1)-(abcd-1)=abcde-abcd=abcd(e-1)

データの構造式の添字を見ると (ijklm)-(ijkl･)から(abcde-1)-(abcd-1)とイメージしてもOKです。

以上をまとめましょう。

自由度をまとめます。

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

⑥枝分かれ実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
2. 誤差eの自由度φ_eである。
3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

主効果の点推定と区間推定の導出

分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、a,b,c,d,eの分散の推定値E[V]を導出します。すべて変量因子なのでE[V]を求めます。

上の表から、分散の推定値を求めます。
\(\widehat{σ_A}^2=\frac{1}{bcde}(V_A-V_B)\)
\(\widehat{σ_B}^2=\frac{1}{cde}(V_B-V_C)\)
\(\widehat{σ_C}^2=\frac{1}{de}(V_C-V_D)\)
\(\widehat{σ_D}^2=\frac{1}{e}(V_D-V_e\)
\(\widehat{σ_e^2}\)=V_e

データの構造式

\(x_{ijklm}\)=μ+\(α_i\)+\(β_{ij}\)+\(γ_{ijk}\)+\(δ_{ijkl}\)+\(e_{ijklm}\)

主効果Aの点推定と区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(A_i)=\bar{x_{i･･‥}}\)=\(\widehat{μ+α_i}\)
=\(μ+α_i +\bar{β_{i･}}+\bar{γ_{i‥}}+\bar{δ_{i‥･}}+\bar{e_{i･…}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(α_i))\)
=V[\(μ+α_i +\bar{β_{i･}}+\bar{γ_{i‥}}+\bar{δ_{i‥･}}+\bar{e_{i･…}}\)]
=V[\(\bar{β_{i･}}+\bar{γ_{i‥}}+\bar{δ_{i‥･}}+\bar{e_{i･…}}\)]
=\(\frac{1}{b}V_B\)+ \(\frac{1}{bc}V_C\)+\(\frac{1}{bcd}V_C\)+\(\frac{1}{bcde}V_e\)

Vが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

主効果Cの点推定と区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(C_k)=\bar{x_{ijk‥}}\)=\(\widehat{μ+α_i+β_{ij}+γ_{ijk}}\)
=\(μ+α_i +β_{ij}+γ_{ijk}+\bar{δ_{ijk･}}+\bar{e_{ijk‥}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(α_i+β_{ij}+γ_{ijk}))\)
=V[\(μ+α_i +β_{ij}+γ_{ijk}+\bar{δ_{ijk･}}+\bar{e_{ijk‥}}\)]
=V[\(\bar{δ_{ijk･}}+\bar{e_{ijk‥}}\)]
=\(\frac{1}{d}V_D\)+\(\frac{1}{de}V_e\)

Vが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

⑦枝分かれ実験の分散分析が導出できる演習問題

本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。

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まとめ

枝分かれ実験の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

• ➀枝分かれ実験とは何かがわかる
• ②枝分かれ実験のデータの構造式が書ける
• ③枝分かれ実験の平方和の分解の式が書ける
• ④枝分かれ実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
• ⑤枝分かれ実験の分散分析ができる
• ⑥枝分かれ実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
• ⑦枝分かれ実験の分散分析が導出できる演習問題

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実験計画法を苦手から得意に変える重要な記事です。

実験計画法

「線点図って何？」「線点図の種類が多いのはなぜ？」「線点図の使い方や効果がよくわからない」、など疑問に思っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

線点図でおさえておくべきポイント

• ➀線点図とは
• ②線点図の注意点
• ③線点図の書き方を理解する
• ④線点図L16、線点図L27を書いてみる
• ⑤大型な直交表の場合の線点図の書き方

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。線点図は本記事1記事のみですが、エッセンスをすべて書き込みました。重要な記事なので、読んでください！

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線点図と直交表の理解を深める関連記事を紹介します。
●【まとめ7】直交表の特徴や注意点がわかる
●【本記事限定】実験計画法では実験回数を減らすために直交性が必須
●【本記事限定】直交表の交互作用がある列は素数の水準系だけ【必見】
●【本記事限定】直交表の実験回数と割当て列数が決まっている理由がわかる【必見】
●【本記事限定】直交表の種類は無数にある【必見】
●【簡単】実験計画法の交絡(別名)とはキャラがかぶっていること
●直交表の列をランダムに割当てても分散分析は変わらない
実験計画法のトップページです。
●究める！実験計画法

