「一元配置実験の分散分析や期待値の導出が複雑でわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、一元配置実験の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
一元配置実験の分散分析や期待値の導出
- ①一元配置実験のデータの構造式が書ける
- ②一元配置実験の平方和の分解の式が書ける
- ③一元配置実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
- ④一元配置実験の分散分析ができる
- ⑤一元配置実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
記事の信頼性
記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本サイトは、どんな複雑な方法も➀～➄の流れで解説します。本記事がわかれば、式が複雑になっていくだけ、内容は簡単です。実験計画法の肝なので、必読です！
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①一元配置実験のデータの構造式が書ける
データの構造式
1因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。機械的に書けますね。
主効果の添字はi,残差ijと分けています。フィッシャーの三原則の反復ですね。
一元配置実験のデータの構造式
xij=μ+αi+ eij
各平均値をデータの構造式で作る
αは母数因子なので、１つの添え字についての合計がすべて0となります。
\(\sum_{i=1}^{a} α_i\)=0
この関係が、平方和の分解にて
(x+y)2=x2+ y2, xy=0
を満たします。
平均値の式の代表例
データの構造式
xij=μ+αi+eij
\(\bar{x_{i･}}\)=μ+\(α_i\)+\(\bar{e_{i･}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{e}}\)
②一元配置実験の平方和の分解の式が書ける
データの構造式を変形
式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。
| SA | Se | |
| \(x_{ij}\) | 1 | |
| \(\bar{x_{i･}}\) | 1 | -1 |
| \(\bar{\bar{x}}\) | -1 |
表から各平方和の導出式が簡単にでますね。SA,Seを挙げます。
\(S_A\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\( (\bar{x_{i･}}-\bar{\bar{x}})^2\)
\(S_e\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i･}})^2\)
と書けますね。
③一元配置実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。
主効果の分散の期待値の導出
E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((\bar{x_{i･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\( (α_i+\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} (α_i )^2\)]
+2E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) \)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
ここで、第2項は0になることを証明します。
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) \)]
=bE[\(\sum_{i=1}^{a} (α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) \)]
=bE[\(α_1(\bar{e_{1･}}-\bar{\bar{e}})+α_2(\bar{e_{2･}}-\bar{\bar{e}})+…+α_a(\bar{e_{a･}}-\bar{\bar{e}})\)]
=bE[\((α_1\bar{e_{1･}}+α_2\bar{e_{2･}}+…+α_a\bar{e_{a･}})\)+\((α_1+α_2+…+α_a) \bar{\bar{e}})\)]
後ろの項について、\((α_1+α_2+…+α_a)\)=0です。
=bE[\((α_1\bar{e_{1･}}+α_2\bar{e_{2･}}+…+α_a\bar{e_{a･}})\)]
=b(\(α_1\)E[\(\bar{e_{1･}}\)]+\(α_2\)E[\(\bar{e_{2･}}\)]+…+\(α_a\)E[\(\bar{e_{a･}}\)])
さらにE[\(\bar{e_{i･}}\)]=0です。
残差の実際の値は0ではないですが、期待値は0になります。
よって、すべて0になるため、
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) \)]=0
②E[\(\bar{e_{ij}}\)]と残差の期待値の式にも慣れましょう。
③わからない場合は、公式暗記から始めて、慣れたら式に慣れましょう。
平方和の分解のポイント
平方和は簡単に分解できて、
\( (x_1+x_2+…+x_n)^2\)=\(x_1^2+x_2^2+…+x_n^2\)
が成り立ちます。
この関係が各効果の平方和として分解することができ、
ST= SA+ SB+ …+ Se
と分解できます。
まずは、暗記で構いませんが、慣れてきたら中間項が0になることを確認してください。高校数学レベルで解けます。
E[\(S_A\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\(b(a-1)σ_A^2\) +\((a-1)(σ_e^2\))
主効果Aの自由度は\((a-1)\)より、分散の期待値E[VA]が求まります。
E[\(V_A\)]=\(bσ_C^2\) +\(σ_e^2\)
なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_A^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}α_i^2}{a-1}\)]
\(σ_e^2\)については以下のように解きます。式の意味を読んで見ましょう。慣れるまでは、添字の種類と分母の種類を揃える点に注目しましょう。
\(σ_e^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2}{ab-1}\)]
\(\frac{σ_e^2}{b}\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}(e_{i･}-\bar{\bar{e}})^2}{a-1}\)]
\(\frac{σ_e^2}{a}\)=E[\(\frac{\sum_{j=1}^{b}(e_{･j}-\bar{\bar{e}})^2}{b-1}\)]
残差の分散の期待値の導出
E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i･}})^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((e_{ij}-\bar{e_{i･}})^2\)]
意図的に以下のように式変形します。
\((e_{ij}-\bar{\bar{e}})\)=\(\color{red}{(e_{ij}-\bar{e_{i･}})}\)+\((\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})\)
次に、両辺の2乗和の期待値を作ります。次の関係式が成り立ちます(確かめてみてください)。
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{e_{i･}})^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
次に分散\(σ_e^2\)を作ります。次の3種類ができます。
分散は、各残差の値\(e_{ij})と残差の平均との差分の2乗和です。
差分の2乗和をそのまま式に書きます。
添字の種類とΣの数に注目してください。添字、Σが3つ以下の②③④の左辺は、\(σ_e^2\)に自由度a,bで割った値となっています。
➀\(σ_e^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2}{ab-1}\)]
②\(\frac{σ_e^2}{b}\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a} (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2}{a-1}\)]
③\(\frac{σ_e^2}{a}\)=E[\(\frac{\sum_{j=1}^{b} (\bar{e_{･j}}-\bar{\bar{e}})^2}{b-1}\)]
➀➁➂の違いを見比べて、慣れましょう。慣れてから式の意味を考えましょう。
次に➀➁➂を変形します。
➀\((ab-1)σ_e^2\)=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
②\((a-1)σ_e^2\)=E[\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
③\((b-1)σ_e^2\)=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{･j}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
求めたい期待値
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
は➀―②で算出できます。
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} (e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\((ab-1)σ_e^2\)-\((a-1)σ_e^2\)
=\(a(b-1)σ_e^2\)
となります。
結果をまとめます。
E[\(S_e\)]=\(a(b-1)σ_e^2\)
残差eの自由度は\(a(b-1)\)より、分散の期待値E[Ve ]が求まります。
E[\(V_e\)]=\(σ_e^2\)
④一元配置実験の分散分析ができる
自由度の計算
各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。
- データの構造式を書く
- 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
- 自由度は表を活用すると簡単に求まる
| SA | Se | |
| a | 1 | -1 |
| b | ||
| ab | 1 | |
| 1 | -1 |
表から、
Aの列(縦)には、aに1,1に-1とありますから、自由度はa-1、
eの列(縦)には、abに1,aに-1とありますから、自由度はab-a=a(b-1)、
となります。
また、各自由度はデータの構造式の添字を見ればすぐわかります。
E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((\bar{x_{i･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
添字はiと平均を見ます。
添字iの自由度aから平均の自由度1を引きます。よって、a-1。
E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i･}})^2\)]
添字はijと平均iを見ます。
添字ijの自由度abから平均iの自由度aを引きます。よって、ab-a。
データの構造式が複雑になるほど、上の表を活用すると自由度が求めやすくなります。
分散分析の結果
分散分析表を作ります。
| φ | E[V] | |
| A | a-1 | \(σ_e^2\)+b\(σ_A^2\) |
| e | a(b-1) | \(σ_e^2\) |
| T | ab-1 | – |
⑤一元配置実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
母平均の点推定の導出方法
有効繰返し数と区間推定の導出方法
区間推定は、下の式で算出します。
$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$
区間推定のポイント
- ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
- 誤差eの自由度φeである。
- Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出
サタースウェイトの式については、ここを見てください。
主効果の点推定と区間推定の導出
分散の期待値から分散の推定値を導出
分散分析から、eの分散の推定値E[V]を導出します。
Ve=\(σ_e^2\)
よって、
\(\widehat{σ_e^2}\)= Ve
主効果Aの点推定と区間推定
点推定： \(\widehat{μ}(A_i)=\bar{x_{i･}}\)=\(\widehat{μ+α_i}\)
=\(μ+\bar{x_{i･}}\)
分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}( A_i))\)
=V[μ+\(\bar{x_{i･}}\)]
=V[\(\bar{x_{i･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{b}\)
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。
一連の導出過程を解説しました。
まとめ
一元配置実験の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。
- ①一元配置実験のデータの構造式が書ける
- ②一元配置実験の平方和の分解の式が書ける
- ③一元配置実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
- ④一元配置実験の分散分析ができる
- ⑤一元配置実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