さっそく見ていきましょう。

➀線点図とは

線点図の基本ルール

• (i) 頂点は独立成分、頂点をつなぐ辺は交互作用列を割り当てる。
• (ii) 3 つ以上の交互作用を線点図にする場合は、頂点から底辺に線を追加する。

いろいろな種類の線点図がありますが、書き方は上の2つだけです。

線点図の練習時の注意点

ただし、直交表の割当ては、交絡(キャラがぶり)してもよいことが前提ですね。関連記事【簡単】実験計画法の交絡(別名)とはキャラがかぶっていることで解説しています。

線点図使うときの注意点

よく勘違いするのが、線点図でうまく直交表の列に割り当てよう！というノリです。線点図のよい練習にはなりますが、交絡してデータの精度を落としているので、注意しましょう。

②線点図の注意点

私が、注意すべき2点を挙げました。

• (1)線点図の前に、データの構造式を理解すること
• (2)線点図の上手な割当て方より、データの交絡に注意

(1)線点図の前に、データの構造式を理解すること

関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)で解説したとおり、直交表は魔法の表ではありません。独立因子数の全組み合わせをデータの構造式に書き、各項を列に配列したのが直交表です。

つまり、直交表の各列へ、何の効果が割り当てられるべきかは、最初から決まっています。そこに交絡が前提として線点図を使って、異なる効果を各列に入れようとしています。不自然ですよね。

ただし、実験回数が増やせない条件で、データ精度をある程度落としても良いと判断する場合に、直交表や線点図を活用します。

(2)線点図の上手な割当て方より、データの交絡に注意

直交表の割当ては、交絡(キャラがぶり)してもよいことが前提ですね。関連記事【簡単】実験計画法の交絡(別名)とはキャラがかぶっていることで解説しています。

よく勘違いするのが、線点図でうまく直交表の列に割り当てよう！というノリです。線点図のよい練習にはなりますが、交絡してデータの精度を落としているので、注意しましょう。

線点図の使い方について、注意点を理解した上で、活用方法を解説します。

③線点図の書き方を理解する

教科書見ると、線点図の種類はたくさんあります。暗記は不要で、自力で書けることが重要です。
書き方のエッセンスを解説します。2つだけなので簡単です。

• (1)独立因子数の列＋誤差の1列から構成する多角形からスタートする
• (2) 交互作用の種類によって多角形を分解する

(1)独立因子数の列＋誤差の1列から構成する多角形からスタートする

事例として、2水準系から直交表L16,L32を、3水準系から直交表L27,L81を挙げます。

独立因子数の列＋誤差の1列　を計算します。
直交表L16: 独立因子4+誤差1= 5　→五角形
直交表L32: 独立因子5+誤差1= 6　→六角形
直交表L27: 独立因子3+誤差1= 4　→四角形
直交表L81: 独立因子4+誤差1= 5　→五角形

なぜ、誤差1列を加えるのか？

誤差1列を加えた場合と、加えない場合を実際書いてみると、誤差1列加えた方が線点図は書きやすく、わかりやすいことがわかります。

(2) 交互作用の種類によって多角形を分解する

線点図の種類

多角形から線点図を始める理由は、交互作用の列が最も多いからです。そこから、各実験において、独立因子と交互作用の数に合わせて、線点図の型を変えていきます。

星型、あやとり型、親子型、花火型、のれん型としていますが、この種類に属す必要はなく、あなたの実験に合わせて線点図を書いてください。あなたのオリジナルな線点図でかまいません。

④線点図L16、線点図L27を書いてみる

線点図L16を書いてみる

• (1)独立因子数の列＋誤差の1列から構成する多角形からスタートする
• (2) 交互作用の種類によって多角形を分解する

(1)では、直交表L16: 独立因子4+誤差1= 5より五角形を書きます。

五角形の頂点と辺・対角線の数を計算する

₅C₁+₅C₂= 5+10=15本です。直交表L16は15列ですから、ちょうど、五角形で収まります。